2806.Сопротивление материалов. Статические прочностные расчеты

=33,1 см2.

Всоответствии с сортаментом на двутавровые балки по ГОСТ 8239-89 выбираем двутавр № 24 с FAB = 34,8 см2.

4. Определим изменение длины каждого стержня. Удлинение (абсолютная деформация) стержня длиной l

при действующей на него сжимающей/растягивающей нагруз-

81

Абсолютное укорочение стержня AC :

5. Определяем перемещение узловой точки A.

План перемещения изображён на рис. 6.3, б. Для определения перемещения точки A предположим, что стержни в этой точке не соединены между собой. Тогда стержень AB удлинится на величину ∆ lAB ( AA′) , и стержень AC укоротится на дли-

ну ∆ lAC ( AA′′). Новое положение точки A (точка A1 ) определится как точка пересечения перпендикуляров к стержням AB и AC, проведённых из конца стержней AB + ∆ lAB и AC − ∆ lAC (вместо

дуг радиусами AB + ∆ lAB и AC − ∆ lAC ).

Определим вертикальное, горизонтальное и полное перемещение точки A .

Для определения вертикального и горизонтального перемещений поставим точки D, E, F , L, какпоказанона рис. 6.3, б.

82

≈26, 0 10−4 м.

6.Уменьшим вдвое площадь поперечного сечения стерж-

83

7. Определим максимально допустимые усилия в каждом

=127, 2 кН.

8.Определим наибольшую грузоподъёмность системы. Используем уравнения равновесия

∑Y = −N AB cos (α + β +) N AC cosα( −) P cos (γ ) = 0,

−N AB cos (115D)+ N AC cos (45D) − P cos (40D) = 0,

−N AB max cos(115D)+ N AC max cos (45D)− Pmax cos (40D) = 0,

Pmax = 0,923N AC max + 0,552N AB max = 367, 2 кН.

∑ X = −N AB sin (α + β ) + N AC sin (α )+ P sin (γ ) = 0,

−N AB sin (115D) + N AC sin (45D)+ P sin (40D) = 0,

−N AB max sin (115D) + N AC max sin (45D) + Pmax sin (40D) = 0,

Pmax =1, 41N AB max −1,1N AC max = 498,5 кН.

Таким образом, наибольшая гузоподъемность системы

Pmax = 367, 2 кН.

84

Задание 6.1

Для заданного стального ступенчатого стержня определить перемещение свободного конца стержня и проверить

прочность, если модуль упругости материала E = 2 105 МПа, предел текучести σт = 240 МПа и запас прочности по отношению к пределу текучести nт = 1,5.

Содержание работы:

1.Вычертить стержень в масштабе и указать все числовые

данные.

2.Определить значения продольной силы по участкам

ипостроить эпюру продольных сил N по длине стержня.

3.Определить напряжения стержня по участкам и построить эпюру нормальных напряжений.

4.Вычислить перемещения в стержне и построить эпюру перемещений.

5.Выполнить проверку прочности в сечении стержня, где нормальное напряжение принимает наибольшее значение.

Указание

Числовые данные и виды схем выбираются в соответствии с шифром соответственно по табл. 6.1 и рис. 6.4.

85

Вопросы для самопроверки

1.Какой вид деформации называется растяжением-сжа- тием? Какие внутренние усилия возникают?

2.Какие напряжения возникают при растяжении-сжатии?

3.Какие типы задач можно решать по условиям прочности центрально-растянутого или сжатого стержня?

4.Как определяется удлинение стержня с учетом его собственного веса?

5.Как ведется расчет площадей поперечных сечений ступенчатого стержня?

6.Какопределяетсяперемещениесвободногоконцастержня?

ТЕМА7. РАСЧЕТПРОСТЕЙШИХСОЕДИНЕНИЙ ЭЛЕМЕНТОВКОНСТРУКЦИЙНАРАСТЯЖЕНИЕ, СРЕЗИСМЯТИЕ

В инженерной практике часто встречаются системы, в которых число наложенных связей больше числа уравнений равновесия. В этих системах, используя только уравнения равновесия, невозможно определить ни усилия в связях (реакции опор), ни внутренние усилия, возникающие в элементах конструкций. Такие системы называют статически неопределимыми.

Общая методика раскрытия статической неопределимости стержневых систем

–статическая сторона: составляются уравнения равновесия отсеченных частей бруса для определения опорных реакций

иопределяется степень статической неопределимости;

–геометрическая сторона: составляется план деформационного состояния;

–физическая сторона: на основании закона Гука выражаем деформации или перемещения через неизвестные усилия;

87

– математическая сторона задачи (синтез): решаются совместно статические, геометрические и физические уравнения и определяются неизвестные усилия.

Эта методика позволяет определить температурные и монтажные напряжения в конструкциях, а монтажные напряжения,

всвою очередь, позволяют искусственно регулировать усилия

вних, что широко применяется, например, в сооружениях из предварительно напряженного бетона.

Кроме деформации растяжения или сжатия материал нагруженного элемента конструкции может испытывать деформацию сдвига. Целый ряд деталей и элементов конструкций работает в таких условиях, что внешние силы стремятся их разрушить путем сдвига.

Всоответствии с этим при проверке прочности таких элементов на первый план выступают касательные напряжения. Простейшими примерами подобных деталей являются болтовые и заклепочные соединения. Для проверки прочности заклепок применяется общий порядок решения задач.

Основные формулы для расчетов

1. Условие прочности на срез по касательным напряжениям

τср = FРср ≤ [τ]ср ,

где Р – сила; Fср – площадь сечения; [τ]ср – допускаемое каса-

тельное напряжение на срез.

2. Условие прочности на смятие по нормальным напряжениям

σсм = Р ≤ [σ]см , Fсм

где [σ]см – допускаемое нормальное напряжение на смятие.

88

3. Условие прочности на разрыв по нормальным напряжениям

σразр = Р ≤ [σ]разр, Fразр

где [σ]разр – допускаемое нормальное напряжение на разрыв.

Пример 7.1

Абсолютно жёсткий брус, шарнирно поддерживаемый стальными стержнями, длина которых а, нагружен силами Р (рис. 7.1, а). Требуется выполнить проектировочный расчёт (найти площади поперечных сечений стержней), принимая для стальных стержней σтp = σтc = σт.

Дано:

F1 = 2F , F2 = F,

P = 2P, P2 = P, P =10 кН,

1

a = 0,5 м, n = 2,5,

σт = 300 МПа, E = 2 105 МПа.

Решение:

1. Вычертим стержневую систему (см. рис. 7.1, а). Для заданной схемы можно составить три уравнения равновесия, а количество неизвестных реакций четыре (две в стержнях и две в закреплении т. A ). Таким образом, степень статической неопределённости равна единице.

2. В стержнях 1 и 2 возникают усилия, которые препятствуют их деформации, т.е. возникают реакции. Реакции направлены противоположно действию сил (рис. 7.1, б).

Запишем уравнение равновесия:

89