2806.Сопротивление материалов. Статические прочностные расчеты

Моменты инерции швеллера относительно осей, проходящихчерез егоцентр тяжести, приведённые в таблице сортаментов,

Izш = 747 см4, I yш = 63,6 см4, Izyш = 0 см4.

Моменты инерции равнополочного уголка относительно осей, проходящих через его центр тяжести, приведённые в таблице сортаментов,

I zу =147 см4, I yу =147 см4.

Центробежный момент инерции уголка определим путём поворота осей к осям zy, приведённым в таблице сорта-

ментов.

Для равнополочного уголка этот угол α составляет −45°,

IzуC = Izу + a2 F у = Izу + ( yc − ycу )2 F у = =147 + (12,98 −18,75)2 15,6 = 666, 4 см4 .

11

Для получения моментов инерции относительно случайных осей, проходящих через центр тяжести сечения, повернём оси zC yC на некоторый угол α. Тогда моменты инерции будут иметь вид:

Iz1 = IzC cos2 (α) + I yC sin2 (α) − IzC yC sin (2α), I y1 = IzC sin2 (α) + I yC cos2 (α) + IzC yC sin (2α),

I z1 y1 = IzC yC cos (2α) − 12 (I yC − I zC )sin (2α).

4. Определим направление главных центральных осей. Для центральных осей должно выполняться равенство:

IUV = 0.

Тогда

IUV = I zC yC cos(2α0 ) − 12 (I yC − I zC )sin (2α0 ) = 0,

12

α0 = arctg (0,815) =19,59D. 2

5. Вычислим главные центральные моменты инерции. Так как I xC > I yC , то

Задание 1.1

Для сечений, показанных на рис. 1.3, определить положение главных центральных осей и величину главных центральных моментов инерции.

Содержание работы:

1.Вычертить сечение в масштабе. Провести произвольную систему прямоугольных осей z и y. Разбить сечение на простые части и определить положение центра тяжести всего сечения относительно исходных осей z и y.

2.Провести начальную систему центральных осей zc и yc таким образом, чтобы можно было наиболее просто вычислить моменты инерции простых частей сечения относительно их центральных осей zi и yi, проведенных параллельно осям zc и yc. Используя формулы перехода к параллельным осям, вычислить значения моментов инерции сечения относительно центральных осей zc и yc.

13

3.Определить угол наклона главных центральных осей, т.е. положение осей максимального и минимального моментов инерции сечения.

4.Вычислить величину главных центральных моментов инерции сечения. Проверить правильность вычисления.

5.Вычислить главные радиусы инерции.

Указания:

1.Виды сечений и числовые данные выбираются в соответствии с шифром по рис. 1.3 и табл. 1.1.

2.Сведения о геометрических характеристиках прокатных профилей приведены в ГОСТ 8509-89 (уголки равнополочные), ГОСТ 8510-89 (уголки неравнополочные), ГОСТ 8239-89 (двутавр), ГОСТ 8240-89 (швеллер).

Рис. 1. 3

14

Таблица 1 . 1

Вопросы для самопроверки

1.Что называется статическим моментом сечения относительно оси? Каковы его размерность и знак?

2.Как определяются координаты центра тяжести простого сечения?

3.Порядок определения положения центра тяжести плоского сечения.

4.Как определяется осевой момент инерции? Каковы его размерность и знак?

5.Какая связь существует между осевыми и полярным моментами инерции?

6.Что называется центробежным моментом инерции? Каковы его размерность и знак?

7.Какие оси сечения называются главными центральными осями инерции?

8.Какие моменты инерции сечения называются главными?

15

ТЕМА 2. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ ПРИ ИЗГИБЕ БАЛОК И РАМ

Плоским поперечным изгибом является вид деформации, при котором все нагрузки, перпендикулярные к продольной оси стержня, лежат в одной плоскости, совпадающей с одной из главных осей его поперечного сечения. Стержень, работающий на изгиб, называется балкой.

Графики, показывающие, как изменяются внутренние усилия при переходе от сечения к сечению по длине балки, называются эпюрами.

Балкиимеютопорныезакрепления. Существуюттритипаопор:

Прежде всего на практических занятиях отрабатываются навыки определения реакций опорных закреплений статически определимых балок и осваивается методика построения эпюр внутренних силовых факторов (перерезывающих сил и изгибающих моментов).

Особое внимание уделяется контролю правильности построения эпюр на базе дифференциальных зависимостей между внутренними силовыми факторами и интенсивностью внешней распределенной нагрузки. Эти зависимости дают также возмож-

16

ность овладеть экспресс-методом построения эпюр – методом последовательного интегрирования. Здесь же рассматриваются особенности построения эпюр внутренних силовых факторов для рам.

Рамами называются системы, состоящие из прямолинейных стержней, соединенных жесткими узлами. Жесткость узлов устраняет возможность взаимного поворота скрепленных стержней, т.е. в узловой точке углы между их осями остаются неизменными, и усилия передаются от одного стержня к другому.

Ось рамы представляет собой ломаную линию, однако каждый прямолинейный участок ееможно рассматриватькакбалку.

Чтобы построить эпюры внутренних силовых факторов для рамы, необходимо построить их для каждой отдельной балки, входящей в состав рамы. Левая опора рамы условно принимается за левый конец балки, за правый конец балки принимается правая опора рамы.

Начало координат каждый раз при переходе от одной балки к другой меняется, поэтому каждый раз перед построением эпюр на последующей балке в ее начало координат переносят по правилам переноса усилий из теоретической механики все усилия, приложенные к предыдущим стержням – балкам рассматриваемой по методу сечений части рамы. Правило знаков для построения эпюр внутренних силовых факторов для рам совпадает с правилами построения эпюр для балок. Ординаты эпюр внутренних силовых факторов откладываются перпендикулярно к оси рамы. Положительные ординаты N и Q откладываются с внешней стороны рамы (при этом обязательно оговаривается, где условно находится наблюдатель). Эпюра изгибающих моментов строится на сжатом волокне.

Правила знаков для построения эпюр внутренних силовых факторов (N, Q и M):

– продольная сила N в сечении считается положительной, если она растягивает балку;

17

–поперечная сила Q считается положительной, если ее

вектор стремится вращать оставшуюся часть рассеченной балки по часовой стрелке;

–изгибающий момент M в сечении считается положительным, если он вызывает сжатие в верхних волокнах балки.

Ниже представлены некоторые особенности эпюр Q и М. Эти особенности позволяют производить эффективный контроль правильности построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

Необходимо отметить, что все нижеперечисленные особенности эпюр справедливы только при рассмотрении слева направо.

1. Если на участке отсутствует распределенная нагрузка, то эпюра поперечной силы прямоугольна, а эпюра изгибающего момента прямолинейна, но, вообще говоря, наклонна.

2. Если на участке имеется равномерно распределенная нагрузка, то поперечная сила изменяется по линейному закону, а изгибающий момент – позакону квадратной параболы. При этом

а) наклон эпюры Q идет в сторону действия распределенной нагрузки, а величина общего падения или возрастания равна равнодействующей равномерно распределенной нагрузке;

б) парабола эпюры М всегда обращена выпуклостью навстречу распределенной нагрузке.

3. Если на участке имеется распределенная нагрузка, изменяющаяся по линейному закону (эпюра нагрузки – треугольник или трапеция), то поперечная сила изменяется по закону квадратной параболы, а изгибающий момент – по закону кубической параболы.

4. В сечении, где поперечная сила равна нулю, изгибающий момент достигает экстремального значения.

5. На участке, где поперечная сила положительна, изгибающий момент возрастает, т.е. слева направо положительные ординаты эпюры увеличиваются, отрицательные – уменьшаются; на тех участках, где поперечная сила отрицательна, изгибающий момент убывает.

18

Пример 2.1

Для расчетной схемы консольной балки (рис. 2.1, а) требуется написать выражения поперечной силы Q и изгибающего

момента M для каждого участка в общем виде, построить эпюры Q и M , провести проверку эпюр с помощью дифференциальных

зависимостей между q, Qy и M z .

Дано: P = 28 кН, q = 16 кН/м, M = 28 кН·м.

Решение:

1.Вычертим схему балки с указанием всех численных значений заданных величин (см. рис. 2.1, а).

2.Составим уравнения поперечных сил и изгибающих моментов по участкам.

Выражения для внутренних усилий Qy и M z получим

с помощью метода сечений. Примем за начало отсчёта сечение A. Будем вести отсчёт справа налево.

На участке AB, x (0; 2, 4)

Qy = qx = 16x кН, Qy (0) = 0 кН, Qy (2, 4) = 38, 4 кН.

2

M z (2, 4) = −46,08 кН·м,

M z (4,3) = −94,72 кН·м.

19