2806.Сопротивление материалов. Статические прочностные расчеты

ного напряженного состояния это τmax = 790 кг / см2 . Соответственно, ордината точки пересечения этой прямой с нижней частью круга Мора даст величину τmin = −790 кг / см2 .

Для определения направлений площадок-сечений, в которых действуют эти напряжения, необходимо точки круга Мора с ординатами τmax и τmin соединить прямыми линиями с полю-

сом C (см. рис. 5.3). Искомые направления сечений с τmax и τmin параллельны соответствующим прямым.

Рис. 5.3

4. На основании обобщенного закона Гука относительные деформации εx , εy , εz для сложного напряженного состояния

определим по формулам

Подставляя в эти формулы численные значения всех величин, имеем

61

5. Относительное изменение объема находится по формуле

θ = 1 − 2µ (σx + σy + σz ),

E

θ = 1 − 2 0,3 (1000 − 500 + 0) = 100 10−6. 2 105

Правильность вычислений проверяется по формулам

θ= εx + εy + εz ,

θ= (575 − 400 − 75) 10−6 = 100 10−6

или

θ = 1 − 2µ (σ1 + σ2 + σ3 ),

E

θ = 1 − 2 0.3 (1040 + 0 − 540) = 100 10−6. 2 105

Пример 5.2

Стальной кубик находится под действием сил, создающих плоское напряжённое состояние (одно из трёх главных напряжений равно нулю) (рис. 5.4). Требуется найти: 1) главные напряжения и направление главных площадок; 2) максимальные касательные напряжения, равные наибольшей полуразности

62

главных напряжений; 3) относительные деформации ε x ,ε y ,ε z ;

4) относительное изменение объема; 5) удельную потенциальную энергию.

Рис. 5.4

Решение:

1. Определим величины главных напряжений. Сжимающие напряжения считаем отрицательными. Касательные напряжения положительны, если они поворачивают площадку по часовой стрелке.

63

Определим направление главных площадок:

2. Определим максимальные касательные напряжения:

3. Определим относительные деформации из обобщённого закона Гука:

64

Задание 5.1

По приведенному на рис. 5.5 плоскому напряженному состоянию элементарной частицы из стали (E = 2 105 МПа; µ = 0,3) определить напряжения с помощью круга Мора и от-

носительные деформации. Содержание работы:

Графически с помощью круга Мора определить:

1)напряжения σα, τα в указанном сечении;

2)величину и направление главных напряжений;

3)величину и направление максимальных и минимальных касательных напряжений.

Аналитически вычислить:

4)относительные деформации εx , εy , εz ;

5)относительное изменение объема.

Указание

Числовые данные и виды схем и выбираются в соответствии с шифром по табл. 5.1 и рис. 5.5.

Таблица 5 . 1

65

Вопросы для самопроверки

1.Какими величинами может быть охарактеризовано напряженное состояние в точке нагруженного тела?

2.Что такое главные напряжения?

3.Что такое главные площадки?

4.Какое напряженное состояние называется линейным?

5.Какое напряженное состояние называется плоским?

6.Какое напряженное состояние называется объемным?

7.Как строится круг Мора для плоского напряженного состояния?

8.Что такое полюс круга напряжений? Как с его помощью решаются задачи плоского напряженного состояния?

9.Прямая и обратная задачи теории напряженного состояния?

ТЕМА 6. РАСЧЕТ НА РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

Растяжение и сжатие стержня вызывается силами, действующими вдоль его оси. В поперечных сечениях возникает один внутренний силовой фактор – продольная сила. Для определения внутренней продольной силы используют метод сечений. На основе метода сечений можно сформулировать правило построения эпюры N по характерным точкам.

Продольная сила N в сечении равна алгебраической сумме внешних сил, действующих по одну сторону от сечения. Если внешняя сила направлена от сечения, то она вызывает растяжение и дает положительное слагаемое в выражении для внутренней продольной силы N.

При растяжении-сжатии возникает только нормальное напряжение за счет действия продольных сил. Для получения расчетных зависимостей при растяжении-сжатии бруса необходимо

67

рассматривать три стороны задачи: статическую, геометрическую, физическую, и проводить их синтез, т.е. совместно решать полученные из этого рассмотрения уравнения. Основываясь на гипотезах сопротивления материалов, можно определять зависимости, позволяющие рассчитывать напряжения и деформации, а также оценивать прочность бруса при растяжении-сжатии по допускаемым напряжениям и решать три типа задач: проверочную задачу (проверка прочности конструкции), проектировочную задачу (подбор сечения), определение допускаемой нагрузки.

Основные формулы для расчетов

1.Нормальное напряжение при растяжении-сжатии

σ= N ,

F

где N – продольная сила в сечении; F – площадь поперечного сечения.

2. Условие прочности при растяжении-сжатии: а) стержени из пластического материала

напряжения; [σ]р и [σ]с – допускаемые напряжения на растяжение и сжатие.

68

3. Допускаемое напряжение

[σ] = σпред ,

n

где σпред – предельное напряжение; n – коэффициент запаса

прочности.

4. Перемещение произвольного сечения стержня

w = ∫ N dx , l EF

где E – модуль упругости; F – площадь поперечного сечения.

Пример 6.1

Двухступенчатый стальной брус нагружен силами P , P , P

1 2 3

(рис. 6.1, а). Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине бруса. Определить перемещение ∆ l сво-

бодного конца бруса, приняв E = 2 105 МПа.

Дано:

E = 2 105 МПа,

F1 = 2 см2, F2 = 1,8 см2.

Решение:

1.Вычертим в масштабе стержень с указанием всех численных значений заданных величин (см. рис. 6.1, а).

2.Построение эпюры продольных сил N. Разбиваем стержень на три участка, границы которых совпадают с сечениями, где приложены внешние силы. Значения продольных сил на каждом участке определяем, пользуясь методом сечений, начиная со свободного конца. Сжимающие усилия отрицательны, растягивающие – положительны.

На участке AB сила равна N1 = 0 кН.

69

По полученным значениям строим эпюру продольных сил

(рис. 6.1, б).

Рис. 6.1

3. Построение эпюры нормальных напряжений σ. Для вычисления напряжений стержень разбивается на четыре участка. Их границы определяются сечениями, где приложены силы, и сечениями, где меняются поперечные размеры стержня. Пользуясь эпюрой N, находим

70