2806.Сопротивление материалов. Статические прочностные расчеты

а затем переносятся на общий случай поперечного изгиба. После этого анализируется распределение касательных напряжений при поперечном изгибе в балках различных по форме поперечных сечений, обсуждается влияние на прочность и жесткость касательных напряжений в продольных сечениях. В связи с требованиями по снижению материалоемкости, веса конструкций и их экономичности особое внимание уделяется обоснованию рациональных форм поперечных сечений и балок при изгибе. Все эти вопросы относятся к расчету балок на прочность. При этом решаются три типа задач:

–проверочная задача (проверка прочности): при заданных нагрузках и площади поперечного сечения определяют расчетное напряжение и сравнивают с допускаемым;

–проектировочная задача (подбор размеров сечения): по известным нагрузкам и материалу конструкции определяют размеры поперечного сечения;

–определение несущей способности (определение максимальной нагрузки): по известным размерам поперечного сечения и материалу определяют величину допускаемой нагрузки.

Общая методика расчета на прочность по нормальным и касательным напряжениям

1.Определяются реакции опорных закреплений.

2.На основании метода сечений строятся эпюры внутренних силовых факторов.

3.Определяется опасное сечение – сечение, в котором внутренние усилия максимальны по абсолютной величине:

Мmax – по эпюре изгибающих моментов (для проверки прочности по нормальным напряжениям), Qmax – по эпюре поперечной силы (для проверки прочности по касательным напряжениям).

4.В опасном сечении определяется опасная точка – точка, наиболее удаленная от нейтральной линии.

5.Записываются уравнения прочности и решается одна из трех типов задач.

31

Основные формулы для расчетов

1.Нормальное напряжение при изгибе

σ= M y,

Iz

где M – изгибающий момент в рассматриваемом сечении; Iz –

момент инерции сечения; y – расстояние от нейтральной линии до точки, в которой определяется напряжение.

2. Условия прочности по нормальным напряжениям: а) если [σ]р = [σ]с , то

ное напряжение; [σ]p – допускаемое нормальное напряжение на растяжение; [σ]c – допускаемоенормальноенапряжениенасжатие.

б) если [σ]р ≠ [σ]c , то

3. Касательные напряжения при поперечном изгибе (формула Журавского)

τ= Q Sz , Iz b

где Q – поперечная сила в рассматриваемом сечении; S – статический момент части сечения, расположенной выше или ниже

32

того волокна, в котором определяется касательное напряжение; J – осевой момент инерции сечения; b – ширина сечения, где определяется касательное напряжение.

4. Условие прочности по касательным напряжениям

τmax = Qmax S ≤ [τ],

J b

где [τ] – допускаемое касательное напряжние.

Пример 3.1

Для заданной расчетной схемы двухопорной стальной балки круглого поперечного сечения (рис. 3.1, а) проверить прочность, если [σ] = 160 МПа.

Дано: Р = 5 кН, q = 5 кН/м, l = 2,5 м, d = 100 мм.

Решение:

1.Вычертим расчетную схему балки с указанием всех численных значений (см. рис. 3.1, а).

2.Составим уравнения равновесия и определим реакции

опор RB и RD :

33

Условие прочности по нормальным напряжениям при изгибе имеет вид

Таким образом, условие прочности выполняется.

Пример 3.2

Чугунная балка нагружена так, как показано на рис. 3.2, а. Определить размеры поперечного сечения, изображенного на рис. 3.3, а, если допускаемое напряжение на растяжение

[σ]р = 60 МПа, а на сжатие [σ]c = 140 МПа.

Решение:

1.Вычертим схему балки с указанием всех численных значений заданных величин (см. рис. 3.2, а).

2.Строим эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов M (рис. 3.2, б, в).

3.Определяем опасные сечения. Опасными сечениями балки по нормальным напряжениям будут: сечение А с наибольшим по абсолютной величине отрицательным изгибающим

моментом M maxA = 140 кН·м и сечение В с наибольшим поло-

жительным моментом M maxВ = 130 кН·м.

35

Сечение располагаем рационально, используя данные опасного сечения A, в котором действует максимальный по

абсолютной величине изгибающий момент M maxA = 140 кН·м.

Этот изгибающий момент отрицателен, следовательно, балка в сечении А изгибается так, что растянутые волокна будут наверху. Поскольку из анализа допускаемых напряжений на растяжение и сжатие видно, что чугун хуже сопротивляется растяжению (хуже работает на растяжение), то наиболее массивную часть сечения (наиболее удаленные волокна которой ближе расположены к центру тяжести) необходимо располагать в растянутой зоне. В рассматриваемом сечении это будут верхние волокна. Следовательно, на рис. 3.3, б поперечное сечение расположено рационально для опасного сечения А.

Рис. 3.3

37

5. Находим размеры поперечного сечения, то есть величину t, из условий прочности в этом сечении для растянутых и сжатых волокон:

откуда

t3 ≥ 38 10−6 м, t ≥ 3,36 10−2 м= 3,36 см.

В опасном сечении В рассматриваемый профиль расположен нерационально. В этом сечении изгибающий момент положителен, и растянутые волокна находятся внизу, то есть в менее массивной части профиля. Ближе к центру тяжести профиля, то есть к нейтральной линии, будут расположены сжатые волокна. Это означает что в сечении В

yрmax = 3,18t, ycmax = 2,82t.

Тогда

38

или

В качестве окончательного значения необходимо принять

t = 4,35 см.

При такой величине t в сечении A

σAmax = 57,3 МПа < [σ]р ,

σAmin = 64, 6 МПа < [σ]c .

В сечении B

σB max = 60 МПа = [σ]р ,

σB min = 53, 2 МПа < [σ]c .

Эпюры нормальных напряжений в сечении A и B изображены соответственно на рис. 3.3, б, в.

39

Пример 3.3

Определить размеры поперечного сечения клееной деревянной балки, нагруженной, как показано на рис. 3.4, а, из условия прочности по касательным напряжениям, если [τ]клея =

= 0,8 МПа, а [τ]дерева = 2 МПа. Форма поперечного сечения показана на рис. 3.5, а.

Решение:

1.Вычертим схему балки с указанием всех численных значений заданных величин (см. рис. 3.4, а).

2.По заданной схеме нагружения строим эпюру поперечных сил Q (рис. 3.4, б).

Рис. 3.4

3. Определяем опасное сечение балки.

Из эпюры Q видно, что опасным по касательным напряжениям будет сечение с Qmax = 50 кН.

4. Определяем положение центра тяжести сечения (рис. 3.5, а), взяв за исходную горизонтальную ось нижнее основание сечения

40