2806.Сопротивление материалов. Статические прочностные расчеты
.pdf
|
σ |
AB |
= |
|
|
|
N1 |
= |
|
0 |
|
|
|
|
= |
0 МПа, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10−4 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
F |
2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
σ |
BC |
= |
|
|
N |
2 |
|
|
= |
|
|
|
−15 103 |
= − 75 МПа, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 10−4 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
σ |
= |
|
N |
2 |
|
= |
|
−15 103 |
= − 83,3 МПа, |
|||||||||||||||
|
F |
|
|
|
1,8 10−4 |
|||||||||||||||||||
|
CD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
σ |
|
= |
|
|
N |
3 |
= |
|
|
|
3 103 |
|
|
= 16, 7 МПа, |
||||||||||
DE |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
F |
|
|
1,8 10−4 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
σ |
EF |
= |
|
|
N |
4 |
= |
|
|
|
−9 103 |
|
|
= − 50 МПа. |
||||||||||
|
|
F |
|
|
|
1,8 10−4 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
По полученным результатам строим эпюру нормальных |
||||||||||||||||||||||||
напряжений σ (рис. 6.1, в). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
4. Определим перемещение ∆ |
|
l |
свободного конца бруса. |
Определение перемещений начинаем от заделки, где оно равно нулю. Перемещение произвольного сечения стержня на расстоянии х от заделки равно абсолютному удлинению части стержня, которая заключена между этим сечением и заделкой.
Перемещение произвольного сечения стержня определя-
ется по формуле w = ∫ |
N dx |
. В нашем случае все параметры, |
EF |
||
l |
|
|
входящие под интеграл, не зависят от x, поэтому перемещение
определяется так: w = N l .
EF
На участке FE
w |
= ∆ l |
|
= |
N4 0, 2 |
= |
−9 103 0, 2 |
|
= − 0,5 10−4 |
м. |
|
|
2 1011 1,8 10−4 |
|
||||||
FE |
|
FE |
|
EF |
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
71
На участке ED
w |
= ∆ l + |
w = − 0,5 10−4+ |
N3 0,1 |
= |
|
|||
|
|
|||||||
ED |
ED |
FE |
|
EF2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
= −0,5 10−4 + |
|
3 103 0,1 |
= −0, 42 |
10−4 |
м. |
|||
|
1011 1,8 10−4 |
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
На участке DC
w = ∆ l + w = − 0, 42 10−4+ |
N2 0, 2 |
= |
|
||||
|
|
||||||
DC |
DC |
ED |
|
EF2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||
= −0, 42 10−4 + |
|
−15 103 0, 2 |
= −1, 25 10−4 |
м. |
|||
|
1011 1,8 10−4 |
||||||
|
2 |
|
|
|
|
На участке CB
w = ∆ l + w = − 1, 25 10−4+ |
N2 0, 7 |
= |
|
||||
|
|
||||||
CB |
CB |
DC |
|
EF1 |
|
||
|
|
|
|
|
|||
= −1, 25 10−4 + |
−15 103 0,5 |
= −3,13 10−4 |
м. |
||||
2 1011 2 10−4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
На участке AB
w |
AB |
= ∆ l + |
w = − 3,13 10−4+ |
N1 0,5 |
= |
|
||||
|
|
|||||||||
|
AB |
|
CB |
|
EF1 |
|
||||
|
|
|
|
0 0,5 |
|
|
||||
= −3,13 10−4 |
+ |
= −3,13 |
10−4 |
м. |
||||||
|
||||||||||
2 1011 2 10−4 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, перемещение свободного конца бруса ∆ l= wAB= − 3,13 10−4 м. Знак минус означает, что стержень сжимается.
72
Пример 6.2
Стальной брус нагружен силами, как показано на рис. 6.2, а. Определить площадь поперечного сечения каждой ступени стержня с учётом нагрузок и собственного веса. Определить внутренние усилия, напряжения и деформации на каждом участке стержня.
Дано:
P = 200 кН, P = 430 кН, P = 650 кН, γ = 21 кН/м3, |
||
1 |
2 |
3 |
l1 = 8 м, l2 = 4 м, l3 = 4 м,
[σ]p = 0,5 МПа, [σ]c = 5 МПа, E = 1,5 1010 Па.
Решение:
1.Вычертим стержень с указанием всех численных значений заданных величин (см. рис. 6.2, а).
2.Составим уравнения внутренних усилий N с учётом собственного веса конструкции. Разбиваем стержень на три участка, границы которых совпадают с сечениями, где приложены внешние силы. Значения внутренних усилий на каждом участке определяем, пользуясь методом сечений, начиная со свободного конца. Сжимающие усилия отрицательны, растягивающие – положительны.
На участке AB, x (0; l1= 8 м)
|
|
|
|
|
N1 = −P1 − γF1 x, N |
(0) = −P = −200 кН, |
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
N |
(l ) |
= −P − γ F l = − 200− 21 4,14 10−2 8= − 207, 0 кН. |
||||
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 1 |
|
|
|
|
|
На участке BC, |
x (0; l2= |
4 м) |
|||
|
|
|
|
|
N2 = P2 − γF2 x + N1 (l1 ) = P2 − γF2 x − P1 − γF1l1 , |
|||
|
|
|
|
|
N2 (0) = P2 + N1 (l1 ) = 430 − 207 = 223 кН, |
|||
N |
2 |
(l |
) |
= P − γ F l + N |
(l )= 430− 21 44,6 10−2 4− 207= 185,5 кН. |
|||
|
2 |
|
2 |
2 2 |
1 |
1 |
|
73
|
|
На участке CD, |
x (0; l3= 4 м) |
||
|
N3 = −P3 − γF3 x + N2 (l2 ) = −P3 − γF3 x + P2 − γF2l2 − P1 − γF1l1, |
||||
|
|
N3 (l3 ) = −P3 + N2 (l2 ) = −650 +185,5 = −464,5 кН, |
|||
N |
(l |
) = −P −γ F l + N |
(l )= − 650− 21 9,45 10−2 4+ 185,5= − 472,4 кН. |
||
3 |
3 |
3 |
3 3 |
2 |
2 |
По полученным значениям строим эпюру продольных сил
(рис. 6.2, б).
Рис. 6.2
3. Определим наиболее нагруженное сечение на каждом участке и подберём площадь поперечного сечения из условия прочности по допускаемым напряжениям.
Условие прочности имеет вид
σmaxp = |
N |
≤ [σ] |
|
, |
σcmax = |
|
|
N |
|
|
≤ [σ] , |
|
р |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
F |
|
|
|
|
F |
|
|
с |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
74
где N – продольная сила; |
F – площадь поперечного сечения; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[σ]p – |
допускаемое нормальное напряжение на |
растяжение; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[σ]c – допускаемое нормальное напряжение на сжатие. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
На участке |
AB наибольшее значение модуля силы при |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x = l1 |
равно N1 (l1 ) = −P1 − γF1l1 Н. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Тогда условие прочности запишется так: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
[σ ] , |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
= |
|
|
1 |
|
|
+ γ l ≤ |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1 |
1 |
|
|
|
c |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
200 103 |
|
= 4,14 10−2 м2. |
|||||||||||
|
F |
≥ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
[σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
]c− γ l1 |
|
|
|
|
|
5 106 − 21 103 8 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
На участке |
BC |
наибольшее значение модуля силы при |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x = 0 равно N2 = P2 + N1 (l1 ) |
кН. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Тогда условие прочности запишется так: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N2 |
|
|
|
= |
|
|
P2 + N1 (l1 ) |
|
|
≤ [σ] , |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F2 |
|
р |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
F ≥ |
|
P2 + N1 (l1 ) |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
430 103 − 207,0 103 |
= 44,6 |
10−2 м2. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
[σ ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 106 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На участке |
CD наибольшее значение модуля силы при |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x = l3 |
равно N3 = −P3 − γF3l3 + N2 (l2 ) |
Н. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Тогда условие прочности запишется так: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
N3 |
|
|
= |
|
|
P3 − N2 (l2 ) |
|
|
+ γl3 ≤ [σ] , |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
F3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F3 |
|
|
с |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
75
откуда
|
|
|
P3 |
− N2 |
(l2 ) |
|
|
650 |
103 −185,5 |
103 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
F |
≥ |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= 9, 45 10−2 м2. |
|
[σ ]c− γ l3 |
|
|
|
|
||||||
3 |
|
|
|
5 106 − 21 103 4 |
|||||||
|
|
|
|
|
4. Определим нормальные напряжения σ и построим их эпюры. Для вычисления напряжений стержень разбивается на три участка. Их границы определяются не только сечениями, где приложены силы, но и сечениями, где меняются поперечные
размеры стержня. Пользуясь эпюрой N , |
находим: |
||||||||||||||||||||||||||||
участок AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
σAB = |
N1 |
|
= −P1 − γF1x = − |
P1 |
− γx, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1 |
|
|
|
F1 |
|
|
|
|
|
F1 |
|||||||||
|
|
σ AB (0)= − |
|
P |
|
|
|
200 103 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
= − |
|
|
|
|
|
|
|
= − 4,83 МПа, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1 |
|
|
4,14 10−2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
(l )= − |
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
200 103 |
− 21 103 8 = −5 МПа; |
|||||||||||||||
σ |
AB |
|
1− γ l = − |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
F1 |
|
|
1 |
|
|
|
4,14 10−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
участок BC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
σBC = |
N2 |
= |
P2 − γF2 x + N1 (l1 ) |
= |
P2 + N1 (l1 ) |
− x, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
F2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
F2 |
|
|
|
|
|
|
F2 |
||||||||
|
σ BC (0)= |
P2 + N1 (l1 ) |
= |
|
430 103 − 207 103 |
= 0,5 МПа, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
F2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44, 6 10−2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
σ |
BC |
(l )= |
P2 + N1 (l1 ) |
− γ l = |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
F2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= |
430 103 − 207 103 |
− 21 103 4 = 0, 42 МПа; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
44, 6 10−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
76
участок CD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
σCD |
= |
N3 |
= |
−P3 − γF3 x + N2 (l2 ) |
= |
|
−P3 + N2 (l2 ) |
− γx , |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
F3 |
|
|
|
F3 |
|
|
|
F3 |
|||||
σ CD (0)= |
|
|
−P3 + N2 (l2 ) |
= |
|
−650 103 +185,5 103 |
= − 4,92 МПа, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
F3 |
|
|
|
|
|
9, 45 10−2 |
||||||
|
|
|
|
|
σ |
BC |
(l )= |
|
|
−P3 + N2 (l2 ) |
− γ l = |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F3 |
|||||
= |
−650 103 +185,5 103 |
− 21 103 4 = −5 МПа. |
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
9, 45 10−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По полученным результатам строим эпюру нормальных напряжений σ (рис. 6.2, в).
5. Определение перемещений начинаем от заделки, где оно равно нулю. Перемещение произвольного сечения стержня на расстоянии x от заделки равно абсолютному удлинению части стержня, которая заключена между этим сечением и заделкой.
Перемещение произвольного сечения стержня определя-
ется по формуле w = ∫ |
N dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
l |
EF |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перемещение сечения C относительно заделки равно аб- |
||||||||||||||||||||||
солютному удлинению участка CD стержня: |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
l3 N dx |
l3 (−P3 − γF3 x + N2 |
(l2 )) dx |
|
|
|||||||||||||||
|
wC = ∆ lCD= ∫ |
|
3 |
|
|
= |
|
∫ |
|
|
|
= |
|
|||||||||
|
EF |
|
|
EF |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
0 |
|
3 |
|
|
|
|||
|
−P3 + N2 (l2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
x |
|
l3 |
− |
γ |
|
|
|
x2 |
|
l3 |
= −650 103 +185,5 103 |
|
4 − |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
EF3 |
|
|
0 |
|
2E |
|
|
0 |
1,5 1010 9, 45 10−2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
− |
|
21 103 |
|
|
|
|
|
42 = −13, 22 10−4 м. |
|
|
|||||||||||
|
|
1,5 1010 |
|
|
||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
77
Перемещение сечения B относительно заделки складывается из абсолютного удлинения участков CD и BC :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
|
l2 |
N2 |
dx |
|
||||
|
|
|
|
w |
|
= ∆ l + ∆ |
|
l |
|
|
= − |
13, 22 |
10 |
|
+ |
|
∫ |
EF |
= |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
B |
|
|
CD |
|
|
|
|
BC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
l2 (P − γ F x+ N |
(l |
)) dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−13, 22 10−4 = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= ∫ |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
(l |
|
) |
|
EF2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
P |
+ N |
|
|
|
|
|
l |
|
γ |
|
|
|
|
|
l2 |
−13, 22 10−4 = |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
2 |
1 |
1 |
|
|
|
x |
2 |
− |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
EF2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2E |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
430 103 − 207 103 |
|
4 − |
|
21 103 |
|
|
|
42 −13, 22 10−4 = |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
1,5 1010 44, 6 10−2 |
2 1,5 1010 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
=1, 22 10−4 −13, 22 10−4 = −12 10−4 м. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Перемещение сечения A относительно заделки складыва- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ется из абсолютного удлинения участков CD, |
BC и AB : |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
|
|
l1 N dx |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
∫ |
1 |
|
|
||||
|
|
|
w |
|
= ∆ l + ∆ l + ∆ l = − |
|
|
10+ |
|
|
|
= |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
A |
|
|
|
CD |
|
BC |
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EF |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
l1 |
(−P − γ F x) dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−P |
|
|
l |
|
|
|
γ |
|
l1 |
|
|
||||||||||||
= ∫ |
−12 10−4 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
−12 10−4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
x |
01 |
|
− |
|
|
|
x2 |
|
= |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
EF1 |
|
|
|
EF1 |
|
2E |
0 |
||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
−200 103 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 − |
|
|
|
|
21 103 |
|
|
|
82 |
−12 10−4 = |
|
||||||||||||||
|
|
|
1010 4,14 10−2 |
|
|
|
|
1,5 1010 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
1,5 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
= −26, 21 10−4 −12 10−4 = −38, 21 10−4 м.
Таким образом перемещение свободного конца стержня равно перемещению сечения A, и wA = −38, 21 10−4 м. Знак ми-
нус означает, что стержень сжимается.
По полученным результатам строим эпюру перемещений
(рис. 6.2, г).
78
Пример 6.3
Проверить прочность по допускаемым напряжениям статически определимой шарнирно-стержневой системы, показанной на рис. 6.3, а, и определить перемещение узла A.
Дано:
P = 500 кН, l = 1, 7 м,
[σ] =160 МПа, E = 2,1 105 МПа,
α = 45D, β = 70D, γ = 40D.
Решение:
1.Вычертим в масштабе расчетную схему стержневой системы (см. рис. 6.3, а).
2.В стержнях AB и AC возникают усилия, которые препятствуют их деформации, т.е. возникают реакции. Для составления уравнений равновесия системы мысленно вырежем узел A. В сечении стержней приложим неизвестные реакции
NAC и NAB в направлении, выражающем деформацию стерж-
ней (см. рис. 6.3, а).
Рис. 6.3
79
Запишем уравнения равновесия:
∑Y = −N AB cos (α + β +) N AC cosα( −) P cos (γ ) = 0,
−N AB cos (45D + 70D) + N AC cos (45D)− P cos (40D) = 0,
N AC = |
N AB cos (115D) + 500cos (40D) |
= −0,598N AB + 541,7 кН. |
||||||||||
|
cos(45D) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∑ X = −N AB sin (α + β ) + N AC sin (α )+ |
P sin (γ ) = 0, |
|||||||||||
|
−N AB sin (115D) + N AC sin (45D) + P sin (40D) = 0, |
|||||||||||
N AB = |
N AC sin (45D) + 500sin (40D) |
|
= 0,780N AC + 354,6 кН, |
|||||||||
sin (115D) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
N AB = 0,780(−0,598N AB + 541,7) + 354,6 , |
||||||||||
|
|
|
|
N AB = 530,1 кН. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
N AC = −0,598N AB + 541, 7 = 224, 7 кН. |
||||||||||
3. Подберём из условия прочности |
размеры сечения |
|||||||||||
стержней. |
|
|
|
|
|
|
||||||
Условие прочности имеет вид |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
σ = |
N |
≤ [σ] , откуда |
F ≥ |
|
N |
|
|
. |
||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
F |
|
[σ] |
|
80