- •Г.Г КАШЕВАРОВА, Т.Б. ПЕРМЯКОВА
- •Предисловие
- •Введение
- •Общие сведения о математическом моделировании.
- •Численные методы
- •Элементы теории погрешности
- •Понятия мастера и надстройки
- •Глава 1. Основные понятия матричного исчисления. Матрицы в расчетах строительных объектов
- •1.1. Матрицы и векторы. Определения
- •1.2. Матрицы специального вида
- •1.3. Действия над матрицами
- •1.4. Нормы матрицы и вектора
- •1.5. Матрицы в задачах строительной механики
- •1.5.1. Матрицы влияния внутренних сил
- •1.5.2. Матричная форма расчета статически определимых ферм
- •1.5.3, Матричная форма метода сил
- •1.5.4. Матричная форма метода перемещений
- •1.6. Матрицы в расчетах инженерных сетей
- •1.7. Функции Excel для операций над матрицами
- •Категория: математические. Функции:
- •2.1. Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.2.1. Метод Гаусса
- •2.2.2. Метод Гаусса для СЛАУ с ленточными матрицами
- •2.2.3. Метод прогонки
- •2.2.4. Метод (схема) Холецкого
- •2.3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •2.3.1. Метод Якоби (простых итераций)
- •2.3.2. Метод Гаусса - Зейделя.
- •2.3.3. Условия сходимости итерационного процесса
- •2.5. Обусловленность задач и вычислений, или как узнать, что получены правильные ответы
- •2.6. Вычисление определителя
- •2.7. Вычисление обратной матрицы
- •2.8. Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц
- •2.8.1. Вводные замечания
- •2.8.2. Методы развертывания вековых определителей
- •2.8.3. Итерационные методы определения максимального по модулю собственного значения
- •2.9.1. Реализация метода Гаусса средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •2.9.4. Реализация метода Зейделя средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •3.1. Отделение корней
- •3.2. Этап уточнения корня
- •3.2.1. Метод половинного деления (бисекций)
- •3.2.2.Метод хорд
- •3.2.3. Метод Ньютона (метод касательных)
- •3.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •3.3. Системы нелинейных уравнений
- •3.4. Реализация численных методов решения нелинейных уравнений средствами приложения Excel
- •3.4.1. Решение нелинейных уравнений
- •Последовательность действий
- •4.2.3. Интерполяционный полином Эрмита
- •4.2.4. Сплайн-интерполяция
- •Глава 4. Аппроксимация
- •4.1. Задача и способы аппроксимации
- •4.2. Интерполирование функций
- •4.2.1. Постановка задачи интерполирования
- •4.2.2. Интерполяционная формула Лагранжа
- •4.3. Среднеквадратичное приближение функций
- •4.3.1. Метод наименьших квадратов
- •4.3.4. Квадратичное (параболическое) приближение
- •4.3.4. Эмпирические формулы с двумя параметрами. Метод выравнивания
- •4.4. Решение задач аппроксимации с помощью электронных таблиц Excel
- •4.4.1. Построение линейной эмпирической формулы методом наименьших квадратов
- •Последовательность действий
- •Последовательность действий
- •5.1. Квадратурные формулы прямоугольников
- •5.2. Квадратурная формула трапеций
- •5.3. Квадратурная формула Симпсона
- •5.4. Реализация методов численного интегрирования средствами приложения Excel
- •Глава 6. Численные методы решения дифференциальных уравнений с начальными и краевыми условиями
- •6.1.1. Задачи Коши и краевые задачи
- •6.2.1.Классификация уравнений и типы задач
- •6.3. Численные методы решения задач Коши
- •6.3.1. Метод Эйлера
- •(геометрический метод решения задачи Коши)
- •6.4. Численные методы решения краевых задач
- •Разностная схема краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка
- •Конечно-разностная аппроксимация функций двух переменных
- •Сходимость метода конечных разностей
- •6.5. Вариационный подход к решению краевых задач
- •6.5.1. Основные понятия вариационного исчисления
- •6.5.2. Связь решения краевой задачи с нахождением минимума функционала
- •6.5.3. Метод Ритца
- •6.6.1. Решение задачи Коши методом Эйлера
- •Построение второй итерации
- •Последовательность действий.
- •Порядок построения графиков приближенных решений краевой задачи
- •Глава 7. Метод конечных элементов
- •7.1. Основные положения МКЭ
- •Построение расчетной модели
- •Аппроксимация искомой функции
- •Составление разрешающих уравнений
- •Решение системы линейных алгебраических уравнений
- •7.2.1. Классификация конечных элементов
- •Одномерный конечный элемент
- •Двухмерные конечные элементы.
- •элемента
- •Одномерный симплекс-элемент
- •Двухмерный треугольный симплекс-элемент
- •7.2.3. Интерполирование векторных величин
- •7.2.4. Разбиение области на конечные элементы
- •7.2.5 Нумерация узлов и элементов
- •7. 3. Основные соотношения МКЭ
- •7.3.1. Получение разрешающих уравнений на примере плоской задачи теории упругости
- •7.3.2. Примеры разрешающих уравнений в задачах расчета строительных объектов
- •7.4. Другие типы конечных элементов
- •7.4.1. Элементы Эрмита
- •7.5. Теоретическая и практическая сходимость МКЭ
- •7.6.1. Специализированные программные комплексы
- •7.6.2. Универсальные программные комплексы
- •8.1.1. Математическая модель задачи оптимизации
- •8.1. Общие сведения
- •8.1.2. Необходимые и достаточные условия экстремума функции
- •8.1.3. Классификация задач математического программирования
- •8.2. Постановка задачи оптимального проектирования
- •8.2.1. Определение входных и выходных параметров
- •8.2.2. Выбор целевой функции
- •8.2.3. Назначение ограничений
- •8.2.4. Нормирование управляемых и выходных параметров
- •8.2.5. Примеры постановок задач оптимального проектирования
- •8.3. Задачи линейного программирования
- •8.3.1. Общая постановка задачи ЛП
- •8.3.2. Геометрический смысл системы линейных неравенств с двумя неизвестными
- •8.3.4. Симплекс-метод решения задач линейного программирования
- •Задача об оптимальном плане выпуска продукции
- •Задача об оптимальном раскрое материалов (о минимизации отходов)
- •Задача о планировании смен на предприятии
- •Задача о покрытии местности при строительстве объектов
- •Транспортная задача
- •Задача о назначениях (проблема выбора)
- •8.3.6. Двойственные задачи в линейном программировании
- •8.4. Нелинейные задачи оптимизации
- •8.4.1. Выпуклые множества и выпуклые функции
- •8.4.2. Классификация численных методов решения нелинейных задач оптимизации
- •Основные этапы поиска экстремума
- •8.4.3. Численные методы одномерного поиска
- •Метод перебора или равномерного поиска
- •Метод дихотомии (или половинного деления)
- •Метод квадратичной интерполяции
- •Метод покоординатного спуска
- •Метод градиентного спуска
- •Метод наискорейшего спуска
- •Метод сопряженных градиентов
- •Метод Ньютона
- •Метод штрафных функций
- •8.5. Решение задач оптимизации с помощью электронных таблиц Excel
- •Литература
- •Оглавление
- •Численные методы решения задач строительства на ЭВМ
y j< TTj.
Если y j> T T j, то
$ Рекомендуется [20] принимать: 1) а,-> 1(рекомендуемые значения 5<
c ij <20), если |
желательно |
достичь выполнения j -го технического |
|||||
требования с заданным допуском, т.е. |
yj= 77) ± Ау/У 2) af = 1, если |
||||||
необходимо получить максимально возможную оценку vj. |
|
|
|||||
Качество |
фунщионированая |
технической |
системы |
||||
характеризуется |
вектором |
выходных |
параметров |
и, |
|||
следовательно, |
вектором |
V = (v]9v2,...,vm) . |
Поэтому |
целевую |
|||
функцию следует формировать как некоторую функцию <р(У) вектора оценок. Например, если в качестве целевой функции рассматривается запас только того выходного параметра, который
в данной точке X является наихудшим с позиций |
выполнения |
требований ТЗ, то |
|
г ( Х ) = т т У : ( Х ) , |
(8.16) |
1 /<Тin • |
|
где т - количество запасов работоспособности.
Естественно теперь поставить задачу о выборе такой
стратегии поиска X , которая максимизировала бы минимальный из запасов, т.е.
max Z(X) - шах |
min v,• (.ДО |
(8.17) |
X e X d |
Is j<,m ■' |
|
где Xd - допустимая область для поиска.
Критерий оптимизации с целевой функцией (8.17) называют
максимпнным критерием.
8.2.3. Назначение ограничений
Ограничения объективно появляются при проектировании технических объектов и объектов управления и вытекают из
конкретной физической и технологической реализуемости внутренних параметров элементов, ограниченности ресурсов и
т.п.
При постановке задачи оптимизации учет ограничений иногда бывает принципиально необходим. Так, если целевая функция имеет вид Z(x) = а + Ъх и не наложены ограничения на параметр х, то задача поиска экстремального значения Z(x) становится некорректной. Ограничения суживают область решений, и искомый экстремум становится условным.
Различают прямые и функциональные ограничения.
Прямые ограничения имеют вид
|
хш <Х; <xei |
при |
ie[l:w], |
(8.18) |
где |
хв; - минимально и максимально допустимые значения /-го |
|||
управляемого параметра; |
п - |
размерность |
пространства |
|
управляемых параметров. Например, для многих объектов параметры элементов не могут быть отрицательными: л:ш,> О (геометрические размеры, массы и т. п.).
Функциональные ограничения, как правило, представляют собой условия работоспособности выходных параметров, не вошедших в целевую функцию.
Они представляют собой математическое описание требований, обеспечивающих функционирование проектируемого объекта на всех этапах его существования и устанавливающих основные взаимосвязи оптимизируемых параметров [2]:
экономические, включающие в себя ограничения ресурсов, требования к сбыту, торговле, организационной системе;
прочностные, обеспечивающие работоспособность конструкции в целом, отдельных ее узлов из условий прочности, жесткости, устойчивости, долговечности; условия равновесия, совместности деформаций, формула Мора для определения прогиба и г.п.;
конструктивно-технологические, описывающие специальные
конструктивные или технологические требования;
-геометрические, позволяющие по полученным значениям искомых оптимизируемых параметров xh х2, х3,....хп, а также по совокупности параметров ah а2, ...а,тзаданных в качестве исходной информации, воспроизвести объект с той степенью детализации, которая необходима исследователю при решении конкретной задачи;
-механические, описывающие кинематические и динамические характеристики объекта (взаимное расположение узлов и элементов конструкции, внешние усилия, инерционные силы, массу конструкции ит.п.).
Функциональные ограничения могут иметь вид:
1)равенств (8.2) и (или)
2)неравенств (8.3).
Прямые и функциональные ограничения формируют допустимую область поиска. Если ограничения (8.2) и (8.3) совпадают с условиями работоспособности (8.8), то допустимую область называют также областью работоспособности.
8.2.4. Нормирование управляемых и выходных параметров
Пространство управляемых параметров - метрическое. Поэтому при выборе направлений и величин шагов поиска следует вводить ту или иную норму, отождествляемую с расстоянием между двумя точками. Последнее предполагает, что все управляемые параметры имеют одинаковую размерность или являются безразмерными.
Возможны различные способы нормирования. В качестве примера рассмотрим способ логарифмического нормирования, достоинством которого является переход от абсолютных приращений параметров к относительным. В этом случае /-й управляемый параметр щ преобразуется в безразмерный х\
следующим образом [20]: |
|
*,=1п(и,/£,), |
(8.19) |
где |
- коэффициент, численно равный единице параметра иь |
Нормирование выходных параметров можно выполнить с помощью весовых коэффициентов, как в аддитивном критерии, или переходом от^7 к запасам работоспособности у,- по (8.15).
8.2.5. Примеры постановок задач оптимального проектирования
Теорию оптимального проектирования отличает большое разнообразие постановок задач. Минимизация веса конструкций при ограничениях по прочности, жесткости, задачи отыскания оптимальных форм поперечных сечений элементов конструкций являются основными в теории оптимального проектирования строительных сооружений. При этом для различных типов конструктивных элементов (балки, колонны, фермы, пластинки, оболочки) уравнения связи, ограничения, а также действующие нагрузки существенно отличаются.
Рассмотрим некоторые характерные примеры построения математических моделей задач оптимального проектирования.
■ Задача 8.1. Пусть требуется спроектировать прямоугольный контейнер (рис.8.5.) объемом 1 м3 для перевозки какого-то вида продукции. Желательно, чтобы на изготовление контейнера затрачивалось как можно меньше материала. При условии постоянства толщины стенок это означает, что площадь поверхности
должна быть минимальной.
Чтобы контейнер было удобно брать автопогрузчиком, его ширина должна быть не менее 1,5 м.
Составим математическую модель задачи.
Проектные параметры: х и х2, х3 - длина, ширина и высота контейнера.
Целевая функция должна описывать площадь боковой поверхности контейнера (м2), которую требуется минимизировать:
Z min = 2 ( * |* 2 + * 2 * 3 + * 1 * 2 > |
( 8 2 ° ) |
|
Ограничение - равенство |
(объем |
Рис.8.5. Проектируем ы й контейнер |
контейнера (м3) JC,JC2 JC3 = 1 |
(8.21) |
Ограничения - неравенства:
JCJ>1,5; х2>0\ *3>0. (8.22).
Внимательный конструктор заметит, что ограничение - равенство, благодаря своей простоте, позволяет уменьшить размерность задачи.
Действительно, |
если |
|
выразить х3 =1/х{х2, |
то х3 можно |
|||||
исключить из проектных параметров. |
|
|
|
||||||
Формулируя задачу вновь, мы будем иметь: |
|
|
|||||||
Проектные параметры: х\9х2, |
|
|
|
|
|||||
Целевая функция: |
Zmin |
= 2(дг,JC2 + — + — ) |
|
(8.23) |
|||||
Ограничений - равенств |
|
нет; |
*1 |
*2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
Ограничения - неравенства: |
|
х\ > 1,5; х2 > 0. |
(8.24) |
||||||
Целевая |
функция и |
|
ограничения |
задачи |
нелинейны, |
||||
следовательно, |
мы |
получили |
задачу |
|
нелинейного |
||||
программирования. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Если воспользоваться обычным определением минимума и |
|||||||||
принять |
dZ |
Л |
dZ |
л |
то |
будет |
получен |
результат: |
|
---- = 0; |
---- = 0, |
||||||||
|
дх} |
|
дх2 |
|
|
|
|
|
|
jti=jt2=X3= lMОднако |
при |
таком |
решении не |
удовлетворено |
|||||
ограничение |
неравенство, |
и следовательно, |
такое решение |
||||||
неприемлемо, т.е. требуется другой подход к решению данной задачи, которое мы получим позднее при рассмотрении методов решения задач нелинейного программирования.
Если при проектировании контейнера поставить другую цель - сделать минимальным объем сварочных работ, т.е. получить минимальную длину сварочных швов, то целевая функция будет иметь вид:
Z(min)= 4 (х, + х2 + х3) |
(8.25) |
и соответственно решение задачи будет иным.
Вообще, выбор целевой функции носит субъективный характер, и поэтому объект может быть оптимален только в смысле данного критерия.
■ Задача 8.2. Требуется спроектировать произвольную ферму (в общем случае - статически неопределимую), имеющую минимальный теоретический вес при действии на нее нескольких несовместимых (взаимоисключающих) нагрузок.
Пусть п число стержней фермы; т - число лишних стержней; t - число несовместимых нагрузок.
Целевую функцию - теоретический вес фермы можно
записать [10] как
П
(8.26)
/= |
Обозначим Sik - усилие в i-м стержне от k-Pi нагрузки. Усилия в т лишних стержнях принимаем за лишние неизвестные в основной системе метода сил.
Тогда уравнения связи (ограничения —равенства) в задаче оптимизации можно записать в виде [11]
т
где Nfk и Nik - усилия в i -м стержне от к-й нагрузки и от единичного усилия А] =1 в основной системе метода сил.
Введем в рассмотрение вспомогательные переменные особого рода "запасы площадей сечений стерэ/сней по растяо/сению и сжатию" [10]:
|
(8.28) |
|
а |
=F, + |
S:k |
(8.29) |
а Ф/
где F\ - площадь поперечного сечения стержня; ф,-- коэффициенты продольного изгиба.
ёЗамечание. Величины "запасов системы" могут быть полезны при расчете и других оптимальных систем.
Вкачестве проектных параметров принимаем площади поперечных сечений F\ и запасы по растяжению uik и слсатию vik
Впрочной системе эти параметры должны быть неотрицательны.
И еще одна группа ограничений - неравенств:
F\> 0; U i k > 0; v l k > 0. |
(8.30) |
Выразим усилия через площади и запасы по растяжению:
^ik |
_ с1 |
1. |
|
—а |
- Л |
~ и \к • |
|
Подставляя это выражение в (8.27) и (8.29), получим |
|
||
F , - и * М |
J - “ /*) = -О< . |
(8-31) |
|
^.(ф(.+ 1 ) - М(, - |
ФЛ,= 0 |
(8.32) |
|
Теперь задача сводится к минимизации целевой функции (8.26) при условиях (8.31) и (8.32) и требованиях (8.30).
Эта задача записана в стандартной форме задачи линейного программирования. Эта постановка отличается тем, что допускает
возможность существования статически определимых и вырожденных ферм (т.е., допускает Fx = 0) и не вводится ограничений по жесткости и конструктивных, при учете которых задача оптимизации станет нелинейной.
■Задача 8.3. Пусть требуется найти наивыгоднейшее сечение балки постоянного двутаврового сечения, загруженной равномерно распределенной нагрузкой (рис.8.6), которое удовлетворяло бы
требованиям прочности и жесткости.
тжфъМ
Рис.8.6. К задаче 8.3 |
|
||
В качестве целевой функции возьмем объем балки [10] |
|
||
Z(min)~Fl. |
|
(8.33) |
|
Условие прочности можно записать: |
|
||
|
|
М |
|
М< cr„W, или W ------ > 0 или |
|
||
W - ^ - > |
0, |
(8-34> |
|
|
8о" |
|
балки; |
где М - максимальный изгибающий момент в сечении |
|||
W -момент сопротивления сечения; сг,, - нормируемая величина |
|||
напряжения. |
|
|
|
Условие жесткости: |
Л<Д„ или |
|
|
Дп |
|
> 0 , |
(8.35) |
|
|
||
|
384EJ |
|
|
где: Д - максимальный прогиб балки; Д„ - нормируемая величина прогиба; Е - модуль упругости материала балки; J - момент инерции сечения.
Для тонкостенного двутаврового сечения с точностью до малых величин можно считать
F =2F„ + H t; |
(8.36) |
(8.37)
12 2
(8.38)
Н6
где F„ - площади полок двутаврового сечения; Fcm=Ht - площадь стенки сечения. Толщина стенки t считается заданной.
Отсюда |
6 |
(8.39) |
Н |
’ |
|
2W |
2Ш |
|
Я |
+ |
(8.40) |
3 |
||
Переменными проектирования можно считать момент
сопротивления сечения Wи высоту сечения балки А.
Перейдем к безразмерным параметрам. Введем относительный параметр Х] по условию
W =x,-^— . |
(8.41) |
|
|
8а„ |
|
Тогда условие прочности (8.34) запишется как |
||
*)-! >Ю. |
(8.42) |
|
Замена момента инерции J его выражением (8.37) приводит |
||
условие жесткости к виду |
Х, Н - ^ > |
0. |
|
24£Л., |
|
Введем параметр *2 по условию Н = х2 W 2 тогда условие 24ЕА„ ’
жесткости можно записать
х,х2-1>0. (8.43)
Наконец, целевую функцию (8.33) также выразим через
безразмерные параметры Х\ и х2. После подстановки и преобразования получим
|
г *1 + сх2 |
(8-45), |
||
|
|
|
|
) |
где |
6 ql2 |
r Е ' |
(8.46) |
|
А = |
|
> |
||
|
5 <*,, |
|
||
|
с = 25 |
<У |
(8.47) |
|
|
216 |
q |
\ Е |
) |
Итак, мы сформулировали следующую задачу нелинейного программирования в безразмерных параметрах:
минимизировать целевую функцию
Z min= |
^ |
+ cx2 |
(8.48) |
|
*2 |
|
|
при условиях прочности и жесткости |
|
||
Х\— 1 >0; |
*|*2~1 ^0; |
(8.49) |
|
и ограничениях |
|
|
|
*i>0, |
х2>0. |
(8.50) |
|
Решение задачи мы получим позднее, когда рассмотрим методы решения задач нелинейного программирования.