- •Г.Г КАШЕВАРОВА, Т.Б. ПЕРМЯКОВА
- •Предисловие
- •Введение
- •Общие сведения о математическом моделировании.
- •Численные методы
- •Элементы теории погрешности
- •Понятия мастера и надстройки
- •Глава 1. Основные понятия матричного исчисления. Матрицы в расчетах строительных объектов
- •1.1. Матрицы и векторы. Определения
- •1.2. Матрицы специального вида
- •1.3. Действия над матрицами
- •1.4. Нормы матрицы и вектора
- •1.5. Матрицы в задачах строительной механики
- •1.5.1. Матрицы влияния внутренних сил
- •1.5.2. Матричная форма расчета статически определимых ферм
- •1.5.3, Матричная форма метода сил
- •1.5.4. Матричная форма метода перемещений
- •1.6. Матрицы в расчетах инженерных сетей
- •1.7. Функции Excel для операций над матрицами
- •Категория: математические. Функции:
- •2.1. Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.2.1. Метод Гаусса
- •2.2.2. Метод Гаусса для СЛАУ с ленточными матрицами
- •2.2.3. Метод прогонки
- •2.2.4. Метод (схема) Холецкого
- •2.3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •2.3.1. Метод Якоби (простых итераций)
- •2.3.2. Метод Гаусса - Зейделя.
- •2.3.3. Условия сходимости итерационного процесса
- •2.5. Обусловленность задач и вычислений, или как узнать, что получены правильные ответы
- •2.6. Вычисление определителя
- •2.7. Вычисление обратной матрицы
- •2.8. Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц
- •2.8.1. Вводные замечания
- •2.8.2. Методы развертывания вековых определителей
- •2.8.3. Итерационные методы определения максимального по модулю собственного значения
- •2.9.1. Реализация метода Гаусса средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •2.9.4. Реализация метода Зейделя средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •3.1. Отделение корней
- •3.2. Этап уточнения корня
- •3.2.1. Метод половинного деления (бисекций)
- •3.2.2.Метод хорд
- •3.2.3. Метод Ньютона (метод касательных)
- •3.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •3.3. Системы нелинейных уравнений
- •3.4. Реализация численных методов решения нелинейных уравнений средствами приложения Excel
- •3.4.1. Решение нелинейных уравнений
- •Последовательность действий
- •4.2.3. Интерполяционный полином Эрмита
- •4.2.4. Сплайн-интерполяция
- •Глава 4. Аппроксимация
- •4.1. Задача и способы аппроксимации
- •4.2. Интерполирование функций
- •4.2.1. Постановка задачи интерполирования
- •4.2.2. Интерполяционная формула Лагранжа
- •4.3. Среднеквадратичное приближение функций
- •4.3.1. Метод наименьших квадратов
- •4.3.4. Квадратичное (параболическое) приближение
- •4.3.4. Эмпирические формулы с двумя параметрами. Метод выравнивания
- •4.4. Решение задач аппроксимации с помощью электронных таблиц Excel
- •4.4.1. Построение линейной эмпирической формулы методом наименьших квадратов
- •Последовательность действий
- •Последовательность действий
- •5.1. Квадратурные формулы прямоугольников
- •5.2. Квадратурная формула трапеций
- •5.3. Квадратурная формула Симпсона
- •5.4. Реализация методов численного интегрирования средствами приложения Excel
- •Глава 6. Численные методы решения дифференциальных уравнений с начальными и краевыми условиями
- •6.1.1. Задачи Коши и краевые задачи
- •6.2.1.Классификация уравнений и типы задач
- •6.3. Численные методы решения задач Коши
- •6.3.1. Метод Эйлера
- •(геометрический метод решения задачи Коши)
- •6.4. Численные методы решения краевых задач
- •Разностная схема краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка
- •Конечно-разностная аппроксимация функций двух переменных
- •Сходимость метода конечных разностей
- •6.5. Вариационный подход к решению краевых задач
- •6.5.1. Основные понятия вариационного исчисления
- •6.5.2. Связь решения краевой задачи с нахождением минимума функционала
- •6.5.3. Метод Ритца
- •6.6.1. Решение задачи Коши методом Эйлера
- •Построение второй итерации
- •Последовательность действий.
- •Порядок построения графиков приближенных решений краевой задачи
- •Глава 7. Метод конечных элементов
- •7.1. Основные положения МКЭ
- •Построение расчетной модели
- •Аппроксимация искомой функции
- •Составление разрешающих уравнений
- •Решение системы линейных алгебраических уравнений
- •7.2.1. Классификация конечных элементов
- •Одномерный конечный элемент
- •Двухмерные конечные элементы.
- •элемента
- •Одномерный симплекс-элемент
- •Двухмерный треугольный симплекс-элемент
- •7.2.3. Интерполирование векторных величин
- •7.2.4. Разбиение области на конечные элементы
- •7.2.5 Нумерация узлов и элементов
- •7. 3. Основные соотношения МКЭ
- •7.3.1. Получение разрешающих уравнений на примере плоской задачи теории упругости
- •7.3.2. Примеры разрешающих уравнений в задачах расчета строительных объектов
- •7.4. Другие типы конечных элементов
- •7.4.1. Элементы Эрмита
- •7.5. Теоретическая и практическая сходимость МКЭ
- •7.6.1. Специализированные программные комплексы
- •7.6.2. Универсальные программные комплексы
- •8.1.1. Математическая модель задачи оптимизации
- •8.1. Общие сведения
- •8.1.2. Необходимые и достаточные условия экстремума функции
- •8.1.3. Классификация задач математического программирования
- •8.2. Постановка задачи оптимального проектирования
- •8.2.1. Определение входных и выходных параметров
- •8.2.2. Выбор целевой функции
- •8.2.3. Назначение ограничений
- •8.2.4. Нормирование управляемых и выходных параметров
- •8.2.5. Примеры постановок задач оптимального проектирования
- •8.3. Задачи линейного программирования
- •8.3.1. Общая постановка задачи ЛП
- •8.3.2. Геометрический смысл системы линейных неравенств с двумя неизвестными
- •8.3.4. Симплекс-метод решения задач линейного программирования
- •Задача об оптимальном плане выпуска продукции
- •Задача об оптимальном раскрое материалов (о минимизации отходов)
- •Задача о планировании смен на предприятии
- •Задача о покрытии местности при строительстве объектов
- •Транспортная задача
- •Задача о назначениях (проблема выбора)
- •8.3.6. Двойственные задачи в линейном программировании
- •8.4. Нелинейные задачи оптимизации
- •8.4.1. Выпуклые множества и выпуклые функции
- •8.4.2. Классификация численных методов решения нелинейных задач оптимизации
- •Основные этапы поиска экстремума
- •8.4.3. Численные методы одномерного поиска
- •Метод перебора или равномерного поиска
- •Метод дихотомии (или половинного деления)
- •Метод квадратичной интерполяции
- •Метод покоординатного спуска
- •Метод градиентного спуска
- •Метод наискорейшего спуска
- •Метод сопряженных градиентов
- •Метод Ньютона
- •Метод штрафных функций
- •8.5. Решение задач оптимизации с помощью электронных таблиц Excel
- •Литература
- •Оглавление
- •Численные методы решения задач строительства на ЭВМ
7.4. Другие типы конечных элементов
7.4.1. Элементы Эрмита
При решении некоторых задач в качестве узловых параметров функции целесообразно использовать не только значения самой функции, но и значения ее производных, например, при расчете изгибаемых элементов (рам, балок, плит перекрытий).
Это связано со следующим.
«I Порядок полинома, зависящий от числа используемых в каждом узле элемента данных о непрерывной функции, должен быть не ниже наивысшего порядка производной, входящей в функционал.
В этом случае в качестве аппроксимирующих полиномов вместо полиномов Лагранжа используют полиномы Эрмита. А элементы, в которых их используют, называются, соответственно, эрмитовы элементы.
Для иллюстрации рассмотрим одномерный элемент балки
или рамы с двумя узлами i и j |
(рис.7.18), |
щ |
Wj |
|
имеющий по три степени свободы в |
||||
каждом |
узле: прогиб w, угол |
поворота |
yLPrix* |
|
_ dw |
и перемещение вдоль элемента и. |
~ w i |
|
|
p = — |
Рис.7.18. Одномерный элемент |
|||
dx |
|
|
||
Учитывая порядок производной и в функционале (6.82), функцию, описывающую перемещения и вдоль оси элемента, можно аппроксимировать выражением (7.19):
и= NiUi +NJUJ ,
аинтерполяционная функция, описывающая прогиб w и угол
поворота —— для элемента, может быть записана в виде [26] dx
w = [yv]-^}= /V|(0)(x)w1+ N ^ (х ) - ^ - + Л^0)(x)w2 + N 2 \ x ) ^ ^ - . (7.51) v ' ax dx
У функции формы N-k) индекс к обозначает порядок
дифференцирования соответствующей узловой переменной, а / - номер узла.
Для того чтобы выражение (7.51) в узле с номером i давало w,
и — функции 7V((0) (х) и N j ' \ x ) должны (при i Ф j ) дх
удовлетворять соотношениям:
У,(0)(х ,) = 1, |
|
о II N—Г |
|
|
|
||
У,/(0)(х ,) = о, |
Зг |
II |
|
N P ( Xj ) = 0, |
V |
' o II —\ / |
|
Vо |
' o II '*> |
о II 1-' |
|
Равенствам (7.52) удовлетворяют полиномы Эрмита [26]:
(*»■ - * ,) ~ xi
"<mw- П
/=!, />/ \Л/ Л j )
Функции формы, полученные из (7.53) и (7.51), имеют вид
|
1+ 2 |
х - х . |
Л |
(х 2 - х , ) |
X, - X, |
|
|
|
|
||
N(0)(x)=OL^ll |
, |
_ х, - |
X |
1+ |
2— ---------- |
||
(х2 -X ,) |
|
х2 - х , |
|
Nl')(x) =^ -X)2 |
( x - Xi), |
|
|
(х2 -X ,) |
|
|
|
У<|)(х) = (*~*i)2 (х - х 2). |
J |
||
(х2-х,У |
|
|
|
(7.52)
(7.53 а)
(7.53 б)
(7.54)
Описанная процедура может быть обобщена включением дополнительно к функции w и ее первым производным производных более высокого порядка.
Для двухмерных элементов интерполяция применяется дважды: первая - в направлении х, а вторая - в направлении у, что дает функции формы в виде произведения одномерных функций.
7.4.2.Изопараметрические, субпараметрические
исуперпараметрические элементы
Вообще говоря, геометрия элемента может не совпадать по порядку с интерполяционной функцией, описывающей искомую величину. Это позволяет сочетать как интерполяционные полиномы высокого порядка с элементами простой геометрии, так и элементы сложной формы с простыми интерполяционными полиномами [26, 36].
1. Если число узлов, определяющих форму элемента, равно числу узлов, определяющих интерполяционную функцию, - это изопараметрические элементы. Особенно эффективными являются изопараметрические элементы 2-го порядка, в которых в качестве узлов используются угловые точки и точки на серединах сторон элемента. Они дают возможность хорошо аппроксимировать криволинейные границы и поверхности без более детальной дискретизации.
2.Если число узлов, используемых для определения формы элемента, меньше числа узлов, определяющих интерполяционную функцию - то элементы называются субпарамстрическими. Такие элементы применяются там, где преобладают комплекс-элементы,
инет необходимости в искажении формы элемента.
3.Если число узлов, используемых для задания формы элемента, больше числа узлов, определяющих интерполяционную функцию, такие элементы называются суперпараметрическими.
Большинство находящихся в практическом пользовании программных комплексов МКЭ на базе метода перемещений содержат в своей библиотеке изопараметрические элементы, т.е. перемещения для всего элемента в них аппроксимируются теми же интерполяционными полиномами, что и координаты.
7.4.3. Некоторые рекомендации по выбору конечного элемента
При решении практических задач для исследователя важен вопрос выбора типа конечного элемента.
К сожалению, нет четких правил выбора лучшего элемента, т.к. это зависит от многих факторов: типа задачи, геометрии границ, граничных условий, требуемой точности и др. Тем не менее можно сформулировать несколько рекомендаций, помогающих выбору конечного элемента.
Прежде всего, для аппроксимирующей функции должны существовать все производные, появляющиеся в функционале. Поэтому в строительных конструкциях лагранжевы элементы обычно применяют при расчетах плоских и пространственных ферм, плоских задач теории упругости. При расчете изгибаемых конструкций типа рам, плит перекрытий рекомендуется использовать эрмитовы элементы либо лагранжевы элементы, но более мелких размеров.
Для удовлетворения условий сходимости следует применять элементы, основанные на полном полиноме, что для большинства задач соответствует согласованности элементов.
Предпочтительнее выбирать элементы, у которых узловые параметры концентрируются в вершинах.
При расчете областей, имеющих криволинейные границы, для удовлетворительного геометрического представления этих границ требуется большое количество граничных элементов с прямыми сторонами (гранями). Если использовать криволинейные элементы, то их число может быть заметно сокращено, и в результате уменьшится общее число переменных в системе. Для трехмерных задач, которым присуще большое число переменных, такое сокращение может быть очень полезным.