где

т.е. матрица жесткости и матрица податливости взаимно обратны.

1.6. Матрицы в расчетах инженерных сетей

Матричная форма расчета является удобной и при расчете инженерных сетей. Для иллюстрации рассмотрим гидравлическую сеть, изображенную на рис. 1.6.

В случае медленных (ламинарных) течений поток Q через поперечное сечение трубы пропорционален разности давлений в начале и конце трубы. Таким образом, для элемента е6 (рис. 1.7) потоки в эту трубу в узлах 2 и 3 соответственно будут

где р 2 и Рз - давления в узлах 2 и 3,

Qi и Оз - потоки в тех же узлах,

с - постоянная, зависящая от свойств жидкости, диаметра и длины трубы.

Рис. 1.7. Элемент (труба) е6

В матричной форме уравнения (1.32) можно записать

Уравнение (1.32 б) - это матричное уравнение для элемента ей. Оно также может быть записано в виде расширенного матричного уравнения, включающего все узлы сети:

Система уравнений типа (1.33) может быть записана следующим образом:

Подстановка уравнений типа (1.32 г) в (1.34) приводит к

матричному уравнению системы

Для заданных подводимых потоков узловые давления могут быть найдены путем решения уравнения (1.35). После этого расходы

через каждую трубу можно вычислить с помощью уравнений типа

(1.32).

■Пример 1.6. Пусть сеть труб, показанная на рис. 1.6, является частью системы водоснабжения поселка. Из-за повреждения дамбы давление в системе мало и поток в трубах считается ламинарным. Основываясь на этом, вычислим вытекающие потоки в узлах 6, 7 и 8 для следующих данных:

где р - динамическая вязкость и v - средняя скорость, с использованием согласованной системы физических единиц.

Предполагается, что вода в системе имеет постоянную температуру 16°С, динамическая вязкость равна 1,1-10-4 кгс/м2, все трубы горизонтальны и утечка в стыках пренебрежимо мала.

Из эксперимента известно, что поток в трубе ламинарный, если число Рейнольдса Re = pvd/\i, не превышает 2000. Для болыших значений числа Рейнольдса связь между перепадом давления и расходом становится нелинейной.

Принимая плотность воды 1О*3 кг/см3, проверим корректность предположения о ламинарности потоков в трубах. Расходы на выходе из узлов 6, 7 и 8 равны 830, 350 и 480 см3/С; числа Рейнольдса изменяются от 3100 в элементе е5>до 40000 в элементе е6 и, следовательно, предположение о ламинарности потока некорректно.