Глава 6. Численные методы решения дифференциальных уравнений с начальными и краевыми условиями
Дифференциальные уравнения, содержащие одну или несколько производных, имеют важное значение в практике инженерных расчетов. При разработке новых или реконструкции существующих строительных объектов приходится решать задачи, связанные с исследованием напряженно-деформированного состояния конструкций, распространения тепла, движения жидкости и др., которые, в конечном счете, сводятся к решению дифференциальных уравнений. К сожалению, немногие из этих уравнений имеют аналитическое решение, и чтобы их решить, приходится прибегать к разнообразным численным методам.
В зависимости от числа независимых переменных
дифференциальные уравнения делятся на две различные категории:
•обыкновенные дифференциальные уравнения,
содержащие одну независимую переменную и
•дифференциальные уравнения в частных производных,
содержащие несколько независимых переменных.
6.1.Обыкновенные дифференциальные уравнения
врасчетах строительных конструкций.
Обыкновенное дифференциальное уравнение л-го порядка в общем виде можно записать
F ( x ,y ,y ‘,...,у{1,)) = 0, |
(6.1) |
здесь п —наивысший порядок производной, входящей в уравнение.
Решение дифференциального уравнения (интегральная кривая)-это функцияу=у(х), которая при подстановке в уравнение (6.1) обращает его в тождество.
Дифференциальное уравнение, линейное относительно неизвестной функции у и ее производных, называется линейным дифференциальным уравнением.
Известно [28], что линейное дифференциальное уравнение п - го порядка имеет множество решений.
Общее решение такого уравнения можно записать в виде
У = 9(*, С,,С2,..., Сн ) = ]Г С,ф, (х) + ф* |
(6.2) |
/ = 1
где ф/(д:) - частные решения однородного уравнения, ер*- частное решение неоднородного уравнения,
Ci,C2,...,C„ - произвольные постоянные, определяемые из дополнительных (начальных или краевых) условий.
Приведем примеры некоторых прикладных задач, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями, которые встречаются в расчетах строительных конструкций.
■ Пример 6.1. Деформированное состояние каждого элемента произвольной стержневой системы описывается системой
дифференциальных уравнений:
ли
/Т~? г~ГГ
Рис.6.1. К расчету стержневой системы
г d2w |
\" |
(6.3) |
EJ |
+ qw = f(x) |
|
V Их* У |
|
|
|
|
J |
здесь w —прогиб стержня (перемещения, перпендикулярные оси);
и - перемещения вдоль оси стержня.
В строительной механике при расчете стержневых систем дифференциальные уравнения не упоминаются, так как при решении обычно представляют интерес частные решения, удовлетворяющие
граничным условиям, вид которых известен заранее. Уравнения строительной механики (канонические уравнения метода сил, метода перемещений и др.) составляются для определения произвольных постоянных, которым придается вполне определенный физический смысл: в методе сип постоянные интегрирования - это силы, а в методе
перемещений - перемещения.
■ Пример 6.2. Из курса сопротивления материалов известно, что вертикальный прогиб однородной балки с достаточной степенью точности описывается дифференциальным уравнением 4-го порядка:
[Щх) у "]" =q (х), |
(6.4) |
где EJ(x) - жесткость балки при изгибе.
Рис.6.2 К задаче об изгибе балки
Известно общее решение этого дифференциального уравнения при EJ(x)=Const и постоянной нагрузке q(x) = р:
рх4
Е1у = |
+ схх3+ с2х2+ с3х + с4. |
(6.5) |
Для определения произвольных постоянных требуется четыре дополнительных условия.
Очень часто для описания изгиба балки используют дифференциальное уравнение упругой линии в виде
cl2y _ М
(6.6)
dx2 ~ EJ'
где М —изгибающий момент в сечении балки; EJ—жесткость стержня на изгиб.
6.1.1.Задачи Коши и краевые задачи
Взависимости от вида дополнительных условий различают два основных типа задач для обыкновенных дифференциальных уравнений:
1.Задачи Коши,
2.Краевые задачи.
Если дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной х, то такая задача называется задачей с
Если краевая задача линейна относительно неизвестной функции у=у(х) и всех ее производных, то такая задача называется линейной краевой задачей.
Очевидно, что краевые задачи возможны для уравнений порядка не ниже второго.
В качестве дополнительных условий в задачах строительной механики стержневых систем обычно используются условия закрепления концов стержня, например:
Жесткая заделка |
Прогиб у и угол поворота ф= У равны нулю: |
||
у=0; у'=0; |
|
||
|
|
||
Шарнирное опирание |
Прогиб у и изгибающий момент М = EJ(x) у' |
||
равны нулю: |
у=0; У/=0/ |
||
р — |
|||
|
|
||
Свободный конец |
Изгибающий момент и поперечная сила |
||
Q=[EJ(x) / 7 |
' равны нулю: У/=0; у"=0. |
||
|
|||
Возможны и другие более сложные случаи закрепления.
■ Пример 6.4. Примером краевой задачи может служить задача об изгибе балки (пример 6.2) при условии, что один конец этой балки шарнирно закреплен (при х = 0), а другой - жестко заделан (при х = L) (рис.6.2). Краевые условия в этом случае задаваемые при разных значениях х имеют вид:
у(0) = 0 , |
У (0) = 0 , |
Ч |
(6.12) |
у(Ц =0, |
y(L) = 0 |
J |
|
Таким образом, система уравнений (6.4), (6.12) описывает краевую |
|||
задачу. |
|
|
|
■ Пример 6.5. Еще один пример |
краевой задачи |
об устойчивости |
|
стержня.
Уравнение устойчивости стержня постоянного сечения под действием сжимающей силы можно записать в виде
(6.13)
dx* + EJ dx2
или y / v |
+ k 2y f/ =О, |
У |
|
.9 |
t |
р |
|
р |
4-- |
X |
|
здесь к~ = ----, |
|
||
|
E J |
4 |
|
Р - сжимающая сила, |
|
||
|
|
||
Е - модуль упругости материала, |
Рис.6.4. К расчету |
|
|
J - |
момент инерции сечения. |
устойчивости стержня |
|
Краевые условия для стержня с шарнирными концами запишутся:
при*=0 |
><0)=0; |
У/(0)=0; |
(6.13 а) |
при x = L |
jy(Z,)=0; |
/(L )=Q- |
(6.13 6) |
■ Пример 6.6. Краевая задача р а с ч е т а о д н о м ер н о го т ем п ерат урн ого
поля в однородном стержне длиной L. Один конец стержня жестко закреплен и к нему подводится тепловой поток q заданной интенсивности. На свободном конце стержня происходит конвективный теплообмен с внешней средой. Известны коэффициент теплообмена а , коэффициент теплопроводности материала стержня \ х и температура окружающей среды Г*. Вдоль боковой поверхности стержень теплоизолирован.
Температурное поле в стержне описывается уравнением теплопроводности:
d 2T |
|
|
(6.14) |
|
|
— у = 0 |
|
|
|
||
ах |
|
|
|
|
|
Краевые |
|
условия |
определяются |
|
|
уравнениями: |
|
|
|
|
|
clT |
= 0 прил*=0, |
(6.14 |
а) |
Рис.6.5. Однородный |
|
Ях.— + <7 |
стержень под действием |
||||
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
теплового потока |
|
,т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л , — +а ( Т |
- Т *) = 0 при х = L. (6.14 6) |
|
|||
dx |
|
|
|
|
|
Несмотря на разнообразие форм краевых условий, краевые задачи решаются в основном одними и теми же численными методами, что оправдывает их объединение в один тип.