1.3. Действия над матрицами

Действия над матрицами определяются с помощью действий над их элементами.

1) Сумма (разность) двух матриц одинакового типа А+В есть матрица С того же типа:

С= А ± В = [fly ±byj.

2)Произведение матрицы А = [fly Jна число а есть матрица,

элементы которой получены умножением всех элементов на число а: аА = |аДу].

3)Произведением матрицы А = [я,;j размера [тхл]

матрицу В = ]р0J размера [пхг] называется матрица С = [с,у] размера

П

[/ихг], элементы которой вычисляются по формуле с,; = У 'a ikbkj к=1

То есть , чтобы получить элемент с, , стоящий в / -й строке и в у'-м

столбце матрицы С, нужно элементы / -й строки матрицы А умножить на соответствующие элементы у-го столбца матрицы В и полученные произведения сложить.

Произведение A-В двух матриц в указанном порядке возможно в том и только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

АВ = С

5) Дифференцирование матриц выполняется посредством дифференцирования каждого ее элемента, т.е.

Действия над матрицами подчиняются следующим законам:

1)А+В = В+А;

2)А+(В+С) = (А+В)+С;

3)а(А+В)= аА+аВ;

4)афА;^оф)А;

5)А(ВС) = (АВ)С;

6)(А+В)С = АС + ВС;

7)С(А+В) = СА + СВ ;

8)а(АВ) = (сеА)В=А(аВ).

Основной особенностью матричного исчисления является некоммутатиеностъ произведения матриц:

АВ ФBA,

т.е. произведение двух матриц не обладает свойством переместительности и из существования произведения АВ вовсе не следует существование произведения ВА. Покажем это на примере.

■Пример 1.1. Вычислить произведение двух матриц А и В.

1.4. Нормы матрицы и вектора

Норма - это одна из важнейших скалярных характеристик векторов и матриц. Существуют различные способы измерения нормы матрицы и вектора соответственно. В дальнейшем для анализа решений нам потребуется умение вычислять эти нормы.

Матрица А = [я,-,]определяется тремя нормами:

-максимальная сумма модулей элементов матрицы по строкам;

-максимальная сумма модулей элементов матрицы по столбцам;

-корень квадратный из суммы квадратов модулей всех элементов.

■Пример 1.2. Для матрицы А вычислить нормы Ца ^ , ||аЦ2 ,||А||3.

Решение:

Ца Ц, = max (3+2+4, 5+2+6,0+7+1) - max (9, 13, 8) =13;

||А||2 = max (3+5+0,2+2+7,4+6+1) = max (8, 11, 1) = 11;