х у

Матрица [D] содержит упругие константы материала и зависит от вида напряженно-деформированного состояния конструкции:

- для случая плоского напряженного состояния (напряжение сг2, нормальное к рассматриваемому плоскому телу, равно нулю)

-для случая плоского деформированного состояния (деформации

е2, нормальные к плоскости нагружения, равны нулю)

где Е - модуль упругости, v - коэффициент Пуассона материала.

Аналогично решаются одномерные и трехмерные задачи теории упругости, а также краевые задачи, описывающие другие физические явления.

7.3.2. Примеры разрешающих уравнений в задачах расчета строительных объектов

Приведем без вывода некоторые разрешающие уравнения для задач, представляющих практический интерес в расчетах строительных объектов [16, 26, 36]:

1.Решение не только плоских, но и пространственных задач

статического анализа, а также задач стационарной теплопроводности приводит к разрешающим уравнениям вида (7.31).

2. При учете действия на конструкцию нагрузок, зависящих от времени {динамических нагрузок), разрешающее уравнение прочностного динамического анализа можно записать как

(7.37)

где

(/)- время.

3.Разрешающее уравнение модального анализа (получающееся при определении собственных частот и форм колебаний механических систем) имеет вид

где

[С]- матрица удельных теплоемкостей; - производная по времени температуры в узле

[К]- матрица эффективной теплопроводности; {Т) - вектор узловых температур;

{Q} - вектор эффективного теплового потока в узле.

5. Разрешающее уравнение течения жидкости в трубопроводе:

■ Пример использования МКЭ в задаче о нахождении распределения температуры в однородном стержне [42] (см. рис. 6.5).

Краевая задача (6.14) расчета одномерного температурного поля в

однородном стержне (пример 6.6) заменяется вариационной задачей, в которой минимизируется функционал:

В функционал F входят оба граничных условия (6.14а и 6.146). При минимизации функционала используется множество функций элементов дискретизированной области. Для простоты вычислений будем считать, что стержень разбит всего на два элемента (в практических случаях этого недостаточно) (рис. 7.17).

(1)(?)

id ) t<?)

L

Рис.7.17. К задаче нахождения распределения температуры в однородном стержне МКЭ

Аппроксимируем распределение температуры в элементах выражениями (7.13):

Функционал (7.41) удобно представить в виде

(7 .4 3 )

где S| и 1S2 —площади сечений стержня, на которых заданы граничные условия (6.14 а) и (6.14 6) соответственно.

Для вычисления объемного интеграла в (7.43) его необходимо разбить на два слагаемых в соответствии с принятой конечно-элементной моделью:

Второе и третье слагаемые в (7.43) вычисляются просто, так как подынтегральным функциям соответствуют узловые значения Т\ и 7з:

s.

где Si и S2 - площади поверхностей, на которых заданы q и а (для рассматриваемого примера Si=S(l) и S2=&2)).

Значение функционала F вычисляется простым суммированием выражений (1.41)-(1.43):

F = 0,5С0)СГ,2 -2ТуТг +7’22)+0,5С(2)(Г2 -2Г27-3 +Г32) +

(7.49)

+ qSJx+0,5aS2(7’3 -2Т'ТЪ+Г*2),

Для минимизации функционала F необходимо выполнение условий

5F

—= -С (|)7’, +<75, = 0, 57,

называется м ат рицей ж ест кост и, хотя по физическому смыслу в данной задаче ее удобнее было бы назвать матрицей теплопроводности. Такое название матрицы К приш ло из строительной механики, где М К Э начал применяться раньше, чем в д руги х областях техники.

Зная характеристики материала, из системы (7.50) можно определить узловые значения Т{>Тъ Т3.

Из (7.50) нетрудно заметить, что однотипные конечные элементы вносят в эти выражения слагаемые одного вида. Поэтому при реализации МКЭ вклад элемента определенного типа в матрицу жесткости вычисляется только один раз, а затем используется во всех необходимых случаях. При этом алгоритм получения матрицы жесткости

несколько отличается от описанного выше и состоит из следующих этапов:

Этап 1. Представление функционала F в виде суммы соответствующих функционалов для элементов.

Для рассмотренного примера F=F(<X)+F(1\ причем

(при этом вычисляются матрицы жесткости Юс' и векторы нагрузки В ) для всех конечных элементов). В примере

Этап 3. Суммирование матриц жесткости и векторов нагрузки отдельных элементов (сумма приравнивается нулю, что позволяет получить систему (7.50)).