- •Г.Г КАШЕВАРОВА, Т.Б. ПЕРМЯКОВА
- •Предисловие
- •Введение
- •Общие сведения о математическом моделировании.
- •Численные методы
- •Элементы теории погрешности
- •Понятия мастера и надстройки
- •Глава 1. Основные понятия матричного исчисления. Матрицы в расчетах строительных объектов
- •1.1. Матрицы и векторы. Определения
- •1.2. Матрицы специального вида
- •1.3. Действия над матрицами
- •1.4. Нормы матрицы и вектора
- •1.5. Матрицы в задачах строительной механики
- •1.5.1. Матрицы влияния внутренних сил
- •1.5.2. Матричная форма расчета статически определимых ферм
- •1.5.3, Матричная форма метода сил
- •1.5.4. Матричная форма метода перемещений
- •1.6. Матрицы в расчетах инженерных сетей
- •1.7. Функции Excel для операций над матрицами
- •Категория: математические. Функции:
- •2.1. Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.2.1. Метод Гаусса
- •2.2.2. Метод Гаусса для СЛАУ с ленточными матрицами
- •2.2.3. Метод прогонки
- •2.2.4. Метод (схема) Холецкого
- •2.3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •2.3.1. Метод Якоби (простых итераций)
- •2.3.2. Метод Гаусса - Зейделя.
- •2.3.3. Условия сходимости итерационного процесса
- •2.5. Обусловленность задач и вычислений, или как узнать, что получены правильные ответы
- •2.6. Вычисление определителя
- •2.7. Вычисление обратной матрицы
- •2.8. Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц
- •2.8.1. Вводные замечания
- •2.8.2. Методы развертывания вековых определителей
- •2.8.3. Итерационные методы определения максимального по модулю собственного значения
- •2.9.1. Реализация метода Гаусса средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •2.9.4. Реализация метода Зейделя средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •3.1. Отделение корней
- •3.2. Этап уточнения корня
- •3.2.1. Метод половинного деления (бисекций)
- •3.2.2.Метод хорд
- •3.2.3. Метод Ньютона (метод касательных)
- •3.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •3.3. Системы нелинейных уравнений
- •3.4. Реализация численных методов решения нелинейных уравнений средствами приложения Excel
- •3.4.1. Решение нелинейных уравнений
- •Последовательность действий
- •4.2.3. Интерполяционный полином Эрмита
- •4.2.4. Сплайн-интерполяция
- •Глава 4. Аппроксимация
- •4.1. Задача и способы аппроксимации
- •4.2. Интерполирование функций
- •4.2.1. Постановка задачи интерполирования
- •4.2.2. Интерполяционная формула Лагранжа
- •4.3. Среднеквадратичное приближение функций
- •4.3.1. Метод наименьших квадратов
- •4.3.4. Квадратичное (параболическое) приближение
- •4.3.4. Эмпирические формулы с двумя параметрами. Метод выравнивания
- •4.4. Решение задач аппроксимации с помощью электронных таблиц Excel
- •4.4.1. Построение линейной эмпирической формулы методом наименьших квадратов
- •Последовательность действий
- •Последовательность действий
- •5.1. Квадратурные формулы прямоугольников
- •5.2. Квадратурная формула трапеций
- •5.3. Квадратурная формула Симпсона
- •5.4. Реализация методов численного интегрирования средствами приложения Excel
- •Глава 6. Численные методы решения дифференциальных уравнений с начальными и краевыми условиями
- •6.1.1. Задачи Коши и краевые задачи
- •6.2.1.Классификация уравнений и типы задач
- •6.3. Численные методы решения задач Коши
- •6.3.1. Метод Эйлера
- •(геометрический метод решения задачи Коши)
- •6.4. Численные методы решения краевых задач
- •Разностная схема краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка
- •Конечно-разностная аппроксимация функций двух переменных
- •Сходимость метода конечных разностей
- •6.5. Вариационный подход к решению краевых задач
- •6.5.1. Основные понятия вариационного исчисления
- •6.5.2. Связь решения краевой задачи с нахождением минимума функционала
- •6.5.3. Метод Ритца
- •6.6.1. Решение задачи Коши методом Эйлера
- •Построение второй итерации
- •Последовательность действий.
- •Порядок построения графиков приближенных решений краевой задачи
- •Глава 7. Метод конечных элементов
- •7.1. Основные положения МКЭ
- •Построение расчетной модели
- •Аппроксимация искомой функции
- •Составление разрешающих уравнений
- •Решение системы линейных алгебраических уравнений
- •7.2.1. Классификация конечных элементов
- •Одномерный конечный элемент
- •Двухмерные конечные элементы.
- •элемента
- •Одномерный симплекс-элемент
- •Двухмерный треугольный симплекс-элемент
- •7.2.3. Интерполирование векторных величин
- •7.2.4. Разбиение области на конечные элементы
- •7.2.5 Нумерация узлов и элементов
- •7. 3. Основные соотношения МКЭ
- •7.3.1. Получение разрешающих уравнений на примере плоской задачи теории упругости
- •7.3.2. Примеры разрешающих уравнений в задачах расчета строительных объектов
- •7.4. Другие типы конечных элементов
- •7.4.1. Элементы Эрмита
- •7.5. Теоретическая и практическая сходимость МКЭ
- •7.6.1. Специализированные программные комплексы
- •7.6.2. Универсальные программные комплексы
- •8.1.1. Математическая модель задачи оптимизации
- •8.1. Общие сведения
- •8.1.2. Необходимые и достаточные условия экстремума функции
- •8.1.3. Классификация задач математического программирования
- •8.2. Постановка задачи оптимального проектирования
- •8.2.1. Определение входных и выходных параметров
- •8.2.2. Выбор целевой функции
- •8.2.3. Назначение ограничений
- •8.2.4. Нормирование управляемых и выходных параметров
- •8.2.5. Примеры постановок задач оптимального проектирования
- •8.3. Задачи линейного программирования
- •8.3.1. Общая постановка задачи ЛП
- •8.3.2. Геометрический смысл системы линейных неравенств с двумя неизвестными
- •8.3.4. Симплекс-метод решения задач линейного программирования
- •Задача об оптимальном плане выпуска продукции
- •Задача об оптимальном раскрое материалов (о минимизации отходов)
- •Задача о планировании смен на предприятии
- •Задача о покрытии местности при строительстве объектов
- •Транспортная задача
- •Задача о назначениях (проблема выбора)
- •8.3.6. Двойственные задачи в линейном программировании
- •8.4. Нелинейные задачи оптимизации
- •8.4.1. Выпуклые множества и выпуклые функции
- •8.4.2. Классификация численных методов решения нелинейных задач оптимизации
- •Основные этапы поиска экстремума
- •8.4.3. Численные методы одномерного поиска
- •Метод перебора или равномерного поиска
- •Метод дихотомии (или половинного деления)
- •Метод квадратичной интерполяции
- •Метод покоординатного спуска
- •Метод градиентного спуска
- •Метод наискорейшего спуска
- •Метод сопряженных градиентов
- •Метод Ньютона
- •Метод штрафных функций
- •8.5. Решение задач оптимизации с помощью электронных таблиц Excel
- •Литература
- •Оглавление
- •Численные методы решения задач строительства на ЭВМ
Подставляя |
найденные |
значения |
а., и |
а 2 в формулу (7.9), |
||||
получаем для <р |
выражение |
|
|
|
||||
Ф = |
Ф |
Х ■-Ф .X ■л f ф . - ф Л |
или |
|||||
I |
|
J |
J |
I |
+ J |
I |
||
|
|
|
|
|
|
V |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ч>= |
X , - X |
ф. + |
х - Х |
|
(7.11) |
|||
|
|
|
Ч Ф , |
|||||
Линейные функции, которые заключены в |
скобки и зависящие |
|||||||
только от координат узлов х, в МКЭ обычно называются функциями формы и обозначаются буквой N.
( Х , - х \ |
; |
N : = ( х ~ х Л |
(7.12) |
||
N i = \ — |
|||||
|
J 1 L |
) |
|
||
J |
|
|
|||
Выражение (7.11), можно записать в матричном виде |
|
||||
<р = лг;ф, +ДГУФУ=к,Л Гу].{®' Ц |
м И |
(7.13) |
|||
Функции формы обладают следующим свойством: функция Ni равна 1 в узле с номером i и равна 0 в j -м узле. Аналогично функция Nj равна 0 в i -м узле и равна 1 в узле с номеромj.
Графически это представлено на рис.7.9.
Рис.7.9 Функции формы
Двухмерный треугольный симплекс-элемент
Двухмерный треугольный симплекс-элемент представляет собой плоский треугольник с прямолинейными сторонами (рис.7.10).
Интерполяционный полином для него имеет вид
Ф = а, + а 2т + а 3у |
(7.14) |
Рис.7.10. Функция двухмерного симплекс-элемента
Он линеен по д; и у и содержит три коэффициента, т.к. треугольник имеет 3 узла.
Чтобы получить выражения для функций формы элемента, необходимо пронумеровать узлы треугольника. Обозначим их номерами i,j, к, начиная с произвольно выбранного узла, двигаясь при этом против часовой стрелки. Узловые значения Ф/, Фу, Фк будем попрежнему считать известными.
Как и в случае одномерного элемента, используя условия непрерывности искомой функции в узлах, составим систему уравнений
ср = Ф(. |
при * = X t, у = Y,, |
|
ф = Ф7 |
при x = X j, y = Yj, |
|
Ф = Ф* |
при x = X k, y |
= Yk |
Подстановка этих условий в формулу (7.14) приводит к |
||
системе уравнений |
|
|
Фу = а, + a 2Xj +a.3Yj, |
|
|
Фj = а, |
+ a 2X j + а 3Гу| |
(7.15) |
Ф* = а 1+ а 2 Х к + а 31*; |
|
||
Определитель матрицы коэффициентов равен |
|
||
1 |
X, |
Y, |
|
А = 1 |
Х , |
Yj =2 А ф О. |
(7.16) |
1 |
|
Yk |
|
Используя тригонометрию, легко установить, что этот
определитель |
равен |
удвоенной |
площади |
треугольника: |
A = Q,5[xi(Yi -Yk)+Xj {Yk -Yi)+ X k{Yi -Yj)\. А так |
как площадь |
|||
треугольника никогда не равна нулю, т.е. А * 0 , то решение ai,a2и а3 существует и единственно.
Решая (7.15), получим:
а, =- |
ф/ |
X , |
Y, |
|
|
|
|
|
Фу |
X j |
YJ |
|
- м |
К + t a |
-хкУ», + ( щ - * / > Л |
||
2А |
|
|
||||||
|
Фа |
Х к |
Yk |
|
|
|
|
|
|
1 |
ф, |
Y, |
|
|
|
|
|
си =- |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Фу |
YJ |
|
Ь |
+(у* - к> |
/ |
- ^ K L |
||
2А 1 |
ф* |
Yk |
2у4 |
|
|
|
|
|
а, =- |
1 |
X , |
Ф, |
|
|
|
|
|
1 |
X j |
Ф7 = ^ l Xk - * > /+ (* .- |
|
+(*, - * > * ] • |
||||
2А 1 |
Х к |
Ф* |
|
|
|
|
|
|
Подставляя |
значения oci, |
a 2 и a 3 |
в |
формулу (7.14) и |
||||
преобразуя выражение к виду, подобному (7.13), получаем соотношение, о п р е д е л я ю щ е е эл ем ен т через функции формы в виде
<Р = ^ Ф / + N j (b j
Здесь:
N i = т т к + b , x + c ty ]
2А
N J = - ^ [ a j + b j x + C j y ]
+ М к ф к
и
|
|
|
(7.17) |
|
a, =XjYk - X kYJt |
||
<, |
b , |
= Y j - Y kt |
|
|
c, - Х к |
- X j . |
|
|
aJ = X kYi - X lYk, |
|
|
|
bj - Y k - Y t, |
(7 .1 8 ) |
|
. c ^ X . - X , . |
|
||
' |
ак = Х ^ - Х ^ , |
||
N k = — |
+Ькх + скУ\ |
и « b k = Y l - Y J , |
2А |
|
c „ = X J - X i . |
|
|
Следует отметить следующие свойства треугольного элемента:
1)Так же как и в случае одномерного элемента функция формы N, равна 1 в узле с номером i и нулю в узлахj и к. То же относится и к другим узлам и функциям формы.
2)Функция ф изменяется линейно между двумя любыми узлами. Поэтому, чтобы аппроксимировать быстро меняющуюся функцию ф, необходимо использовать очень малые по величине элементы.
3)Если провести любую прямую линию, пересекающую две стороны элемента, то вдоль этой линии значение ф будет постоянно.
Заметим, что функции формы - для одномерного (7.13) и для
двухмерного (7.17) симплекс-элементов были получены для типичных элементов, безотносительно их положения в области и физического смысла решаемой задачи. Поэтому они удовлетворяют всем элементам данного типа.
Описанная процедура определения коэффициентов аппроксимирующих функций может быть обобщена и на другие типы двухмерных и трехмерных элементов.
Можно показать, что функции формы (7.13) и (7.17) представляют собой полиномы Лагранжа [13, 26]
и могут быть получены непосредственным использованием
интерполяционной формулы Лагранжа (см. главу 4). Отсюда и название элементов, в которых в качестве узловых параметров используются только значения функции в узлах - лагранжевы элементы.
7.2.3. Интерполирование векторных величин
Рассмотренные выше интерполяционные формулы были получены для скалярной величины ф.
Векторная величина, например перемещение, имеет как величину, так и направление, поэтому в каждом узле необходимо определять более одной неизвестной (степеней свободы).
Обычно в этом случае поступают следующим образом:
векторная величина представляется ее компонентами, которые рассматриваются как неизвестные скалярной величины. Каждый узел будет содержать разное количество неизвестных в зависимости от того, какая задача рассматривается - одномерная, двухмерная или трехмерная.
На рис. 7.11 показаны компоненты вектора перемещений и для одномерного, двухмерного и трехмерного симплекс-элементов.
В одномерной задаче представления векторной и скалярной величин внутри элемента совпадают в случае, если в каждом узле определяется только одна неизвестная {и -перемещение вдоль элемента):
(7.19)
В двухмерном треугольном симплекс-элементе горизонтальное перемещение и аппроксимируется выражением
и - N j Uf + N j U j + N kU k . |
(7.20) |
1,
'ft
6
Рис.7.11. Обозначения узловых векторных величин, используемых в симплекс-элементах
Вертикальная компонента v представляется формулой |
|
v = NlVt + NjVj +NkVk . |
(7.21) |
Воспользуемся матричными обозначениями: |
|
N; |
0 |
N j |
0 |
|
0 |
N / |
0 |
N j |
0 |
|
|
|
|
|
|
\U‘ |
|
1 |
У; |
О |
V j > |
|
|
----- ** |
|
|
VJ |
|
|
1 |
(7.22)
Ук ук .
Распространив эту процедуру на случай трех измерений, получим следующие зависимости:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\и Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Uj |
U |
|
0 |
0 |
N J |
0 |
0 |
N k |
0 |
0 ’ |
(7.23) |
< V > = |
0 |
N, |
0 |
0 |
N j |
0 |
0 |
N k |
0 |
|
w |
0 |
0 |
N, |
0 |
0 |
N j |
0 |
0 |
N k . |
|
ук wk
у ,
v,
w,
Полученные интерполяционные соотношения записаны в глобальной системе координат, но они легко могут быть представлены в той или иной локальной системе координат [26, 34], что обычно и делается для упрощения процесса интегрирования.