Решить дифференциальное уравнение ^=f(x,y) для ле[а, 6] численным методом - это значит найти искомую функцию у=у(х)

сеточной функцией ?{у0,у , у „}.

Сеточная функция У{Уо,У|> ->>’„} аппроксимирует точное решение у-у(х) наразностной сетке Q„ [9].

Численные методы не позволяют найти общего решения задачи. Они могут дать только какое-то частное решение. Это основной недостаток численных методов. Но зато эти методы применимы к широкому классу дифференциальных уравнений и всем типам задач для них. А с появлением ЭВМ численные методы стали одним из основных способов решения этих задач.

Наиболее распространенными методами численного решения задачи Коши являются метод Эйлера и его модификации -

методы Рунге -Кут т а [9, 13, 19].

6.3.1. Метод Эйлера

(геометрический метод решения задачи Коши)

Это простейший численный метод, который является сравнительно грубым и крайне редко применяется на практике, в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.

Рассмотрим задачу Коши (6.37), (6.38) на отрезке [а,Ь\ и будем заранее предполагать, что ее решение существует и единственно.

Введем на отрезке [а,Ь\ равномерную сетку Q,, (6.43) с шагом А. Обозначим через y(xj) точное решение, а через у, - приближенное решение задачи в одинаковых узлах сетки.

Из условий задачи (6.37), (6.38) известно, что

Я * о ) = .Уо> У ( * о ) = / ( * о > . У о ) -

Поэтому можно записать уравнение касательной к графику искомой функции у-у(х) в точке М(хо,уо):

Рассмотрим точку М\(х\,уО, точку пересечения прямой х=х\=хо+h и касательной (6.44). При достаточно малом шаге h ордината точки М\, определенная по формуле

мало отличается от у(х\) ординаты решения задачи в точке х\. И точку М\ можно принять приближенно за новую начальную точку, а через нее вновь проводить прямую, которая параллельна касательной к у=у(х) в точке (x\,y(x\j):

У = У\ + ( x - x ]) - f ( x ], y i).

Находя точку пересечения этой прямой и прямой х=х2 получим приближенное значение искомой функции у=у(х) для

х=х2, т.е.:

Уг =У\ + h - f ( x ], y ]).

Продолжая этот процесс получим рекуррентную формулу, для вычисления приближенного решения задачи Коши на сеточной области С1„:

Ум = .V, + h ■f(x„y,), i =0,1,.„и -1, у 0 - у(л0) . (6.46)

Это равенство означает, что на отрезке [xh xh |] интегральная кривая у=у(х) приближенно заменяется прямолинейным отрезком, выходящим из точки М,=М(х„ yi) с угловым коэффициентом f(x„ y j.

Рис. 6.7. Геометрическое представление метода Эйлера

В качестве приближения искомой интегральной кривой получаем ломаную линию с вершинами в точках:

Щхо, Уо), Мх(х\, у 0,.... М„(х„, y j,

поэтому этот метод иногда называют методом ломаных.

Доказывается [9, 13], что погрешность е между приближенным значением решения у„ и истинным значением у(х,) удовлетворяет неравенству

где М - max\f(x,y)\ длях^.[а, Ь],

N - постоянная Липшица равная N = max)/ (х,у)\.

Формула (6.47) имеет в основном теоретическое применение. На практике, как правило, используют метод половинного шага. Находят численное решение задачи на сетке с шагом Л и на сетке с шагом И/2. Если значения полученных решений (двух сеточных функций) в одинаковых узлах отличаются друг от друга не более чем на 1-5%, то полученную сеточную функцию на второй сетке принимают за приближенное решение задачи Коши. В противном случае шаг уменьшают еще в два раза.

Такая вычислительная схема хорошо программируется для работы на ЭВМ. В частности, эта схема эффективно реализуется с помощью приложения Microsoft Excel (см. раздел 6.6.1).

ВАлгоритм метода Эйлера:

1.Задаем шаг А.

2.Вычисляем значение аргументах^хъ+ih при (7=1,2,

3.Последовательно вычисляем приближенные значения решения У\ч по формуле: yi+x = у, +hf(xi9y,), ( /=0,1,.. .л-1).

6.3.2 Метод Рунге - Кутта

Метод Рунге - Кутта является одним из методов повышенной точности. Он имеет много общего с методом Эйлера [9, 13, 19].

Пусть дано дифференциальное уравнение (6.37) с начальным условием (6.38). Строится равномерная сетка Q„ по аргументу х на отрезке [а, Ь] с шагом h и рассматриваются числа:

*i(,) =h*f(x,,y,),

k f = h * f (x, +h/2,yt +k\l] 12),

(6.48)

ki° =h*f(x, +h/2,yt +k? 12),

^4° =h* f{x j +h,yi +^з°).

Числа k\, кг, къ, k$ имеют простой геометрический смысл - это с точностью до множителя угловые коэффициенты касательных, проведенных к некоторым определяющим точкам искомой функции [19].

Согласно методу Рунге - Кутта численные значения у, искомой функции у=у(х) вычисляются по формуле

Ум = У! + j[* l(') + 2А*''> + 2А3(0 + к\п ], i = 0,1,2,..., п (6.49)

Метод Рунге - Кутта обладает значительной точностью и несмотря на некоторую трудоемкость широко используется при численном решении дифференциальных уравнений с использованием ЭВМ.