Таким образом, если понадобится вычислить ожидаемое значение прибыли у в будущем, например, при капиталовложениях в х=\2 условных единиц, нужно подставить это значение в найденную функцию: у =0,64+1,8*12=22,24.
4.4.2.Построение линейной эмпирической формулы
сиспользованием встроенных функций ЛИНЕЙН и ТЕНДЕНЦИЯ
Для построения линейной эмпирической формулы в приложении Excel предусмотрены встроенные функции ЛИНЕЙН и ТЕНДЕНЦИЯ из категории Статистические.
ЛИНЕЙН(<известное У>;<известное Х>) - вычисляет коэффициенты линеного уравнения регрессии для множества значений независимой переменной X и зависимой переменной Y Результаты выводятся в две смежные ячейки - сначала коэффициент при х, затем свободный член.
Поскольку X и Y являются массивами, то функция вводится как функция обработки массивов:
•выделяются две смежные ячейки для результатов;
•вводится функция;
•нажимаются клавиши Ctrl+Shift+Enter.
ТЕНДЕНЦИЯ(<известное У>;<известное Х>;<новое х>) - вычисляет ожидаемое новое значение у для нового х, если известны некоторые опытные значения X и Y.
Ввод этой функции аналогичен вводу функции ЛИНЕИН.
1) Для исходных данных, заданных табл. 4.1, найдем коэффициенты линейной эмпирической формулы у=а+Ьх, используя функцию .ЛИНЕЙН.
Последовательность действий
Таблица исходных данных приведена рис.4.7.
Выделим ячейки E4:F4 и введем формулу: =ЛИНЕЙН($С$6:$С$15;$В$6:$В$15), используя Мастер функции.
4.4.3.Построение эмпирической формулы
сиспользованием надстройки «Поиск решения»
Из рис.4.6 видно, что полученная линейная эмпирическая формула достаточно верно отражает характер искомой функции, но является довольно грубым приближением. В таком случае следует воспользоваться более сложной аппроксимирующей функцией. В качестве таких функций принято использовать степенные полиномы разной степени:
Y=Pm(x)=ao+a\ х+а2 х2+... +а„, х"\ |
(4.38) |
Поиск коэффициентов такого уравнения осуществляется с помощью надстройки Поиск решения.
Пусть заданы уже известные значения х, у из табл. 4.2 Эти данные поместим в таблицу, как показано на рис.4.8.
В столбцах Прямая, Парабола, Гипербола запишем
квадраты отклонений между экспериментальными значениями у/ и аппроксимирующим полиномом первой (P|(JC)), второй (Р2(х)), и третьей (Рз(х)) степени соответственно для х=хи i=\,2,..,n. В общем виде это выражения записывается: [_у, - Рт(х,)]2.
Последовательность действий
Для контроля проводимых ниже расчетов принимаем а=1, в=\. С точки зрения подбора решения эти значения можно считать начальным приближением.
1. Итак, введем В3=1, С3=1 (рис. 4.8).
2. В |
столбце |
D |
сформируем |
квадраты |
отклонений |
of = (у/ -а - Ь х ,)2, т.е. в ячейку D10 введем формулу: D10=($C10-
$В$3-$С$3*$В10)Л2 и скопируем ее вниз до конца таблицы.
3.В ячейке D20 вычислим сумму квадратов отклонений для всех точек: D20=CyMM(D10:D19).
4.Нашей задачей является минимизация этой суммы путем изменения значений коэффициентов уравнения а и b (ячеек ВЗ и
СЗ).
Аналогично, для уравнения регрессии третьего порядка
(гиперболы):
F10=($С 10-$В$5-$С$5*$В 10-$С$5*$В 10Л2-$Е$5*$В 10Л3)Л2.
В окне Поиск решения целевая ячейка -F20, изменяемые ячейки - В5:Е5.
Полученный результат соответствует уравнению
- 2,03+4,97*-1 ,07л:2+0,07*3
Точно так же можно сформировать уравнение регрессии любого порядка, при этом с повышением порядка уравнения регрессии погрешность приближения будет уменьшаться. Это четко прослеживается по значениям ячеек D20:F20, где сформированы суммы квадратов отклонений для уравнений регрессии первого, второго и третьего порядков.
Графическое отображение результатов вычисления приведено на рис.4.9 для полученных выше уравнений регрессии.
Рис.4.9.Графическое отображение аппроксимирующих полиномов и экспериментальных данных
Таким образом, увеличение степени аппроксимирующего полинома сниэ/сает погрешность. Самая высокая степень такого уравнения на единицу меньше числа экспериментальных точек. В рассмотренном примере теоретически возможен полином девятой степени. На практике, однако, не следует стремиться к полному устранению погрешности, поскольку и сами экспериментальные данные не являются точными.
При решении достаточно большого круга технических задач приходится сталкиваться с необходимостью вычисления определенного интеграла:
ь
I = \f(.x)dx , (5.1)
а
Вычисление площадей,, ограниченных кривыми, работы,
моментов инерции, перемноэ/сение эпюр по формуле Мора и т.д. сводится к вычислению определенного интеграла.
Если непрерывная на отрезке [а, b] функция^ =f(x) имеет на этом отрезке первообразную F(x)9т.е. F (х) = f(x) , то интеграл (5.1) может быть вычислен по формуле Ньютона - Лейбница:
ь |
|
1= \f( x )d x = F ( b ) - F ( a ) . |
(5.2) |
а
Однако только для узкого класса функций y=f(x) первообразная F(x) может быть выражена в элементарных функциях. Кроме того, функция y=f(x) может задаваться графически или таблично. В этих случаях применяют различные формулы для приближенного вычисления интегралов.
Такие формулы называют квадратурными формулами или формулами численного интегрирования.
Формулы численного интегрирования хорошо иллюстрируются графически. Известно, что значение определенного интеграла (5.1) пропорционально площади криволинейной трапеции, образованной подынтегральной функцией y=f(x) приf(x)>0, прямыми х=а их=Ь, осью ОХ.
Идея численного интегрирования [9, 12] заключается в
замене криволинейной трапеции фигурой, площадь которой вычисляется достаточно просто.
Для этого отрезок интегрирования [а, Ъ] разбивают на п равных элементарных отрезков [х^хщ] (i=0, 1, 2, ..... п-1), с шагом h=(b-a)/n. При этом криволинейная трапеция разобьется на п
элементарных криволинейных трапеций с основаниями равным h
(рис.5.1).
Рис.5.1. Геометрическая интерпретация численного интегрирования
Каждая элементарная криволинейная трапеция заменяется фигурой, площадь которой вычисляется довольно просто. Обозначим эту площадь S, . Сумма всех этих площадей называется интегральной суммой и вычисляется по формуле
(5-3)
ы\
Тогда приближенная формула вычисления интеграла (5.1) имеет вид
ь |
|
I = j f ( x ) d x « c г„. |
(5.4) |
а
Точность вычисления по формуле (5.4) зависит от числа разбиений
п. С увеличением п интегральная сумма а„ |
приближается к |
точному значению интеграла |
|
/ = 1нпаи |
(5.5) |
//- >с/э |
|
Это хорошо проиллюстрировано на рис.5.2. |
|
СГП
точное значение интеграла |
П |
Рис.5.2. Зависимость точности вычисления интеграла от числа разбиений
Формулу (5.4) можно использовать, если известна степень точности такого приближения. Существуют различные формулы для оценки погрешности выражения (5.4), но, как правило, они достаточно сложны [28]. Будем проводить оценку точности приближения (5.4) методом половинного шага. Для этого циклически повторим следующую последовательность действий:
1.Разбиваем отрезок интегрирования [а, Ъ] на п равных отрезков с шагом h=(b-a)/n.
2.Строим интегральную сумму СУП по формуле (5.3).
3.Повторяем эти вычисления (пункты 1, 2) для шага hi2, т.е. для 2п. И строим интегральную сумму. о 2п
4.Если два соседних приближения близки, т.е.
Р « - < ггн \< е |
(5.6) |
то о 2п принимаем за приближенное значение интеграла (5.1) с заданной точностью е:
(5.7)
5.Если условие (5.6) не выполняется, то надо вернуться на пункт 3, т.е. еще раз уменьшить шаг вдвое, и так до тех пор, пока условие (5.6) не будет выполнено.