Введение

Одной из характерных особенностей нашего времени является широкое применение ЭВМ в самых различных сферах человеческой деятельности, в том числе и в строительной отрасли при решении задач проектирования сооружений или управления строительной отраслью. Эффективность применения ЭВМ во многом зависит от опыта, профессиональной квалификации и компьютерной грамотности специалиста.

Основу компьютерной грамотности на современном этапе составляют:

♦умение формализовать свои профессиональные знания и доводить их до алгоритма;

♦создание личной библиотеки программ, ориентированной на конкретную деятельность;

♦использование готовых пакетов прикладных программ и анализ полученных решений.

Формализация профессиональных знаний означает умение построить математическую модель технического процесса или объекта, а при создании библиотеки программ необходимо знать, какими численными методами может быть решена та или иная задача, уметь выбрать наиболее рациональный из них и оценить достоверность полученных результатов.

Общие сведения о математическом моделировании.

В своей практической деятельности инженер-строитель сталкивается с множеством вопросов, на которые трудно, а порой и невозможно получить ответ с помощью натурных экспериментов, которые обычно, к тому же, весьма дороги. В этих ситуациях на помощь приходит особая форма изучения окружающей действительности - математическое моделирование, г.е. моделирование с помощью математического аппарата [32].

Объектом исследования может быть как материальное тело (жидкое, абсолютно твердое, деформируемое), так и технологический процесс или процесс управления. И на первом этапе своего исследования инженеру-строителю требуется

формализовать задачу, т.е. составить ее математическую модель

(ММ), поскольку по своей природе математические методы можно применять не непосредственно к излучаемой действительности, а лишь к математическим моделям тех или иных явлений.

Построение ММ начинается с выделения наиболее существенных черт и свойств изучаемого объекта и описания его с помощью каких-либо математических соотношений. При этом ММ представляет собой компромисс между сложностью изучаемого объекта и желаемой простотой его описания. Для одного и того лее объекта исследования можно выбрать несколько ММ. Вопрос применимости той или иной ММ к изучению рассматриваемого объекта решается в процессе эксперимента, который позволяет сравнивать различные ММ и выбирать из них ту, которая является наиболее простой и в рамках требуемой точности адекватно описывает свойства изучаемого объекта.

В качестве ММ широко используются всевозможные уравнения (нелинейные, дифференциальные, интегральные и т.д.), неравенства, атаюке системы описанных выше уравнений. Только после построения ММ можно воспользоваться математическими методами для ее изучения и решения.

Построенная математическая модель в редких случаях допускает аналитическое решение. Тогда на помощь приходят численные методы во всем их многообразии.

Численные методы

Численные методы и их реализация на ЭВМ составляют содержание огромного раздела современной математики -

вычислительной математики.

Численные методы (ЧМ) - это методы решения математической задачи, сводящиеся к конечному числу арифметических и некоторых логических действий над числами, то есть к тем действиям, которые может выполнить ЭВМ.

Простейшие численные методы мы используем всюду (например, вычисляя корень квадратный на листе бумаги). На практике часто встречаются задачи, решение которых не удается получить в виде формул, связывающих искомые величины с заданными. Про такие задачи говорят, что они не решаются в явном виде. Для их решения стремятся найти какой-нибудь процесс, чаще всего бесконечный, сходящийся к искомому ответу. В результате получается приближенное решение задачи, так как выполняется конечное число шагов, и вычисления обрываются. Такой подход был известен еще до появления ЭВМ, но применялся весьма редко из-за исключительной трудоемкости вычислений. Применение численных методов на базе ЭВМ позволяет решать такие задачи, о которых полвека назад могли только мечтать (расчет пространственных сооружений, структурных конструкций, которые широко применяются в настоящее время для устройства перекрытий различных объектов, пространственных конструкций в виде оболочек, висячих покрытий и др.).

Общим для всех численных методов является сведение непрерывной математической задачи к задаче конечномерной, то есть переход от функций непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента. При этом область изменения аргумента х заменяется дискретным множеством точек х ,, которое называется сеточной областью (разностной сеткой или просто сеткой) [9]:

С1п { хо=а, х, = лг/ | +h ( i = 1,2, ....w-l), xn=b, h = (b-a)/n),

где xh -узлы сетки ( /=0, 1,2, ....n),

h - шаг сеточной области.

А заданная непрерывная на [а, Ь] функция у=у(х) заменяется

функцией дискретного аргумента у,■=Дхф ( /-^0, 1,2, ...л) на этой сеточной области. Такая функция называется сеточной.

Если исходная математическая задача формулируется в виде дифференциального уравнении или системы таких уравнений, то при численном решении задачи ее заменяют системой конечного, возможно, очень большого числа линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и говорят, что проведена дискретизация исходной математической задачи. В общем случае дискретную

модель можно рассматривать как конечномерный аналог исходной математической задачи.

Чаще всего дискретная модель зависит от некоторого

параметра дискретизации (например, шага сетки А), при стремлении которого к нулю число алгебраических уравнений, составляющих дискретную модель, неограниченно возрастает.

После дискретизации задачи строится вычислительный алгоритм (последовательность арифметических и логических операций, выполняемых на ЭВМ), т.е. выбирается какой-либо численный метод, дающий за конечное число действий решение дискретной задачи. Результатом реализации ЧМ на ЭВМ является число или таблица чисел {Xj,yi}t где / = 0, 1, 2, ....п.

Полученное решение обычно принимается за приближенное

решение исходной задачи.

Для одной и той же задачи можно использовать несколько ЧМ. Пользователю надо уметь выбрать наиболее рациональный из них для каждого конкретного случая. Правильный выбор численных методов делается на основе знания их характеристик (универсальность, экономичность, устойчивость, простота). И

выбирая тот или иной численный метод, надо помнить, что

уровень точности метода должен быть адекватен точности модели.

Кроме того, надо помнить, что вычислительный алгоритм (численный метод) должен давать решение исходной задачи с заданной точностью е>0 за конечное число действий (за допустимое машинное время).

Численные методы не всесильны. Они не заменяют аналитические методы. Их следует применять в комбинации.

Таким образом, целью изучения курса “Численные методы решения задач строительства на ЭВМ” является овладение

средствами анализа, построения математических моделей и решения задач, возникающих в проектной, хозяйственной и

организационной сферах деятельности специалиста строительной отрасли.