1208

щего собой расстояние, проходимое движущейся точкой, к другому числу – времени прохождения этого расстояния, т.е. число единиц длины делится на число единиц времени. В математическом представлении это записывается как V = LT 1, что означает: размерность скорости равна размерности длины, деленной на время.

Подобным же образом ускорение равно числу единиц измерения скорости, деленному на число единиц измерения времени: VT 1= LT 2. Такое выражение называется формулой размерности. Показатели степеней в размерности физической величины являются степенями основных единиц, выражающих эту величину.

Единица силы определяется из второго закона Ньютона: Сила = Масса Ускорение.

Отсюда формула размерности силы имеет вид MLT 2.

Следует отметить, что формула размерности любой физической величины не содержит численных коэффициентов. В этом отношении такая формула не полностью характеризует физическую величину.

Кинетическая энергия частицы с массой m, движущейся со скоростью v, равна 0,5mv2. Следовательно, размерность механической энергии M(LT 1)2 = L2MT 2; коэффициент 0,5 в этой формуле отсутствует.

В механике и смежных областях физики размерности физических величин можно получать, исходя из формального определения этих величин. Например, по определению, мощность это работа, совершаемая в единицу времени, т.е.

Мощность = (Сила Путь)/Время.

Согласно этому определению, формула размерности мощности имеет вид (MLT –2) L/T, или L2MT 3.

Однако в других областях физики размерности физических величин не всегда удается получить лишь на основе их определения. Все эти примеры показывают возможность получения производных

81

единиц СИ с использованием основных единиц. В табл. 6.2 представлены производные единицы, получившие наибольшее применение в технике.

Таблица 6.2

82

6.3. Метод размерности

Использование размерности физических величин для вывода формул и уравнений, а также возможности и ограничения метода размерности рассмотрим на конкретных примерах. При первом ознакомлении с методом вызывает некоторое удивление простота средств, позволяющих получать формулы элементарной механики без выполнения каких-либо аналитических операций, посредством которых обычно эти формулы выводятся. Метод размерности может также служить для проверки правильности полученных аналитическим путем уравнений.

Пример 1. Определить расстояние, проходимое за данный промежуток времени телом, свободно падающимиз положения покоя.

Первым этапом решения является выявление физических величин, от которых зависит проходимое телом расстояние s. Очевидно, что оно зависит от времени падения t и от ускорения силы тяжести g. Зависит ли расстояние s от каких-либо других переменных? В известной дискуссии Галилея с его оппонентами последние с уверенностью утверждали, что s зависит от массы тела m. Галилей экспериментально показал, что и тяжелый, и легкий камни, одновременно сброшенные с Пизанской башни, достигают ее подножия также одновременно (этот опыт не убедил оппонентов Галилея). Этот классический пример показывает, что при использовании метода размерностей задача выбора влияющих на результат переменных и отбрасывания не влияющих на результат переменных не всегда является простой.

Допустим, что противники Галилея правы и включим в список переменных массу тела m. Это означает, что имеется функциональная зависимость

s = f(g, t, m).

Наша цель состоит в отыскании вида этой функции. С некоторым допущением искомую функцию можно представить в виде ряда

s = C1gatbmc + C2ga′tb′mc′ + ...,

83

где С1, С2, ... – неизвестные коэффициенты, требуется определить показатели степеней.

Однородность по размерностям. Метод размерностей требу-

ет, чтобы каждый член этого уравнения имел одинаковые размерности длины, массы и времени, т.е.

a= a′ = a′′ = ...; b = b′ = b′′ = ...; c = c′ = c′′ = ...

Ввыражении для s размерность длины равна 1, а размерность массы и времени равны 0, следовательно, c = c′ = c′′ = ... = 0. Таким образом, либо (как и утверждал Галилей) s не зависит от массы тела, либо при составлении уравнения была пропущена какая-то физическая величина.

Рассмотрим последовательно оба варианта. Имеем

s = Cgatb(C = C1 + C2 + ...).

Размерность g есть LT 2, следовательно, размерность gatb имеет

вид

(LT 2)a(T b) = LaT 2a+b.

Приравнивая последнее выражение формуле размерности для s, т.е. L, получаем

L = LaT–2a+b.

Неизвестные показатели степени а и b определяются согласно основному принципу теории размерностей: любое уравнение, однотипное приведенному, должно быть однородным по размерностям, т.е. показатели при основных единицах (длины, массы и времени) должны быть одинаковыми в каждом члене уравнения. Следовательно, можно составить следующую систему уравнений:

–для показателя при L: 1 = a,

–для показателя при Т: 0 = 2a + b. Отсюда следует, что

a = 1, b = 2 и s = Cgt2.

84

Оценка численных коэффициентов методом размерностей невозможна. Как правило, эти коэффициенты определяют экспериментальным путем.

Рассмотрим теперь второй вариант, по которому в функциональное уравнение следует ввести некоторую влияющую на результат переменную, например вес падающего тела w. Таким образом, получим

s = f(g, t, m, w),

или s = C′gatbmcwd.

Вес есть сила (тяжести), следовательно, формула размерности для w выражается какLMT –2 и соответствующееуравнение имеет вид

L = (LT –2)a(T)b(M)c(LMT –2)d.

Из условия, что показатели степени при единицах длины, массы и времени одинаковы в обеих частях уравнения, получаем следующую систему уравнений:

–для показателей при L: 1 = a + d,

–для показателей при M: 0 = c + d,

–для показателей при T: 0 = 2a + b 2d.

Имеется четыре неизвестные величины и только три уравнения, необходимо выразить три неизвестные величины через четвертую. Выбрав d в качестве четвертой неизвестной, получаем

a = 1 d, b = 2, c = d.

Следовательно,

Известно, что для данного пункта земной поверхности вес пропорционален массе тела. Таким образом, в приведенной формуле показано, что s не зависит от массы падающего тела, так как (w/m g) является численной безразмерной величиной, которую можно объединить с коэффициентом C′. В итоге имеем

s C gt2.

85

На основании других предпосылок C имеет значение 1/2, поэтому

s 12 gt2.

Принцип однородности по размерностям, который, в сущности, утверждает, что разнородные величины нельзя суммировать, имеет важнейшее значение для теории размерностей. Он обнаруживает себя почти в каждом применении теории. Впервые этот принцип был сформулирован около столетия назад. Фурье не только выразил принцип однородности по размерностям в строгой формулировке, но и обосновал необходимость его использования: «Следует отметить, что любой неизвестной величине или константе присуща только одна размерность и что члены одного и того же уравнения нельзя было бы сопоставлять друг с другом, если бы они не имели один и тот же показатель размерности».

Выбор переменных. Выбор наиболее существенных физических величин, которые следует вводить в соответствующее уравнение, имеет важное значение и в то же время является одной из интересных особенностей метода размерностей.

Предположим, что в примере 1 кроме переменных g и t влияющей на результат переменной величиной является скорость v, которую приобретает тело за время t. В этом случае первичное уравнение имеет бы вид

s= Cgavbtc,

асоответствующее уравнение размерности

L = (LT –2)a(LT –1)b(T)c,

тогда:

–для показателей при L: 1 = a + b,

–для показателей при T: 0 = 2a b + c.

Отсюда b = 1 a, c = 1 + a.

Следовательно, s = Cgav1–at1+a, или

sCvt gt a .

v

86

Обе части последнего уравнения имеют одинаковую размерность при любых значениях a, так как выражение в скобках безразмерное. Если а = 1, то s = Cgt2, как и ранее. Если а = 0, то s = C1vt; при С1 = 1/2 эта формула является приемлемой, но неудобной, так как в условии задачи дано t, но не дано v.

Отсюда можно заключить, что введение в исходное уравнение не влияющих на результат физических величин не всегда приводит к неправильным выводам, но может иметь следствием получение целого ряда менее удачных вариантов решений.

Итак, одна из интересных особенностей использования анализа размерностей состоит в том, что неудачный выбор переменных в большинстве случаев дает также правильное, хотя и не столь полезное и содержательное решение, как при более удачном выборе.

Оптимальный выбор влияющих на результат физических величин зависит от «физической интуиции», которую дает исследователю его практический опыт. Однако утешительным обстоятельством для новичка с его недостаточной интуицией является знание того, что неудачный выбор физических переменных обычно приводит к результату, который сразу же подсказывает более удачный выбор, и что общий итог неудачного выбора заключается в получении не неправильного решения, а лишь менее удачного.

6.4.Практическое применение метода размерностей

иего эффективность

Для исследователей анализ размерностей может играть роль повседневного инструмента, применяемого для исследования формул и почленной проверки уравнений. В этом смысле большое значение имеет знание практических способов применения анализа размерностей при решении конкретных физических и технических задач. Ниже приведены примеры, касающиеся знакомых вопросов физики, проработав которые, можно приобрести некоторые навыки применения метода размерностей как инструмента исследований.

Ученые-физики утверждают, что некоторые законы природы, которые были установлены путем сложного эксперимента, на самом

87

деле обусловлены логически и могут быть сформулированы в результате априорных рассуждений. Метод анализа размерностей показывает, что во многих физических задачах между переменными и размерными постоянными имеются обязательные соотношения, благодаря чему постановка экспериментов нужна лишь для нахождения численных коэффициентов (коэффициентов пропорциональности).

Вывод основных уравнений физики путем рассмотрения лишь размерностей величин является одним из наиболее интересных вариантов применения метода размерностей. Но необходимо помнить, что рассматриваемый метод не может заменить собой обычные математические методы.

Пример 2. Найти ускорение точки, движущейся по окружности с постоянной скоростью.

Поскольку требуется установить зависимость f от v и r, можно эту зависимость представить как f (v,r) и в менее об-

щем виде как

f Cvarb Аналогичные члены.

Запишем в виде таблицы обозначения и размерности трех переменных (табл. 6.3).

Подставляя формулы размерности переменных величин и исключая С, получим

LT –2 = (LT –1)aLb.

Приравнивая вначале показатели при основной единице длины, а также показатели при основной единице времени, используем принцип, впервые сформулированный Фурье, согласно которому

88

каждое слагаемое правильно составленного физического уравнения должно иметь одинаковую размерность основных величин во всех членах. Таким образом,

–длина: 1 = a + b,

–время: 2 = a. Следовательно, a = 2, b = 1 и

f C v2 . r

Значение безразмерной постоянной С не может быть определено с помощью метода размерностей. Известно, что она равна единице, следовательно,

f v2 . r

Этот пример рассмотрен из-за простоты, он наглядно демонстрирует возможности метода.

Пример 3. Найти натяжение проволочного кольца, вращающегося в собственной плоскости вокруг оси, перпендикулярной плоскости вращения и проходящей через центр кольца.

Краткий анализ условий задачи позволяет установить, что основными переменными, от которых зависит натяжение проволоки, являются линейная плотность проволоки, угловая скорость ее вращения и ее радиус (табл. 6.4).

Полагая F зависимой переменной:

F Cma rb c ,

89

получаем уравнение размерности

LMT 2 (L 1M )a Lb (T 1)c

иего решение:

–длина: 1 = a + b,

–масса: 1 = а,

–время: –2 = с.

Отсюда F Cmr2 2 Cmv2 , где v – линейная скорость эле-

ментарного участка кольца.

Пример 4. Определить объем вязкой жидкости, проходящей через трубу круглого сечения за 1 с.

Пусть r радиус трубы и l ее длина. Течение жидкости поддерживается за счет разности давлений на концах трубы (р1 р2), следовательно, градиент давления

P p1 p2 ,l

а его размерность можно найти на основе его определения: P ПлощадьСила : Длина = LMTL2 2 : L = L 2MT 2.

Пусть V – объемный расход жидкости в 1 с. Вместо объемного расхода можно определять массовый расход жидкости, однако в этом случае нельзя исключать из числа переменных плотность жидкости. Интуиция, основанная на практическом опыте, подсказывает, что включать в число переменных еще какие-либо переменные не следует. Выбранные переменные и их размерности приведены в табл. 6.5.

90