1208

Второй прием основан на последовательном достраивании матрицы. Для этого при добавлении нового фактора необходимо повторить комбинации уровней исходного плана сначала при значении нового фактора на верхнем уровне, а затем – на нижнем.

5.4. Дробный факторный эксперимент

При большом числе факторов (k > 3) проведение полного факторного эксперимента связано с большим числом опытов, значительно превосходящим число коэффициентов линейной модели. Если при получении модели можно ограничиться линейным приближением, т.е. получить адекватную модель в виде полинома

y = b0 + b1x1 + b2x2 + … + bnxn,

то число опытов можно резко сократить в результате использования дробного факторного эксперимента.

Так, например, в полном факторном эксперименте типа 22 при линейном приближении коэффициент регрессии b12 можно принять равным 0, а столбец х1х2 матрицы использовать для третьего фактора. В этом случае линейная модель будет выражаться уравнением

y = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3.

Для определения коэффициентов этого уравнения достаточно провести четыре опыта вместо восьми в полном факторном эксперименте типа 23. План эксперимента, предусматривающий реализацию половины опытов полного факторного эксперимента, называют полурепликой (матрица планирования приведена в табл. 5.4).

При увеличении числа факторов (k > 3) возможно применение реплик большей дробности. Дробной репликой называют план эксперимента, являющийся частью плана полного факторного эксперимента. Дробные реплики обозначают выражением 2 k p, где р – число линейных эффектов, приравненных к эффектам взаимодействия. При р = 1 получают полуреплику, при р = 2 получают 1/4 реплики и т.д. по степеням двойки.

5.5.Свойства матриц полного

идробного факторных экспериментов

Для матриц полного и дробного факторных экспериментов характерны следующие свойства:

1. Свойства симметричности относительно центра эксперимента алгебраическая сумма элементов столбца каждого фактора равна нулю:

N

xi, j 0, j 1

где j номеропыта; i номер фактора; N число опытоввматрице. 2. Свойства нормировки сумма квадратов элементов каждого

столбца равна числу опытов:

N

xi2, j N.

j1

3.Свойство ортогональности сумма построчных произведений элементов любых двух столбцов равна нулю:

N

xi, j xl, j 0, j 1

где i, l – номера факторов, причем i l.

Ортогональность является одним из наиболее важных свойств матрицы. Ортогональность матрицы позволяет оценить все коэффициенты уравнения регрессии независимо друг от друга, т.е. величина любого коэффициента не зависит от того, какие величины

62

имеют другие коэффициенты. Если тот или иной коэффициент регрессии окажется незначимым, то его можно отбросить, не пересчитывая остальные.

4. Свойство рототабельности точки в матрице планирования подбирают так, что математическая модель, полученная по результатам полного или дробного факторных экспериментов, способна предсказать значения параметра оптимизации с одинаковой точностью в любых направлениях на равных расстояниях от центра эксперимента. Это очень важное свойство матрицы, так как, начиная эксперимент, исследователь не знает, в каком направлении предстоит двигаться в поисках оптимума.

5.5.Применение метода Бокса – Уилсона

вметаллургии сварки

Рассмотрим метод Бокса – Уилсона на примере исследования модифицирования чистого алюминия молибденом. В качестве параметра оптимизации y выбрали число зерен алюминия в 1 см3, определяемое металлографически. Изучение научно-технической литературы показало, что на параметр оптимизации существенное влияние оказывают следующие факторы: х1 количество введенного в алюминий молибдена, %; х2 температура перегрева, С; х3 время нагрева, мин; х4 фактор качественный, принимающий два значения: быстрое охлаждение в графитовом тигле и медленное охлаждение в шамотном тигле.

Составим таблицу с выбранными интервалами варьирования и уровнями факторов (табл. 5.5).

Коэффициенты модели определяют по формулам:

b0 = 83,1, b1 = 20,0, b2 = 11,9, b3 = 5,1, b4 = 9,4.

Таким образом, уравнение регрессии имеет вид

y = 83,1 + 20x1 + 11,9x2 5,1x3 9,4x4.

Согласно полученной модели параметр оптимизации возрастает с увеличением значений факторов х1, х2 и уменьшением значений факторов х3 и х4. Наибольшее влияние на параметр оптимизации оказывает фактор х1.

5.6. Обработка результатов эксперимента при отсутствии дублирования опытов

Обработку результатов, представленных в предыдущей главе, необходимо проводить с учетом того, что опыты не дублировались. В этом случае обработку результатов производят по следующей схеме.

1. Для вычисления дисперсии Sy2 воспроизводимости экспери-

мента выполняют несколько параллельных опытов в нулевой точке (в центре плана). При постановке опытов в нулевой точке все факторы находятся на нулевых уровнях. По результатам опытов в центре плана вычисляют дисперсию воспроизводимости эксперимента по формуле

n0 ( yu ycp )2

где n0 число параллельных опытов в нулевой точке; yu значение параметра оптимизации в u-м опыте; yср среднее арифметическое значение параметра оптимизации в n0 параллельных опытах.

65

2. Проверяют статистическую значимость коэффициентов уравнения регрессии. Проверку значимости коэффициентов можно производить двумя способами:

сравнением абсолютной величины коэффициента с доверительным интервалом,

с помощью t-критерия.

Среднюю квадратичную ошибку в определении коэффициентов регрессии определяют по формуле (первый способ):

где S2(bi) – дисперсия i-го коэффициента регрессии; N число строк, или опытов в матрице планирования. Из этой формулы следует, что дисперсии всех коэффициентов равны.

Доверительный интервал коэффициентов регрессии

bi = tтS(bi).

Значение критерия tт, входящего в эту формулу, находят по таблице для принятого уровня значимости и числа степеней свободы f, которое определяют по выражению f = n0 1. Коэффициент регрессии значим, если его абсолютная величина больше доверительного интервала.

При 5%-ном уровне значимости и числе степеней свободы f = n0 1 = 2 табличное значение критерия t = 4,3. Следовательно,

bi = 3,053.

Значения t при 5%-ном уровне значимости приведены ниже:

66

Все коэффициенты регрессии по абсолютной величине больше доверительного интервала, поэтому их можно признать статистически значимыми.

При проверке значимости коэффициентов вторым способом вычисляют расчетное значение критерия tp по выражению

и сравнивают его с табличным tт. Коэффициент значим, если tp > tт. Критерий Стьюдента tp вычисляют для каждого коэффициента регрессии. Статистически незначимые коэффициенты могут быть исключены из уравнения.

3. Определяют дисперсию адекватности

где yj значение параметра оптимизации в j-м опыте; ycpj значение параметра оптимизации, вычисленное по модели для условий j-го опыта; f число степеней свободы, которое для линейной модели определяется по выражению f = N (k + 1), где k число факторов.

4. Проверяют гипотезу адекватности модели по расчетному значению F-критерия, или критерия Фишера, используя формулу

S 2

Fp Sa2 . y

Табличные значения критерия Фишера при 5%-ном уровне значимости приведены в табл. 5.8.

Применительно к нашему примеру

S 2

Fp a 2,0.

Sy2

67

Таблица 5.8

Если Fp < Fт для принятого уровня значимости и соответствующих степеней свободы, то модель считают адекватной. При Fp > Fт гипотеза адекватности отвергается. В этом случае для получения адекватной модели принимают одно из следующих решений:

переходят к планированию второго или более высокого по-

рядка;

уменьшают интервалы варьирования и ставят полный эксперимент, повторяя эти действия до получения адекватной линейной модели.

Табличное значение Fт-критерия при 5%-ном уровне значимости и числах степеней свободы для числителя 3 и знаменателя 2

равно 19,2, значит, Fp < Fт, модель адекватна. Полученное уравнение можно использовать для крутого восхождения по поверхности отклика.

Если линейная модель адекватна, то переходят к методу крутого восхождения. Следует помнить, что крутое восхождение эффективно тогда, когда все коэффициенты при факторах значимы. Незначимость некоторых коэффициентов может получиться вследствие неудачно выбранных интервалов варьирования; включения факторов, не влияющих на параметр оптимизации; большой ошибки опыта.

68

Если принята первая гипотеза, то изменяют интервалы варьирования по незначимым факторам и ставят новую серию опытов. Если принята вторая, то невлияющие факторы стабилизируют и исключают из опытов. Если принята третья гипотеза, то увеличивают число параллельных опытов. Увеличение числа этих опытов приводит к уменьшению дисперсии коэффициентов и величины доверительного интервала, в результате чего все или часть коэффициентов могут оказаться значимыми.

Возможен случай, когда все коэффициенты, кроме b0, незначимы, а модель адекватна. Такая ситуация чаще всего возникает из-за слишком узких интервалов варьирования или вследствие большой ошибки опыта. В этом случае возможны два решения:

1)расширение интервалов варьирования,

2)повышение точности эксперимента путем улучшения методики проведения опытов и увеличения числа параллельных опытов.

5.7. Крутое восхождение по поверхности отклика

Если изменять факторы пропорционально их коэффициентам с учетом знака, то движение к оптимуму будет осуществляться по самому крутому пути. Этот процесс движения к области оптимума называют крутым восхождением. Технику расчета крутого восхождения рассмотрим на примере задачи с одним фактором.

Предположим, что кривая 1 (рис. 5.1) представляет собой неизвестную функцию отклика. В результате реализации плана эксперимента с центром в точке 0 получено уравнение регрессии y = b0 + b1x1, адекватно описывающее функцию отклика в области значений факторов от 1 до +1.

Значение коэффициента регрессии b1 равно тангенсу угла между линией регрессии и осью данного фактора. Если шаг движения по оси x1 принять равным x, то при умножении его на b1 получим координаты ( x и b1 x) точки А, лежащей на градиенте (градиент – это вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторой величины). После второго шага расстояние по оси x1 будет равно 2 x. Умножив 2 x на b1, найдем координаты 2 x и 2b1 x

69

точки В, лежащей на градиенте, и т.д. Затем проводятся опыты с условиями, отвечающими точкам на градиенте. По результатам этих опытов определяют область оптимума.

Рис. 5.1. Схема к расчету координат точек в направлении градиента

В случае k-факторов расчет крутого восхождения по оси каждого фактора производят аналогичным образом, так как коэффициенты b1 определяются независимо друг от друга. При этом движение по осям всех факторов осуществляют одновременно.

Шаг движения по градиенту выбирают таким, чтобы его минимальная величина была больше ошибки, с которой фиксируют фактор. Необходимо учитывать, что при движении к оптимуму малый шаг потребует значительного числа опытов, а большой шаг может привести к проскоку области оптимума. Шаг движения выбирают для одного фактора, адля остальных его рассчитывают по выражению

biεi , b1ε1

где 1 – выбранный шаг движения для фактора l; i – шаг движения для i-го фактора; b1, bi – коэффициенты регрессии 1-го и i-го факторов; 1, i – интервалы варьирования 1-го и i-го факторов.

Движение по градиенту должно начинаться от нулевой точки. Рассчитав шаг движения для каждого фактора, находят условия «мысленных» опытов. «Мысленными» называют опыты, условия проведения которых на стадии крутого восхождения установлены сучетом шага движения для каждого фактора. С целью проверки результатов крутого восхождения часть мысленных опытовреализуется.

70