1208

При нижней пометке х1 = 0 получаем

λ xy .

Для нижней пометки с отрицательным знаком ( х1) формула принимает вид

7.4. Равномерные шкалы

Рассмотрим несколько примеров построения равномерных шкал с разными предельными пометками для шкал одинаковой длины и определим относительные погрешности отсчетов по ним.

Рассмотрим построения четырех разных равномерных шкал длиной y = 100 мм (рис. 7.1).

Рис. 7.1

111

Определим значения модулей для каждой из них. Для шкал на рис. 7.1, а–в определяем длину модулей. Для шкалы рис. 7.1, а получаем

λ xy 10010 10 мм.

Для шкалы рис. 7.1, б имеем

λ 100100 1 мм.

Для шкалы рис. 7.1, в имеем

λ 1000100 0,1 мм.

Для шкалы рис. 7.1, г определяем длину модуля

Определим относительную погрешность отсчетов по этим шкалам в разных их частях, приняв, что на глаз можно достаточно точно разделить 1 мм шкалы пополам, а это определяет величину абсолютной погрешности отсчетов.

Ниже приведены величины относительных погрешностей отсчетов в процентах по шкалам на рис. 7.1, а–в в разных их местах. Модуль для каждой шкалы приведен выше. Абсолютная погрешность для шкал на рис. 7.1, а, б составляет 0,5 мм, а для шкалы на рис. 7.1, в 5 мм.

Относительные погрешности отсчетов определялись по формуле

δ x 100 %,

где абсолютная погрешность отсчета; х значение пометки, для которой определяется погрешность.

112

Так, значения относительнойпогрешности для шкалы рис. 7.1, а:

Из сопоставления данных, приведенных выше, можно сделать следующие выводы:

увеличение значений пометок в несколько раз при той же длине шкалы не увеличивает относительную погрешность отсчетов;

на одной и той же шкале относительная погрешность отсчетов уменьшается с увеличением значений пометок, причем может оказаться, что для нижних пометок относительная погрешность чрезмерна и для практических целей не годится, в то время как верхняя часть шкалы дает вполне достаточную точность.

Например, отсчеты по шкале до пометки 1 дают относительную погрешность более 5 % (рис. 7.1, а и соответствующие величины относительных погрешностей). То же имеет место для отсчетов до пометки 10 шкалы на рис. 7.1, б и до пометки 100 шкалы на

рис. 7.1, в. Такая относительная погрешность обычно чрезмерна, и поэтому использовать номограмму в этих частях шкалы нельзя. Если требуется, чтобы номограмма давала отсчеты с достаточной относительной точностью и для этих частей шкалы, то следует увеличить модуль шкалы до необходимых размеров. Но это не всегда представляется возможным. В таких случаях следует строить две самостоятельные номограммы: одну, на которой шкала изменений переменной будет, например, от 0 до 10, а вторую – на которой шкала изменений той же переменной будет от 0 до 100, тогда допустимая относительная погрешность будет иметь место для всех значений переменной от 1 до 100.

Если нижние значения пометок шкалы не имеют практического значения, то целесообразно эту часть шкалы не строить и за ее

113

счет увеличить модуль шкалы, от этого уменьшится относительная погрешность отсчетов по шкале.

На рис. 7.1, в дана шкала длиной 100 мм с предельными значениями пометок от 20 до 45. Модуль ее, определенный по формуле, равен 4 мм. Относительные погрешности отсчетов по этой шкале будут изменяться в следующих пределах: от 0,62 % для х = 20 до 0,23 % для х = 45, следовательно, погрешность отсчетов по всей шкале рис. 7.1, в не превышает практически допустимую.

Таким образом, проведенный анализ показывает, что равномерные шкалы, несмотря на их основной недостаток (различная относительная погрешность отсчетов по ее длине), при надлежащем выборе модуля могут всегда дать отсчет с достаточно высокой точностью, не уступающей точности аналитических методов технических расчетов.

7.5. Неравномерные шкалы

Одной из самых распространенных неравномерных шкал является логарифмическая шкала. Логарифмическая шкала применяется как при построении расчетных номограмм, так и при графических методах обработки опытных данных.

Уравнение логарифмической шкалы имеет вид y = lg(x),

где модуль шкалы, мм.

Для построения логарифмической шкалы, как видно из данной формулы, необходимо определять значения логарифмов для разных х, умножать их на выбранную величину модуля шкалы и полученные числа миллиметров откладывать от начальной точки носителя шкалы, отмечая полученную точку штрихом и пометкой, которая отвечает значению х, а не его логарифма.

lg1 = 0, lg10 = 1, следовательно, по уравнению логарифмической шкалы получаем: y1 = lg1 = 0, y10 = lg10 = .

В начале логарифмической шкалы ставят пометку 1, а на расстоянии от нее пометку 10. Следовательно, длина логарифмиче-

114

ской шкалы от штриха с пометкой 1 до штриха с пометкой 10 равна ее модулю. Одним из важнейших свойств логарифмической шкалы является следующее: расстояние до штрихов с пометками 2, 3, 4 и т.д. от штриха с пометкой 1 соответственно равны расстояниям до штрихов с пометками 20, 30, 40 и т.д. от штриха с пометкой 10. Это значит, что расположение штрихов на протяжении каждого модуля для чисел, отличающихся кратностью десяти, повторяются. Такое свойство логарифмических шкал значительно упрощает построение, когда длина их в несколько модулей и, кроме того, позволяет на любой логарифмической шкале изменять значения пометок, увеличивая или уменьшая их в 10-, 100-кратном и т.д. размере. Пометки «ноль» на логарифмической шкале быть не может (эта пометка располагается в бесконечности).

Логарифмическая шкала, как и всякая неравномерная шкала, отличается от равномерной тем, что абсолютная погрешность отсчетов по ней разная по всей ее длине. В то же время она отличается от всех шкал тем, что относительная погрешность отсчетов по всей ее длине одинаковая. Поскольку это свойство имеет большое значение, докажем его.

Пусть – та погрешность в любом отсчете, которая определяется величиной отрезка шкалы, не учитываемой на глаз. Длина этого отрезка будет одинаковой для логарифмических шкал любых модулей, но если его измерять в долях модуля шкалы, то значение погрешности будет постоянной для шкалы одного и того же модуля и различной для шкал разных модулей.

Если по логарифмической шкале сделан отсчет х, это значит, что ответная точка находится от начала шкалы на расстоянии lg(x), отложенном в долях модуля. Если погрешность отсчета равна (исчисленная также в долях модуля), то истинное положение ответной точки будет находиться на расстоянии

lg(x) + = lg(x) + lg10 = lg(x 10 )

от начала шкалы. Следовательно, значение истинной пометки будет 10 х, а абсолютное значение погрешности измерения

115

= 10 х х = х(10 1).

Таким образом, относительная погрешность измерения

Как видно, относительная погрешность не зависит от х и, следовательно, будет одной и той же на всем протяжении логарифмической шкалы. Но так как погрешность измеряется в долях модуля шкалы, то, очевидно, относительная погрешность логарифмической шкалы тем меньше, чем больше модуль шкалы.

Найдем относительную погрешность отсчета по логарифмическим шкалам разных модулей, приняв погрешность отсчета х, сделанного на глаз, равной 0,5 мм. Для шкалы с модулем = 500 мм имеем значения погрешности в долях модуля шкалы

ε 5000,5 0,001.

Относительная погрешность

= 10 1 = 100,001 1 = 1,002 33 1 = 0,002 33 = 0,23 %.

Для шкалы с модулем = 250 мм

2500,5 0,002.

= 10 1 = 100,002 1 = 1,004 6 1 = 0,004 6 = 0,46 %.

Для шкалы с модулем = 100 мм

ε1000,5 0,005.

= 10 1 = 100,005 1 = 1,011 6 1 = 0,011 6 = 1,2 %.

Таким образом, применяя при построении расчетных номограмм логарифмические шкалы с модулем 100 мм и выше, получаем для искомой величины две-три верные цифры, т.е. столько же, сколько при обычных аналитических методах вычислений.

116

При графических методах обработки опытных данных часто приходится строить кроме логарифмических шкал и другие неравномерные шкалы, например, квадратичные шкалы y = x2, шкала

корней квадратных y x, обратная шкала y = 1/x.

7.6.Сетчатые номограммы с равномерными шкалами

7.6.1.Уравнения с двумя и тремя переменными

Любое уравнение с двумя переменными может быть изображено графически, если использовать для его построения прямоугольную систему координат. Для этого необходимо на осях координат построить для каждой из переменных по равномерной шкале одного и того же модуля. Затем, задаваясь последовательно значениями одной переменной, определять по заданному уравнению значения второй переменной и для каждой пары соответствующих значений обеих переменных находить, пользуясь построенными шкалами, отвечающую им точку. Полученные точки соединяют плавной линией, которая может быть прямой или кривой в зависимости от вида уравнения.

На рис. 7.2 дано построение следующих уравнений с двумя переменными:

y = 1,3x,

y = 0,1x2 + x + 10, y = 0,1x2 + 0,2x.

Первое уравнение изобразилось на номограмме прямой линией, остальные кривыми. Вид кривых линий зависит от вида уравнений, но немалое влияние на вид кривых оказывают и значения коэффициентов уравнения. При графическом изображении уравнений в прямоугольных координатах модули равномерных шкал по осям координат следует принимать равными, чтобы вид полученных линий в точности отвечал заданным уравнениям. Но для технических формул часто не представляется возможным выполнить это условие или вследствие значительной разницы в пределах измене-

117

ний переменных, или из-за ограниченности в размерах чертежа. В этих случаях модули шкал выбирают с таким расчетом, чтобы номограмма получилась компактной, а построенные на ней линии – не очень крутыми или пологими, так как иначе точность отсчетов значительно уменьшается.

Рис. 7.2

Применение различных модулей для шкал, построенных на осях координат, это наиболее простой случай замены одной из переменных. Если требуется построить функцию y = f(x) и модуль шкалы для переменой х принят в n раз больший, чем для переменной y, то это равносильно тому, что переменная х заменена новой

118

переменной хн = nx и на номограмме построена не функция y = f(x),

афункция y = f(nx). Но так как против делений шкалы для переменной х в этих случаях всегда надписываются значения величины х,

ане nx, то на номограмме получаем все ту же линию, изображающую функцию f(x), правда, в искаженном виде. Однако это не мешает пользоваться такой номограммой для определения переменной y по заданной переменной х или решать обратную задачу. Графическое построение уравнений с тремя переменными сводится к построению серии уравнений с двумя переменными. Для получения такой серии необходимо задаться определенными значениями одной из переменных в пределах ее изменений, подставить их в заданное уравнение и, получив серию уравнений с двумя переменными, построить их в прямоугольной системе координат. На номограмме получится семейство прямых или кривых, причем на каждой из них надписывается значение третьей переменной, которой она отвечает. Эту третью переменную называют параметром урав-

нения.

Если общий вид уравнения с тремя переменными имеет вид

y= f(x,z),

апеременная z принята за параметр уравнения, то построенное на номограмме семейство линий называется семейством по z. Если за параметр принята переменная х, то получаем семейство по х. Может оказаться, что оба семейства линий состоят из прямых, или одно из семейств состоит из прямых, а другое из кривых, или оба семейства – из кривых.

Прежде чем приступить к построению номограммы с тремя переменными, следует решить, какую из переменных целесообразнее принять за параметр уравнения, чтобы номограмма была проще при построении и удобнее для пользования. Обычно за параметр принимают ту переменную, которая изменяется в меньших пределах или принимает лишь несколько определенных значений.

Иногда за параметр принимают ту из переменных, исключение которой из уравнения дает при построении заданного уравнения

119

семейство прямых линий, что значительно упрощает построение номограммы.

Важным является также выбор модулей шкал переменных, построенных на осях координат. Предположим, что требуется построить номограмму формулы

в которой переменная х изменяется от 0 до 4, а переменная z принимает только три определенных значения: 1; 5 и 9. Для искомой переменной y ограничиваемся пределами от 0 до 16. Очевидно, что наиболее целесообразно принять за параметр переменную z.

На рис. 7.3, а построена номограмма заданного уравнения с равномерными шкалами равных модулей. Она оказалась малоудобной для пользования и недостаточно точной. На рис. 7.3, б дана номограмма того же уравнения, но модуль шкалы переменной х увеличен в три раза. Номограмма получилась удобной для пользования, четкой и достаточно точной. Отсюда видно, что надлежащий выбор модулей шкал является одной из основных задач при построении сетчатых номограмм.

Когда при построении уравнений с тремя переменными получаем на номограмме семейство прямых, пересекающихся в одной точке, или семейство параллельных прямых, целесообразно построение шкалы и для третьей переменной. При наличии такой шкалы упрощается построение прямой, отвечающей любому промежуточному значению заданной третьей переменной, не отмеченной пометками на прямых.

Рассмотрим для примера построение номограммы уравнения y = 0,25xz при изменении обеих переменных от 0 до 10. За параметр примем переменную z. Подставляя в заданное уравнение целые значения z от 1 до 10, получим 10 уравнений с двумя переменными, которые и строим в прямоугольной системе координат, приняв абсциссу за ось переменной х, а ординату – за ось переменной y (рис. 7.4).

120