1208

Рассмотрим методику крутого восхождения на примере исследования модифицирования алюминия молибденом. Крутое восхождение начинаем из нулевой точки: x1 = 0,40; x2 = 840; x3 = 60; x4 – медленное охлаждение (шамотный тигель), так как быстрое охлаждение приводит к уменьшению параметра оптимизации (b4 = 9,4). Шаг движения для фактора x2 принят 2 = 10 С. По приведенной выше формуле вычисляем шаг движения для факторов x1 и x3:

Величина параметра оптимизации удовлетворила исследователей, и работа была закончена. Таким образом, потребовалось 12 опытов для того, чтобы определить оптимальные условия модифицирования алюминия молибденом.

5.8. Установление вида зависимости между двумя переменными величинами

Иногда необходимо выяснить вид зависимости между двумя переменными величинами, которая может быть функциональной или cтохастической. Функционально зависимыми являются такие величины, у которых каждому значению одной величины соответствует вполне определенное значение другой величины (свойства сплавов – от процентного содержания того или иного элемента, величина погрешности размера изделия – от температуры и др.).

Стохастически зависимыми называются такие величины,

у которых различным значениям одной величины соответствуют различные законы распределения другой величины. Частным случаем стохастической зависимости является коррелятивная зависимость. Она появляется в том случае, когда каждому значению одной величины соответствуют различные средние значения другой величины (размеры изделий обрабатываемых одновременно на одном станке, одним инструментом и т.д.).

Для установления вида функциональной зависимости эксперимент проводится таким образом, что для каждого значения одного признака (независимая переменная х) определяется значение другого признака (независимая переменная y), а результаты заносятся в таблицу. По этим данным строится график зависимости между величинами х и y. Полученную ломаную линию выравнивают по наиболее близкой к ней теоретической кривой.

5.9. Корреляционная зависимость

Коэффициент корреляции указывает на тесноту связи между двумя случайными величинами и изменяется от 1 до +1. При прямой линейной зависимости, т.е. когда с возрастанием значений xi

72

увеличиваются значения yi, коэффициент корреляции kxy = +1. При обратной линейной зависимости, т.е. когда с возрастанием значений xi значения yi уменьшаются, коэффициент kxy = 1. Если х и y независимы, то kxy = 0.

При kxy 0 каждому значению xi соответствует несколько зна-

чений yi.

Для выборки небольшого объема коэффициент прямолинейной корреляции удобно определять по формуле

где N – число измерений; xi и yi – значения измерений.

По величине коэффициента корреляции определяют возможность выражения функции y = f(x) в виде линейной зависимости. Значение коэффициента корреляции всегда меньше единицы. При kxy > 0,5 считают полноту связи удовлетворительной, при kxy < 0,5 регрессию следует принимать нелинейной. В случае если коэффициент корреляции kxy > 0,5, уравнение регрессии можно представить в виде

y = b + ax.

Значения коэффициентов a и b находят по формулам:

Рассмотрим пример. Пусть имеется ряд результатов измерений значений функций y = f(x). При этом каждой величине х соответствует два значения y:

73

Количество измерений N = 20. Для определения коэффициента корреляции проведем следующие расчеты:

xi yi 1 10 1 12 2 12 3 15 4 19 ... 10 46 3539,

xi 2 1 2 3 4 5 ... 10 110,

yi 10 12 12 14 15 17 ... 44 46 529,

xi2 2 12 22 32 42 ... 102 770,

yi2 102 122 122 142 152 ... 462 16 459,

yi 2 5292 279 841.

Полученное значение kxy показывает весьма хорошую тесноту связи, дает возможность выразить линейную связь между х и y в виде y = ax + b.

Определим значения коэффициентов a и b по приведенным выше формулам:

a 20 3539 110 529 3,815, 20 770 12100

b 52920 3,81511020 5,468.

Таким образом, уравнение регрессии будет иметь вид

у= 3,815x + 5,468.

5.10.Обобщенный параметр оптимизации

Из многих параметров, характеризующих объект исследования, очень часто трудно выбрать один, самый важный. Путь к единому параметру оптимизации лежит через обобщение. В то же время каждый отклик имеет свой физический смысл и свою размерность. Чтобы объединить различные отклики, необходимо ввести для каждого из них некоторую безразмерную шкалу. Шкала должна быть однотипной для всех объединяемых откликов это делает их сравнимыми. Выбор шкалы зависит от априорных сведений об от-

74

кликах, а также от той точности, с которой желательно определить обобщенный параметр.

Одним из наиболее удобных способов построения обобщенного отклика является обобщенная функция желательности Харрингтона. В основе построения этой обобщенной функции идея преобразования натуральных значений частных откликов в безразмерную шкалу желательности, или предпочтительности. Для составления шкалы желательности удобно пользоваться уже разработанными таблицами соответствия.

Значение частного отклика, переведенное в безразмерную шкалу желательности, обозначается через du (u = 1, 2, ..., n) и называется частной желательностью. Шкала желательности имеет интервал от нуля до единицы. Значение du = 0 соответствует абсолютно неприемлемому варианту уровню данного свойства. Оценке «очень хорошо» соответствуют значения на шкале желательности

1 > du > 0,80, а оценке «очень плохо» 0 < du < 0,20 и т.д. Выбор отметок на шкале желательности 0,63 и 0,37 не случаен, это объяс-

няется удобством вычислений: 0,63 (1 1 е), 0,37 1 е. Значение du = 0,37 обычно соответствует границе допустимых значений.

Ниже представлены числа, соответствующие некоторым точкам кривой на рис. 5.2, которая задается уравнением

На оси ординат нанесены значения желательности, изменяющиеся от 0 до 1. По оси абсцисс указаны значения отклика, записанные в условном масштабе. За начало отсчета 0 по этой оси выбрано значение, соответствующее желательности 0,37. Выбор именно этой точки связан с тем, что она является точкой перегиба

75

кривой, что в свою очередь создает определенные удобства при вычислениях. То же самое верно для значения желательности, соответствующего 0,63. Кроме того, эта кривая хорошо передает тот факт, что в областях желательности, близких к 0 и 1, «чувствительность» ее существенно ниже, чем в средней зоне.

Рис. 5.2. Кривая функции желательности

Симметрично относительно нуля на оси y′ (y′ – кодированная шкала) расположены кодированные значения отклика. Значение на кодированной шкале принято выбирать от 3 до 6. Например, на рис. 5.2 использовано шесть интервалов в сторону убывания и шесть – в сторону возрастания. Выбор числа интервалов определяет крутизну кривой в средней зоне.

После того как выбрана шкала желательности и частные отклики преобразованы в частные функции желательности, приступают к построению обобщенного показателя D, названного Хар-

рингтоном обобщенной функцией желательности. Обобщать, т.е.

переходить от du к D, предлагается по формуле

76

n

D n du . u 1

Здесь обобщенная функция желательности задается как среднее геометрическое частных желательностей. Примером может служить установление пригодности материала с данным набором свойств для использования его в определенных условиях.

Если хотя бы один частный отклик, входящий в комплекс параметров качества материала, не удовлетворяет требованиям технических условий (например, при определенной температуре материал становится хрупким и разрушается), то как бы ни были хороши прочие свойства, материал не может быть использован по назначению. Действительно, способ задания обобщенной функции желательности таков, что если хотя бы одна частная желательность равна нулю, то обобщенная функция также будет равна нулю. С другой стороны, D = 1 тогда и только тогда, когда все du = 1 (u = 1, 2, ..., n). Обобщенная функция желательности весьма чувствительна к малым значениям частных желательностей.

Способ задания базовых отметок шкалы желательности один

итот же как для частных желательностей, так и для обобщенной.

Так, если d1, d2, ..., dn = 0,63, то и D = 0,63, если d1, d2, ..., dn = 0,37, то

иD = 0,37 и т.д. В обобщенную функцию желательности могут вхо-

дить самые разнообразные частные отклики: технологические, техни- ко-экономические, экономические, эстетическиеит.д.

Построение обобщенного параметра оптимизации связано с созданием единого признака, количественно определяющего функционирование исследуемого объекта со многими выходными параметрами. Каждый выходной параметр – отклик – имеет свой физический смысл, свою размерность. Чтобы объединить различные отклики, необходимо ввести единую для всех откликов безразмерную шкалу в соответствии с некоторым стандартным аналогом. Шкала должна быть однотипной для всех объединяемых откликов. Построение шкалы во многом зависит от уровня априорных сведений о выходных параметрах, а также от той точности, с которой мы хотим определить обобщенный отклик.

77

6. МЕТОД АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТЕЙ

6.1. Единицы физических величин

Физической величиной называется свойство, общее в качественном отношении для многих физических объектов (физических систем, их состояний и происходящих в них процессов), но в количественном отношении индивидуальное для каждого из них, т.е. данное свойство может быть для одного объекта в определенное число раз больше или меньше, чем для другого. Не рекомендуется писать «величина массы», «величина ускорения», «величина силы», так как масса, ускорение и сила сами являются величинами. В таких случаях следует применять термин «размер величины», который определяется ее значением.

Размером физической величины (размером величины) называ-

ется количественное содержание в данном объекте свойства, соответствующего понятию «физическая величина».

Значением физической величины (значением величины) назы-

вается оценка физической величины в виде некоторого числа принятых для нее единиц. Отвлеченное число, входящее в значение физической величины, называется ее числовым значением.

Истинным значением физической величины (истинным значе-

нием величины) называется значение физической величины, которое идеальным образом отражает в качественном и количественном отношении соответствующее свойство объекта.

Действительным значением физической величины (действи-

тельным значением величины) называют значение физической величины, найденное экспериментально и настолько приближающееся к истинному значению, что может быть использовано вместо него. Значения физических величин определяются путем измерений и расчетов.

Измерением называется нахождение значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств. Измерения физических величин очень важны для решения

78

разнообразных научных и практических задач. Непременное условие проведения измерений – выбор единиц соответствующих физических величин (в дальнейшем для краткости будем пользоваться термином «единица величины»). Каждой физической величине соответствует определенная единица измерения.

Для проведения анализа закономерных связей между физическими величинами, находящимися в функциональной зависимости друг от друга, величины подразделяют на основные и производные.

Основной физической величиной (основной величиной) называ-

ется величина, входящая в систему и условно принятая в качестве не зависящей от других величин этой системы. Примерами таких величин служат длина l, масса m и время t.

Производной физической величиной (производной величиной)

называется величина, входящая в систему и определяемая через основные величины этой системы. Такой величиной в механике является, например, скорость v, если длина и время выбраны в качестве основных величин системы.

Выбор основных и производных единиц, а также их систем тесно связан с выбором основных и производных величин и их систем, который в значительной степени является произвольным. Некоторые специалисты считают разделение величин на основные и производные, размерные и безразмерные необоснованным и нецелесообразным, поскольку такая классификация, по их мнению, не имеет глубокого физического смысла.

Впервые общий принцип построения систем единиц был сформулирован известным немецким ученым К. Гауссом (1777–1855). Выбрав в качестве основных единиц длину, время и массу, Гаусс показал, что остальные единицы физических величин можно установить, используя закономерные связи между физическими величинами. Указанный выбор основных единиц не является однозначным решением проблемы. Более того, из-за бесконечного разнообразия материальных объектов и форм их движения, естественно, существует и бесконечное многообразие возможных комбинаций основных величин и систем единиц, построенных на их основе.

79

6.2.Размерности физических величин

Вкачестве официального стандарта на единицы величин в России используется ГОСТ 8.147–81 «ГСИ. Единицы физических вели-

чин» (СТ СЭВ 1052–78).

Размерности физических величин в стандарте СЭВ 1052–78

выражены в размерной системе длина масса время сила элек-

трического тока температура количество вещества сила света. Их размерности условно обозначают буквами L, M, T, I, , N, J. В табл. 6.1 представлены основные единицы Международной системы единиц (СИ), их наименования и обозначения, установленные соответствующими решениями Генеральной конференции по мерам и весам.

Производные единицы измерения могут быть связаны с основными единицами не только простыми соотношениями кратности, но и степенными зависимостями, причем степени единиц длины, массы и времени могут находиться в разных комбинациях. Например, единица площади есть единица длины в квадрате, единица объема есть единица длины в кубе. Говорят, что площадь представляет собой 2-размерную категорию длины (L2), а объем 3-размерную категорию длины (L3). Скорость есть отношение числа, представляю-

80