1185

Глава третья

ОБОБЩЕННЫЙ ПАРАМЕТР ОПТИМИЗАЦИИ

Перекликаются звук, запах, форма, цвет, Глубокий, темный смысл обретшие в слиянье.

Ш. Бодлер. Цветы ала

Путь к единому параметру оптимизации часто лежит через обобщение. Как уже говорилось, из многих откликов, определяю­ щих объект, очень часто трудно выбрать один, самый важный. Если же это возможно, тогда мы попадаем в ситуацию, описан­ ную в предыдущей главе. Здесь же нам предстоит познакомиться с более сложной ситуацией, когда необходимо множество откли­

Каждый отклик'имеет свой физический смысл и свою размер­ ность. Чтобы объединить различные отклики, прежде всего при­ ходится ввести для каждого из них некоторую безразмерную шкалу. Шкала должна быть однотипной для всех объединяемых откликов — это делает их сравнимыми. Выбор шкалы — не простая задача, зависящая от априорных сведений об откликах, а также от той точности, с которой мы хотим определить обобщен­ ный признак.

После того как для каждого отклика построена безразмер­ ная шкала, возникает следующая трудность — выбор правила комбинирования исходных частных откликов в обобщенный показатель. Единого правила не существует. Здесь можно идти различными путями, и выбор пути неформализован. Рассмотрим несколько различных способов построения обобщенного пока­ зателя.

3.1.Простейшие способы построения обобщенного отклика

Пусть исследуемый объект характеризуют п частных откли­

смысл и, чаще всего, разную размерность. Введем простейшее

32

рительное качество, 1 — годный продукт, удовлетворительное качество. Преобразованные значения обозначим так: уН1. — пре­ образованное значение и-то отклика в i-м опыте. Здесь мы при­ менили шкалу, в которой использовано числовое множество из двух элементов (в данном случае 0 и 1). Стандартизовав таким образом шкалу частных откликов, мы подошли ко второму этапу — их обобщению. По какому же правилу следует комбини­ ровать частные отклики?

Будем рассуждать следующим образом. В ситуации, когда каждый преобразованный частный отклик принимает только два значения 0 и 1, естественно желать, чтобы и обобщенный отклик принимал одно из этих двух возможных значений, причем так, чтобы значение 1 имело место, если, и только если, все част­ ные отклики в этом опыте приняли значение 1. А если хотя бы один из откликов обратился в 0, то и обобщенный отклик будет

И=1

частных откликов уь. У2* --- Уя<.

Корень мы ввели для того, чтобы связать эту формулу с дру­ гой, более сложной, которая будет рассмотрена далее. В дан­ ном же случае ничего не изменится, если написать

П

Y<= п У»,-

И=1

Совершенно очевидно, что такой подход слишком груб и жёсток [1]. Рассмотрим пример [2].

Пример 1. При разработке оптимальной рецептуры нового пластифици­ рованного полимерного материала качество продукции оценивалось семью выходными параметрами: ух — термостабильность композиции, мин] у2 — блеск (баллы), у3 — морозостойкость, °С; у4 — модуль упругости при -(-20° С, кгс/см2\ уъ — предел прочности при растяжении, кг/см2; ув — относительное удлинение при разрыве, %; у7 — число перегибов до разрушения, шг. Для каждого частного отклика введем следующие преобразования:

Данные для девяти опытов приведены в табл. 3.1.

Для комплексной оценки материалов были построены два обобщенных показателя:

Yi=VУ1У2У3У4У5У6У7.

учитывающий требования и разработки и заказчика, и

Y 2 = V УзУбУ7.

учитывающий только основные требования заказчика. По обобщенному по­ казателю У-! могут рекомендоваться только три рецептуры (каждый опыт соответствует одной определенной рецептуре). Если же взять за основу только требования заказчика, то удовлетворительное качество имеют ма­ териалы в семи опытах.

Таблица 3.1

Натуральные, преобразованные н обобщенные отклики

Обратим Ваше внимание на еще один способ получения обоб­ щенного отклика, который может применяться в тех случаях, когда для каждого из частных откликов известен «идеал», к ко­ торому нужно стремиться. Существует много способов введения

*Ввести метрику — значит указать правило определения расстояний между любыми парами объектов из интересующего нас множества.

34 \

разность при построении обобщенного отклика невозможно по двум причинам. Она имеет размерность соответствующего отклика, а у каждого из откликов может быть своя размерность, что пре­ пятствует, как мы уже знаем, их объединению. Отрицательный или положительный знак разности также создает неудобство. Чтобы перейти к безразмерным значениям, достаточно разность поделить на желаемое значение: (ут. — yu0)/yll0-

Чтобы нивелировать знаки, можно разность возводить в квад­ рат. Тогда обобщенный отклик получим по следующей формуле:

м=1

Если в некотором опыте все частные отклики совпадут с идеа­ лом, то Y станет равным нулю. Это и есть то значение, к кото­ рому нужно стремиться. Чем ближе к нулю, тем лучше. Конечно, необходимо условиться о том, что считать нижней границей, если верхняя равна нулю. Обратите внимание, нуль здесь имеет другой смысл, чем в первом случае.

Среди недостатков такой оценки выделяется нивелировка частных отликов. Все они входят в обобщенный отклик на рав­ ных правах. На практике же различные показатели бывают далеко не равноправны. Устранить этот недостаток можно вве­ дением некоторого веса аи

Я

U= 1

причем

я

2 а«= 1 и а« > °-

u=i

Чтобы проранжировать отклики по степени их важности и найти соответствующие веса, можно воспользоваться экспертными оценками [3, 4].

Мы рассмотрели простейшие способы построения обобщенного показателя. Для перехода к более сложным способам нужно научиться фиксировать более тонкие различия на шкале пре­ образования откликов. Здесь в основном приходится опираться на опыт экспериментатора. Но, чтобы этот опыт разумно употре­ бить в рамках формальных процедур, его тоже н^жно формали­ зовать. Наиболее естественный путь такой формализации — введение системы предпочтений экспериментатора на множестве значений каждого частного отклика, получение стандартной шкалы и затем обобщение результатов.

3* 35

Пользуясь системой предпочтений, можно получить более овдержательную шкалу вместо шкалы классификаций с двумя классами. К примеру построения такой шкалы мы перейдем в следующем параграфе.

3.2. Шкала желательности

Одним из наиболее удобных способов построения обобщен­ ного отклика является обобщенная функция желательности Харрингтона [5, 6]. В основе построения этой обобщенной функ­ ции лежит идея преобразования натуральных значений частных откликов в безразмерную шкалу желательности или предпочти­ тельности. Шкала желательности относится к психофизическим шкалам. Ее назначение — установление соответствия между фи­ зическими и психологическими параметрами. Здесь под физи­ ческими параметрами понимаются всевозможные отклики, ха­ рактеризующие функционирование исследуемого объекта. Среди них могут быть эстетические и даже статистические параметры (см. классификацию параметров во второй главе), а под психо­ логическими параметрами понимаются чисто субъективные оценки экспериментатора желательности (предпочтительности) того или иного значения отклика. Чтобы получить шкалу желательности, удобно пользоваться готовыми разработанными таблицами со­ ответствий между отношениями предпочтения в эмпирической и числовой (психологической) системах (табл. 3.2).

Таблица 3.2 Стандартные отметки на шкале желательности

Значение частного отклика, переведенное в безразмерную шкалу желательности, обозначается через dn (и = 1, 2, ., п) и называется частной желательностью (от desirable фр. — же­ лательный). Шкала желательности имеет интервал от нуля до единицы. Значение dt= 0 соответствует абсолютно неприемлемому уровню данного свойства, а значение du= 1 — самому лучшему значению свойства. Понятию «очень хорошо» соответствуют значения па шкале желательности 1 > du> 0,8, а понятию

36

Цо оси абсцисс указаны значения отклика, записанные в услов­ ном масштабе. За начало отсчета 0 по этой оси выбрано значение, соответствующее желательности 0,37. Выбор именно данной точки связан с тем, что она является точкой перегиба кривой, что в свою очередь создает определенные удобства при вычи­ слениях. То же самое верно для значения желательности, соот­ ветствующего 0,63. Выбор этой кривой не является единственной возможностью. Однако она возникла в результате наблюдений за реальными решениями экспериментаторов и обладает такими полезными свойствами как непрерывность, монотонность и глад­ кость. Кроме того, эта кривая хорошо передает тот факт, что

вобластях желательностей, близких к 0 и 1, «чувствительность»

еесущественно ниже, чем в средней зоне.

Симметрично относительно нуля на оси у' (у' — кодирован­ ная шкала) расположены кодированные значения отклика. Зна­ чение на кодированной шкале принято выбирать от 3 до 6. Например, на рис. 4 использовано шесть интервалов в сторону убы­ вания и шесть — в сторону возрастания. Ниже вы познакоми­ тесь со случаем, когда выбрано три интервала. Выбор числа интервалов определяет крутизну кривой в средней зоне.

Пример 1. Пусть среди откликов будет выход реакции, естественные границы которого заключены между 0 % и 1 0 0 %.

Предположим, что 100% соответствует на шкале желательности еди­ нице, а 0% — нулю. Это отображено на рис. 4 на шкале, расположенной под шкалой у'. На ней пока имеются только две точки: 0 и 100. Выбор других точек зависит от ряда обстоятельств, таких, как сложившаяся в начальный момент ситуация, требования к результату, возможности экспериментатора.

37

Можно себе представить случай, когда процесс идет с выходом около 50%. О выходе более 70% трудно мечтать, а может быть он и невозможен из-за по­ бочных. реакций. Из сказанного ясно, что в данном случае выход в 70% для экспериментатора практически эквивалентен выходу в 100%. Это и от­ ражено при выборе второй точки справа, для которой желательность близка к единице. Третья точка ограничивает область, которой экспериментатор может дать оценку «очень хорошо». В табл. 3.2 это соответствует диапазону 1,00—0,80. Какое натуральное значение у поставить в соответствие этой точке, зависит от «азартности» или «осторожности» экспериментатора. По­ строение этой шкалы напоминает игру. Именно из теории игр заимствована эта терминология. Азарт азартом, но нужно еще и уметь играть. Опытный химик может сказать,'что «больше 60% из этой реакции вы не выжмете». Тогда бы мы поставили в соответствие третьей точке выход 60%.

Конечно, такое рассуждение может не иметь смысла, если вследствие ошибок эксперимента мы не в состоянии различить Еыхода в 60 и 70%. Сле­ довательно, разным точкам на шкале должны соответствовать разные значения выхода. «Азартный» экспериментатор может поставить в соответствие выход, скажем, в 67%. Область хороших результатов (0,80—0,63 по шкале жела­ тельности) наш экспериментатор заключил в границы 60—55%. Уже достигну­ тый результат — 50%, дает естественную нижнюю границу области «удовлет­ ворительно», ну а результат ниже 45% просто никуда не годится. На рис. 4 разобранная ситуация обозначена (I).

Но все может быть и иначе. Имеется хорошо налаженный технологиче­ ский процесс с выходом 95%, но возросли требования к чистоте продукта. Поэтому, наряду с другими мероприятиями, возникла задача увеличения выхода хотя бы до 98%. Эта ситуация на нашем рисунке обозначена (II). Конечно, такая шкала возможна только при прецизионных измерениях.

Совсем другая картина получается, когда речь идет о задаче синтеза нового вещества, которого до сих пор не удавалось получить в количествах, достаточных для идентификации.

При выходе менее 2% нет способа в данном случае идентифицировать продукт. Любой выход выше 10% — превосходен. Эта ситуация (III), повидпмому, не нуждается в дальнейших комментариях.

Кривую желательности обычно используют как номограмму, поскольку это легко и оперативно. Так, если в ситуации (I) по­ лучен выход 63%, то ему будет соответствовать желательность 0,9, что показано пунктиром на рисунке. На практике такой простой прием часто оказывается вполне достаточным, но не всегда. Во-первых, потому что точность графического определения же­ лательности может оказаться недостаточной, а, во-вторых, по­ тому что эта точность зависит от положения на шкале у.

Тогда приходится прибегать к аналитическому методу опре­ деления желательности и с помощью шкалы у' и приведенного

реакции, и границы его заданы естественно: от 0 до 100%. Однако, это не всегда бывает так. Стоит включить в рассмотрение отклики,

38

характеризующие, например, качество материала, и границы станут весьма неопределенными.

Естественно возникает вопрос, на каком основании устанавли­ ваются границы допустимых значений для частных откликов. При этом нужно иметь в виду, что ограничения могут быть одно­

самая благоприятная, возможна, если экспериментатор распо­ лагает инструкцией, в которой четко сформулированы требова­ ния ко всем частным откликам, т. е. имеется спецификация с одним или двумя ограничивающими пределами. Тогда отметка на шкале желательности dM=0,37 соответствует z/min, если имеется одно­ стороннее ограничение уи> ymin или утах для уи< утах. В слу­ чае двустороннего ограничения этой отметке ставится в соответ­ ствие и ymiu, и утах. Во второй ситуации спецификация отсутствует, тогда ограничения на шкале и другие отметки делаются весьма субъективно, на основании опыта и интуиции экспериментатора. Совершенно очевидно, что в таком случае довольно опасно руко­ водствоваться мнением одного-единственного исследователя, а же­ лательно учесть мнения нескольких специалистов. При обобще­ нии ряда мнений и установлении степени согласованности между различными специалистами можно воспользоваться методом ран­ говой корреляции [4, 7].

3.3.Преобразование частных откликов

вчастные функции желательности

Представим себе такой случай, когда существует специфика­ ция с одним или двумя ограничивающими пределами и эти пре­ делы являются единственными значениями качества. Тогда вне пределов du= 0, а внутри пределов d = 1.

Пусть z/mln — нижний предел спецификации и уи^ z/mln. При таком одностороннем ограничении частная функция жела­ тельности будет иметь вид

| 0 , если уи< z/min;

“\ 1, если z/„> y mIn.

Аналогично для двустороннего ограничения получаем

в § 3.1: шкала желательности выродилась в простейшую шкалу классификаций с двумя классами эквивалентности. Эти два слу­ чая показаны на рис. 5. Но такое положение, когда ограничи­

39

вающие пределы спецификации являются единственными кри­ териями качества, встречается довольно редко, так как трудно разделить результаты твердой границей на две категории: годен, не годен. Поэтому преобразования частных откликов в их стан­ дартные аналоги на шкале желательности осуществляются по более сложным законам. Примером такого более сложного пре­

свойства, ограниченного с одной стороны. К числу свойств, подчиняющихся одностороннему ограничению, относятся очень многие характеристики качества материалов: теплостойкость, прочность, ударная вязкость, морозостойкость, модуль упру­ гости, относительное удлинение при разрыве и т. д. (это можно было видеть из примера 1). Для всех этих показателей ограни­ чение имело ВИД уи> Уmin’

Другой вид одностороннего ограничения уи^ утах характе­ рен для таких показателей, как содержание различных вредных примесей, влажность, удельный вес, содержание дорогих или дефицитных компонентов и т. п.

Для двустороннего ограничения утах < уи< утйХ пример функции желательности показан на рис. 7. Случай двусторон­ него ограничения встречается не так часто, как одностороннего, и он более сложен для оценки откликов. Примерами могут слу­ жить молекулярный вес материалов, предназначенных для пере­ работки литьем или экструзией, насыпной вес и вес утряски, индекс расплава и т. п. Индекс расплава, например, является важной характеристикой литьевых и экструзионпых типов поли­ метилметакрилата. Слишком низкий индекс наблюдается у ма­ териалов с недостаточной текучестью, что отрицательно влияет на ход технологического процесса при переработке полимера. При высоком показателе индекса расплава возникают затрудне­ ния во время формования материала.

Построение функции желательности детально рассмотрено Т. М. Карташовой [2]. В некоторых сложных случаях к построе­ нию шкалы желательности приходится подходить итеративно.

40

Уоень

хароша

У minf max) У Уmm У

Рис. 6 . Функция желательности для свойства, ограниченного с одной сто­ роны

Рис. 7. Функция желательности для свойства, ограниченного с двух сторон

Шкала желательности есть попытка формализации представлений экспериментатора о важности тех или других значений частных откликов. Нет никакой гарантии, что такие представления можно считать правильными. Особенно, если не существует специфика­ ции. В тех случаях, когда шкала желательности создается сов­ местно экспериментатором и консультантом по планированию эксперимента, можно представить себе и такую ситуацию, когда не было между ними достаточно глубокого взаимопонимания и шкала получилась неудачной. Тогда нужно учесть все недостатки и построить другую шкалу, более точно отражающую предпочти­ тельность значений откликов.

3.4. Обобщенная функция желательности

После того, как выбрана шкала желательности и частные отклики преобразованы в частные функции желательности, можно приступить к основной задаче — построению обобщенного по­ казателя D, названного Харрингтоном обобщенной функцией желательности. Обобщать, то есть переходить от к D , предла­ гается по формуле

Здесь обобщенная функция желательности задается как сред­ нее геометрическое частных желательностей. Такое представле­ ние можно рассматривать как удобную модель психологической