1185

зультаты тогда можно представить в виде вектора^У, состоящего из средних наблюдений по дублированным опытам. Для учета различных вариантов дублирования составим таблицу, в кото­ рой приведем формулы для различных случаев (табл. 10.6).

Таблица 10.6

Суммы квадратов и числа степеней свободы при разных вариантах дублирования опытов

Для удобства обозначений условимся в случае равенства всех- п{ писать n<=const=w , а номер единственного опыта, который дублируется, не нарушая общности, будем считать первым. В табл. 10.6 также указаны формулы для случая, когда дисперсия, ха­ рактеризующая ошибку опыта, находится из независимой серии опытов, результаты которой не используются при вычислении коэффициентов регрессии.

180

Таким образом, неравномерность дублирования должна учи­

с пояснения содержащихся в ней формул. Для рассмотрения частных случаев, возможных при различных стратегиях дубли­ рования, выразим соответствующие суммы квадратов с помощью обычной формы записи. Прежде всего запишем выражение для остаточной суммы квадратов

^ост= 2 2 ( у < г — &)а-

t=i 5=1

Разложим эту сумму на составляющие с помощью следующего преобразования:

где у. — среднее значение отклика по опытам i-й серии

”i

Сумма 2 (у,- — у{), входящая в последнее слагаемое, равна нулю

5=1 '

Поэтому

дает разложение 50СТ на два слагаемых, первое из которых есть

181

где р — число коэффициентов регрессии, входящих в регрес­ сионную зависимость (в линейном случае р=к-\-1).

Величина

^оспР= 2 2 ( ^ г - ^ ) а *=1 д=1

связана с числом степеней свободы

Следовательно, дисперсия, характеризующая ошибку экспери­ мента, есть

S h - i )

Тот же результат будет, если использовать выражения для част­ ных дисперсий в каждой серии дублированных опытов. Дейст­ вительно, для i-й серии параллельных опытов можно записать

2iViq — УУ

^2 ___u воопр i __2=1

Тогда объединенная оценка дисперсии, характеризующей ошибку опыта, может быть найдена из соотношения

Применение этой формулы оправданно лишь пща условии одно­ родности частных дисперсий. Однородность дисперсий может1 быть проверена в общем случае с помощью критерия Бартлета.

Запишем нашу формулу в виде

УI У

Отсюда следует, что она идентична с предыдущей. Теперь вернемся к сумме квадратов

£.д = 2 Щ(& — W - »■=!

182

Она связана с числом степеней свободы j B1= N —(fc-f-1) или в об­ щем случае fai=-N—р. Следовательно, дисперсия, связанная с не­

Это позволяет проверить гипотезу о том, что экспериментальные данные не противоречат полученному описанию. Проверка гипо­ тезы производится с помощью дисперсионного отношения Фи­ шера

F =

Таким образом, содержащиеся в таблице формулы являются частными случаями одного и того же разложения остаточной суммы квадратов S 0CT. Зная процедуру разложения остаточной суммы квадратов, можно всякий раз получить нужную формулу. Однако на практике более удобно иметь эти формулы в готовом виде.

Наиболее общий случай представляет собой неравномерное дублирование. Чтобы получить здесь значение ^-критерия, нужно сумму квадратов, связанную с дисперсией воспроизводимости, разделить на соответствующее ей число степеней свободы и полу­ чить знаменатель /^-критерия (если построчные дисперсии одно­ родны по критерию Бартлета)

2 ("< — j )

*=i

Затем надо взять сумму квадратов, связанную с дисперсией аде­ кватности, поделить на соответствующее ей число степеней сво­ боды и получить числитель

N

2 ni (У* — $<)*

Аналогично поступают во всех других случаях. Вариант равно­ мерного дублирования уже неоднократно обсуждался. При дубли­ ровании в одной строке матрицы (в нашей таблице эта строка имеет индекс 1, хотя ясно, что выбор строк произволен) симметрия нарушается, это находит отражение в формулах. Если дела экс­ периментатора так плохи, что из-за экономии времени приходится ставить параллельные опыты только в одной точке, то часто лучше всего выбирать центр плана, ибо при этом не нарушается орто­ гональность.

183

Последний из приведенных в таблице вариантов — дублиро­ вание в отдельной серии из L опытов, не входящих в план. Это означает, что параллельные опыты не ставятся, а информация об ошибке опыта черпается из какого-то независимого источника, например, из публикаций предшественников.

Перейдем теперь к рассмотрению требований, которые обычно предъявляются к планам и называются критериями оптималь­ ности.

10.6. Критерии оптимальности планов

Построение плана эксперимента можно интерпретировать кдк выбор строк матрицы X, их числа и последовательности прове­ дения. Этот выбор осуществляется разными способами и соответ­ ственно приводит к разным результатам. Это значит, что &-коэф- фициенты могут быть оценены с разной точностью, что они будут иметь разные ковариации, что предсказанное значение отклика получится с разными дисперсиями и т. д. В зависимости от того, какие требования экспериментатор предъявляет к модели, он может придти к той или иной формулировке требований к матрице X. Формализация этих требований связана с критериями опти­ мальности. Критерии оптимальности удобно формулировать в тер­ минах свойств матрицы М =Х ГХ или матрицы М-1. Именно эти матрицы непосредственно связаны с оценками модели и функционально'зависят от матрицы X. Так, например, при диагональной матрице М план оказывается ортогональным, т. е. все столбцы матрицы X взаимноортогональны и коэффициенты 'модели не­ зависимы: cov [Ь{, b j) = 0.

Таким образом, мы пришли к критерию, который уже был рассмотрен в шестой главе и который является одним из самых существенных для планов, обсуждаемых в нашей книге. Он от­ носится к группе критериев, связанных с оценками свойств коэф­ фициентов. Кроме этой группы критериев будем различать кри­ терии, определяющие предсказательные свойства модели, и кри­ терии, сформулированные без использования матрицы М, такие, как композиционность, возможность разбиения плана на орто­ гональные блоки, насыщенность и т. д. [11,12].

Начнем рассмотрение с критериев первой группы. В их ос­ нове лежит концепция совместных эффективных оценок, которая берет свое начало с работ Р. Фишера, рассматривавшего проблему получения наилучших оценок при обработке экспериментальных данных.

Американский математик Дж. Кифер распространил такое требование на задачи построения планов. Различные критерии этой группы приведены в табл. 10.7. В таблице каждый критерий

184

Таблица 10.7 Критерии оптимальности планов для оценок коэффициентов модели

с названием которого часто связывается вся концепция оптималь­ ного построения планов. Смысл его — минимизация дисперсии всех коэффициентов регрессии, рассматриваемых как нечто еди­ ное, как вектор. Дисперсию вектора коэффициентов принято называть обобщенной дисперсией, которая задается известной нам функцией от матрицы дисперсий-ковариаций — определителем. Чем меньше определитель, тем меньше обобщенная дисперсия. Как всегда в математике наряду с алгебраическим представлением можно использовать и геометрическое. Однако в этом случае вместо уже знакомого нам факторного пространства приходится вводить пространство параметров, в котором координатные оси задаются значениями коэффициентов регрессии.

Между размерностями факторного пространства и пространства параметров не существует однозначной связи. В случае одного фактора и линейного уравнения регрессии пространство пара­ метров будет двумерным (так как в уравнение входит два коэф­ фициента Ъ0 и Ъх). Но можно представить себе вариант перехода в одномерное пространство, если, например, незначим один из коэффициентов, или в трехмерное пространство, когда от уравне­ ния прямой приходится переходить к параболе. Аналогичное рас­ суждение имеет место и для большего числа факторов.

Если число факторов и вид уравнения заданы, тогда размер­ ность пространства параметров определяется однозначно. Так, для линейного уравнения с к факторами пространство параметров имеет размерность к-f-1. Каждой точке в таком пространстве соот­ ветствует вектор оценок коэффициентов, а определитель матрицы дисперсий-ковариаций пропорционален объему эллипсоида рас­ сеяния оценок параметров. Причем центр эллипсоида совмещен с МНК оценкой. Эллипсоид является многомерным аналогом обычного доверительного интервала. Для одномерного простран­ ства параметров он вырождается в отрезок, который и есть доверительный интервал. На плоскости (когда имеется два пара­ метра) получится эллипс. Эллиптическая форма доверитель­ ного интервала связана с предпосылкой регрессионного анализа о нормальном распределении.

Геометрическая интерпретация в пространстве параметров характерна для критериев этой группы.

Для критерия А-оптимальности матрица X выбирается так, чтобы достигнуть минимума суммы квадратов длин главных осей эллипсоида рассеяния. Алгебраически это соответствует мини­ муму еще одной функции матрицы дисперсии-ковариации, кото­

сумма ее диагональных элементов. Вспомним, что на диагонали матрицы М-1 находятся дисперсии Ь-коэффициентов. Значит А-оптимальность обеспечивает минимум суммы дисперсий Ь-ко- эффициентов без учета их ковариаций и, следовательно, мини­ мум средней дисперсии.

186

Кроме таких функций от матрицы М-1 как определитель и след для критериев оптимальности можно использовать и другие ее функции. Примером может служить критерий Е'-оптимальности, минимизирующий максимальное собственное значение этой мат­ рицы. Собственное значение принадлежит к характеристикам структуры матрицы. Этому вопросу посвящена обширная лите­ ратура, к которой мы и отсылаем читателя.[13, 14]. Всегда сущест­ вует опасность, что эллипсоид рассеяния может получить слишком вытянутую, бананоподобную форму. При этом некоторые Ь-коэф- фициенты попадут в неблагоприятные условия. Критерий ^-оптимальность позволяет уменьшить эту опасность, поскольку он минимизирует самую длинную ось эллипсоида рассеяния.

Подобным образом можно интерпретировать и остальные кри­ терии, приведенные в табл. 10.7, что предоставляется читателю в качестве самостоятельного упражнения.

Перейдем к рассмотрению критериев второй группы. Описа­ ние этих критериев проводится не на языке пространства пара­ метров, а в более привычных термицах факторного пространства и функции отклика (см. табл. 10.8). G- и ^-критерии связаны

Таблица 10.8 Критерии оптимальности планов для предсказательных свойств модели

с дисперсией предсказания значений отклика. G-критерий миними­ зирует максимальную дисперсию предсказания, (^-критерий— сред­ нюю дисперсию. Если план G-оптимален, то экспериментатор имеет гарантию, что в области планирования не окажется точек, в которых точность оценки поверхности отклика будет слишком низкая.

187

Критерии ротатабельности и униформности связаны с требо­ ванием постоянства дисперсии предсказания на некоторых фик­ сированных расстояниях от центра эксперимента. Ротатабельность плана означает, что оценки дисперсии предсказания ин­ вариантны (независимы) относительно вращения координатных осей факторного пространства. Иными словами, дисперсия пред­ сказания не будет зависеть от того, в каком направлении осу­ ществляется движение из начала координат, а зависит только от расстояния между интересующей нас точкой и началом. Униформность в дополнение к этому требует, чтобы в некоторой ок­ рестности начала координат, обычно внутри сферы единичного радиуса, дисперсия предсказания оставалась приблизительно постоянной.

Кроме этих двух групп критериев, при упоминании которых мы не претендовали на полноту перечисления, существует еще большое число требований, принимаемых во внимание. Укажем некоторые из них.

Наиболее естественное желание экспериментатора — умень­ шение числа опытов. Минимальное число опытов задается числом коэффициентов модели, а приближение к нему служит мерой насыщенности плана. Таким образом, насыщенность плана ока­ зывается одним из возможных критериев оптимальности. Именно стремление удовлетворить этому критерию привело к созданию дробных реплик. Заметим, что дробные реплики одновременно удовлетворяют по крайней мере двум критериям: они ортого­ нальны и насыщены.

Большое значение имеет требование композиционности, по­ зволяющее разделить эксперимент на части и в случае необхо­ димости последовательно реализовывать одну часть за другой без потери информации. Примером может служить переход от 1/4-реплики к полуреплике, а затем к полному факторному экс­ перименту, если система смешивания оказалась сложной и не позволила выделить интересующие эффекты. Это соответствуе1 последовательному переходу от простой линейной модели к мо­ дели с взаимодействиями. То же самое возможно и при переходе от линейных моделей к модели второго порядка и т. д.

Близким к требованию композиционности является требова­ ние разбиения плана на ортогональные блоки. Композиционность требуется из-за того, что мы не знаем заранее, какой окажется адекватная модель, а разбивать на блоки приходится из-за того, что возможно изменение внешних условий и важно защититься от их влияния. С примерами разбиения на блоки вы могли озна­ комиться в гл. 8.

Список возможных критериев отнюдь не исчерпывается опи­ санным [11]. Но даже если ограничиться перечисленным, то ес­ тественно может возникнуть вопрос, зачем нужны простому экс­ периментатору D -, G- и прочие оптимальности?

188