РАЗРУШЕНИЕ

можем сосредоточить внимание на катастрофическом разру­ шении, происходящем в массивной конструкции, на образце, подвергающемся испытанию на трещиностойкость, на малой области вблизи вершины большей трещины, в которой про­ исходит докритический устойчивый рост или медленное рас­ пространение трещины при усталости или ползучести, или на скольжении в микромасштабе при образовании зародыша трещины. Однако независимо от масштаба процесс распро­ странения управляется теми же двумя принципами.

Инженер должен проектировать и создавать конструкции и поддерживать их в сохранности при эксплуатации. Отсюда возникает постоянная потребность в практических испыта­ ниях материалов для определения их свойств. По мере улуч­ шения понимания этих свойств такие испытания приобре­ тают большую индивидуальность и достоверность, но их усовершенствование должно идти рука об руку с более фун­ даментальными исследованиями. История различных разру­ шений и механики разрушения дает еще один пример того, как взаимодействуют теория и практика к их взаимной выго­ де. В настоящее время, когда наука несколько не в моде, сле­ дует помнить, что мы не можем идти против природы, и наш прогресс будет более быстрым, если мы немного научимся понимать ее пути.2

2.КРИТЕРИИ РАЗРУШЕНИЯ

Влинейно-упругом материале сингулярное поле напря­ жения pij вблизи вершины острой трещины характеризуется

коэффициентами интенсивности напряжения К\, /<2, Кз и имеет вид

Здесь fsij зависит от угла к плоскости трещины 0. Если поле напряжений в этой области управляет продвижением тре­ щины, то мы можем определить с помощью испытания, на­ пример, по схеме I (в условиях нормального отрыва) крити­ ческую величину Kicy при которой трещина будет развивать­ ся катастрофическим образом. Тогда, если окружающая сре­ да и другие условия эксплуатации аналогичны условиям при испытании, то конструкция с трещинами застрахована от ка­ тастрофического разрушения до тех пор, пока К\ не достиг­ нет для какой-либо трещины значения К\с. На этом бази­ руется линейная упругая механика разрушения. При испы­ тании тщательно контролируются отклонения от линейной упругости в вершине трещины.

Для распространения этого подхода на случай с мелко­ масштабным течением можно ввести поправки, несколько увеличивающие длину слабо срелаксировавшей трещины. Однако трудности начинают увеличиваться, когда мы осоз­ наем, что разрушения на практике сопровождаются обычно значительными отклонениями от линейности, и когда мы пытаемся провести мелкомасштабные испытания на вязких материалах. Проблемы усложняются из-за того, что разрушения конструкций происходят в условиях сложного напряженного состояния, и из-за необходимости правильного учета химических реакций, температуры и меняющегося на­ пряжения.

Для острой трещины в идеально-хрупком материале кри­ терий критического значения К охватывает оба основных условия разрушения. Условие развития физического процес­ са автоматически удовлетворяется в континуальной модели из-за «бесконечности» напряжения, а в более реалистической модели [1] благодаря тому, что при разрушении в вершине трещины всегда существует рвущаяся связь. Хотя ситуация в вершине макроскопической трещины гораздо сложнее, мы должны напомнить, что процессы расщепления такого рода имеют место в этой области в некотором микромасштабе. По­ этому очень важно их модельное описание и особенно иссле­ дование зависимости скоростей их развития от температуры и химического воздействия окружающей среды. В зависимо­ сти от того, происходит такое микроразрушение или нет, мо­ жет значительно измениться характер макроскопического разрушения в целом.

Далее мы сформулируем энергетическое условие с по­ мощью понятия скорости освобождения энергии, или силы продвижения трещины G, введенного Ирвином в 1948 г. [2],

зом характеризует эффективную поверхностную энергию разрушения. В 1960 г. удалось выразить [8] G через некото­ рый интеграл, не зависящий от пути интегрирования, а в 1968 г. многие исследователи [1,9—11] получили независимо сходные выражения для G, одно из которых теперь' хорошо известно как /-интеграл. В это же время было также рас­ смотрено обобщение на динамический случай [12] и было

показано [1, 12], что выражение для силы продвижения тре­ щины естественно следует из общей теории сил, действую­ щих на упругие сингулярности, развитой в 1951 г. с помощью понятия тензора энергии-импульса [13].

Многие недавние расчеты и эксперименты были посвя­ щены изучению /-интеграла и величин, связанных с ним, как кандидатов на роль критериев разрушения в механике раз­ рушения в условиях текучести. За этой работой не всегда легко уследить из-за различий в терминологии и интерпре­ тации у разных авторов. Более того, путаница увеличивается из-за использования одинаковых обозначений для самих ин­ тегралов (которые определены как математические выраже­ ния и которые можно вычислить, если требуется, забывая об интерпретации) и других величин. Эти величины находят по экспериментальным кривым нагрузка — смещение для об­ разцов, содержащих трещины различных длин, а иногда с помощью приближенных теорий на основе других экспери­ ментальных методов. Они, как и сами интегралы, рассчиты­ ваются также теоретически численной обработкой результа­ тов модельных экспериментов с помощью больших вычисли­ тельных машин. Если бы образцы были нелинейно-упругими, то эти величины (а также интегралы) представляли бы собой силы продвижения трещины, но в обычных практических и модельных ситуациях это не так (не так и для интегралов). Могло бы быть полезным [14] использовать вместо / другие обозначения для этих псевдосил продвижения трещины, со­ храняя обозначение / для интеграла, определенного Райсом [9]. Мы попытаемся теперь обсудить некоторые из проблем, возникающих .в связи с этим.

3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Для линейноили нелинейно-упругого тела величина

такова, что —Fi8h представляет собой изменение свободной энергии при смещении всех сингулярностей, находящихся внутри замкнутой поверхности S, расположенной в объеме тела, на величину б£/ [13] (здесь обсуждается только ста­

тический случай, динамический см. в [12, 15, 16]). Здесь тен­ зор

есть тензор энергии-импульса упругого поля, для которого на­ пряжения pij даются производными dW/duitj} a W (ui} uit h Xi)

— плотность энергии деформации, предполагаемая в общем случае зависящей не только от полевых характеристик, но и явным образом от начальных координат Xt. Мы исполь­ зуем обозначения, при которых соотношение (2) справедливо

Если необходимо, то рассмотрение без труда можно распро­ странить на материал класса п [19,20]. Как можно пока­ зать, из уравнений поля следует

дРц Г dWЛ

<4>

где ехр означает точную (explicit) производную при постоян­ ных щу Ui, / и Xj (]Ф 1). Полагая / = 1, dSj = tijds при / = = 1, 2 и рассматривая трещину либо как распределение дис­ локаций [1], либо как самостоятельную сингулярность [15], получим следующую формулу для силы продвижения тре­ щины:

Дивергенция от подынтегрального выражения в скобках ис­ чезает, если {dW/dXi)exp = 0, т. е. если материал однороден в направлении распространения трещины Х\. Однако он мо­ жет быть неоднородным в направлении Х2\ например, тре­ щина может лежать на границе между двумя различными средами. Интеграл J [9] имеет такой же вид, как в (5) с заменой W на W' (плотность работы напряжений):

Здесь t — параметр, связанный с развитием деформации. Вы­ вод формулы для F\ и доказательство независимости интег­ рала от пути интегрирования основаны на предположении о существовании функции W Таким образом, / и F\ иден­ тичны и не зависят от Г в рамках линейной и нелинейной упругости. Пластическая деформация при условии, что от­ сутствует разгрузка, может рассматриваться как некоторого рода нелинейная упругость. Поэтому, если те же самые де­ формации и смешения использовать в интегралах J и то

они снова будут идентичными и не зависящими от пути ин­ тегрирования. В области пластического течения, описывае­ мого теорией течения, /-интеграл можно оценить по полному

разом определенный /-интеграл не зависит от пути интегри­ рования, хотя, как обсуждалось на III Международном конгрессе по разрушению [22], это может быть приблизи­ тельно так [23]. Очевидно, что аргументы, приводящие к не­ зависимости от пути интегрирования интеграла Fb основаны на существовании функции W Далее, если при фактическом

трещина является примером такого рода [25]. Этот вопрос обсуждался недавно в терминах модели ДБКС [26,27]. Подчеркивается, что в общем /-интеграл не зависит от пути интегрирования в любой ситуации, когда W' не зависит от пути изменения деформации и напряжения, по которому до­ стигается рассматриваемое состояние [27]. Должно быть ясно, что с помощью различных комбинаций упругих, пла­ стических или полных деформаций и смещений в двух чле­ нах в подынтегральных выражениях можно получить зна­ чительное число интегралов, похожих на / и F\. Было бы полезно оценивать их численно, если бы оцениваемые вели­ чины были очень ясно определены. Исследования зависимо­ сти от пути интегрирования величины / в теории течений продолжаются [14,28,29].

Если в вершине трещины происходит пластическое тече­ ние, то интеграл Ft дает равнодействующую сил, приложен­ ных к вершине трещины и ко всем дислокациям, находящим­ ся внутри 5 [13,26], но он определен лишь на путях, лежа­ щих в упругой области. Однако можно ввести интеграл Q/ [22,30], который сводится к F/ в упругой области и который можно брать по непрерывному распределению дислокаций,

введен на III Международном конгрессе по разрушению и имеет следующий вид [22]:

S

Здесь W — плотность упругой энергии, a pf£— тензор ди-

сторсии (тензор упругих искажений), характеризующий про­ странственные приращения упругого смещения duf = dxfifi

при наличии непрерывного распределения дислокаций (уп­ ругое смещение uf при этом не существует [31—33]). Вели­

чина Qi стремится к нулю при сжатии области вокруг вер­ шины трещины [22] в случае мелкомасштабного течения около краевой щели в условиях антиплоской деформации [34]. Как обсуждалось на III Международном конгрессе по разрушению [22], не следует удивляться тому, что при реа­ листическом моделировании пластичности в вершине тре­ щины трещина и ее пластическая зона могут оказаться в без­ различном равновесии в том смысле, что любая энергия, высвобождаемая при продвижении трещины, равна энергии, поглощаемой при пластической работе. Можно показать, что это будет так для квазистатической модели ДБКС [1,35,36], динамической модели ДБКС [15,37] и в более общем слу­ чае [38] для упругопластических материалов с напряжением

в [39]).

Этот круг вопросов заостряет внимание на проблемах, связанных с использованием величин типа F\ и / для харак­ теристики распространения трещин [22]. Интерпретация F\ заключается в том, что Fi6| есть энергия, высвобождаемая при смещении вершины трещины и всех дислокаций, ответ­ ственных за пластичность, в направлении X], на расстояние б|. Это смещение не является (обязательно) равновесным смещением трещин и дислокаций, однако значение этого вы­ свобождения энергии, а также насколько оно компенсирует­ ся пластической работой при фактическом движении тре­

щины, является неясным.

Внимание снова было сконцентрировано на этом вопросе в недавней вычислительной работе [40,41], подтверждаю­ щей вывод о том [25,38], что нет определенной скорости высвобождения энергии для растущей трещины в упругопла­ стическом материале. Если под —AW' понимается работа разгрузки первоначально напряженных сегментов поверхности трещины, то предполагается, что следует рассматривать скорость высвобождения энергии в вершине трещины С/4

высвобождаемая в вершине трещины. В случае линейной и

фективная поверхностная энергия разрушения. Тот резуль­ тат, что G = 0, когда пластическое течение действительно» возможно, показывает, что рассмотренные модели упруго­ пластического континуума являются слишком упрощенными*.

Необходимо использовать более реалистическое представ­ ление о процессе разрушения, принимающее во внимание за­ висимость микрорастрескивания от скорости и эффекты ме­ ханической неустойчивости в зоне разрушения. В простейшем) варианте мы просто прибавляем некоторую пластическую* работу к энергии разрушения, признавая ее неотъемле­ мой характеристикой процесса разрушения. В этом заклю­ чается расширение теории Гриффитса, предложенное перво­ начально Ирвином [2] и Орованом [44]. Как обсуждается: ниже, для полуколичественного развития этой идеи можно» использовать модель ДБКС. В работе [22] отмечалось, что» обобщению такой модели, принимающему во внимание ско­ ростные эффекты [11,45—47], свойственны некоторые каче­ ственные черты, необходимые для описания медленного ус­ тойчивого роста и перехода к быстрому разрушению.

С помощью любого численного решения задачи об упру­ гопластической трещине мы можем найти не только интег­ ралы F\ и / и приращение Д£рот + Д£еь + Aw (вероятно, стремящееся к нулю при Д а-> 0 ), но и подходящим интегри­

в соответствующем экспериментальном методе, когда нагру­ жают образцы с трещинами увеличивающейся длины [48— 50], мы имеем дело с неполными дифференциалами. Состоя­ ния, достигаемые после нагружения образца с трещиной дли­

длинах трещин а и а + Да равна —/Да, а также вообще нет простой связи с распространением трещины [24]. Таким об­ разом, предметом экспериментального исследования яв­ ляется вопрос о том, будут ли эти или родственные методы [52—54] удовлетворительно характеризовать начало разру­ шения.

4. КРИТЕРИЙ КРИТИЧЕСКОГО СМЕЩЕНИЯ

Важное применение критерия критического смещения в теории разрушения началось с теории разрушения БКС [55, 56], использующей сильно упрощенную модель пластичности в вершине трещины, представленной в виде линейного ряда дислокаций. Аналогичную модель для описания пластично­ сти и устранения сингулярности в вершине упругой трещины использовал Дагдейл [57]. Близкая к этой (хотя не совсем эквивалентная) процедура исключения сингулярности в вер­ шине трещины занимает центральное место в работе Баренблатта [58]. Такой же прием использовали Витвицкий и Лео­ нов (см. [59]). Аналогичная идея использовалась Прандтлем [60].

Модель ДБКС развивалась в различных направлениях и очень широко применялась при обсуждении многих вопросов теории разрушения [61—89]. Некоторые из этих направле­ ний нашли отражение в недавних обзорах [1,22,51]. В на­ стоящее время уделяется все большее внимание модели БС

к трещине [42, 88—91].

Модель ДБКС была также использована при обсуждении концепции COD (критического раскрытия трещины) в ме­ ханике разрушения в условиях текучести [92—95]. Произо­ шло значительное усовершенствование этого критерия с технической стороны, но, подобно другим конкурирующим критериям, его положение единственного характерного пара­ метра все еще остается предметом дальнейших разъяснений

и дискуссий.

Тем не менее использование критерия теории БКС было очень полезным для установления двупараметрического опи­ сания расхода энергии в процессе разрушения ^и интерполя­ ции между теорией Гриффитса (или линейной упругой

механикой разрушения) и теорией разрушения после значи­ тельного течения или пластического коллапса. Если срс — критическое смещение в вершине трещины и G\ — напряже­ ние в зоне релаксации, то напряжение разрушения 07оказы­ вается связанным с длиной трещины с соотношением [65, 66]

риал становится чувствительным к надрезу [65]. Соотноше­

оказывается удачным для описания напряжений, при кото­ рых разрушения в больших конструкциях происходят до об­ щего течения, и может использоваться для оценки размеров опасных надрезов в них [64—66, 70, 83—85].

Кроме того, если о\ отождествить с предельной проч­ ностью при растяжении или напряжением коллапса и вы­ брать подходящий коэффициент интенсивности напряжений для рассматриваемой геометрии, то (8) оказывается в выс­ шей степени эффективным при установлении корреляции раз­ рушений в условиях текучести с размером дефекта для ши­ рокого класса материалов [68, 69, 96] и может быть использо­ вано для оценки величины К\с на основе испытаний, «непри­ годных» по критерию ASTM. Оно также предлагалось для интерполяции в условиях между разрушением через пласти­ ческий коллапс и линейной механикой разрушения для воз­ можного применения при оценке критических размеров де­ фекта в больших конструкциях [97]. Инженер не имеет пра­ ва ошибаться, и, если необходимо, он будет испытывать свои конструкции на прочность. Он склоняется часто к простей­ шему подходу, основанному на крупномасштабных испыта­ ниях [98]. Хотя большие упрощения теории БКС очевидны, она не является целиком эмпирической и, таким образом, может быть полезной при установлении необходимых корре­ ляций.

Согласно теории, энергия разрушения 2у' равна aiqpc. Различают два типа разрушения [22,61]. При a 1~ 07имеет место устойчивый, некумулятивный, или нелокализованный,

тип разрушения, и материал при этом не является чувстви­ тельным к надрезу. Нелинейность создается дислокациями, движущимися в образце гораздо быстрее трещины. Второй тип — кумулятивный, или локализованный, является не­ устойчивым, и материал оказывается чувствительным к над-

резу при с с* Подобная локализованная совокупность дислокаций, характеризующая нелинейность, движется вме­ сте с растущей трещиной без расширения области нелиней­ ного поведения во всем живом сечении образца впереди нее.

разрывный пластический скол, испытание типа I с образова­ нием шейки в условиях плоского напряженного состояния и испытание типа III с пластическим разрывом и, наконец, ис­ пытание с косым срезом под углом 45° в стальных пласти­ нах— все они являются кумулятивными. За исключением первого, все связаны с механической неустойчивостью, по­ скольку способность к упрочнению оказалась исчерпанной, нелинейное течение концентрируется в малых областях и возникают большие деформации. Эти большие деформации возможны всякий раз, когда допустимы большие геометриче­ ские изменения свободных поверхностей в микромасштабе в вершинах притупленных трещин или во внутренних шей­ ках между трещинами и пустотами и в макромасштабе, когда образец относительно тонок в одном направлении.

б. ДРУГИЕ КРИТЕРИИ

Было внесено много других предложений о характери­ стике разрушения в условиях текучести, некоторые из них обсуждаются на этой конференции [52—54, 99—103]. Их пригодность и польза все еще являются предметом активных текущих исследований. Однако концепция ^-кривой [100, 104— 106], по-видимому, заслуживает отдельного упомина­ ния. Она затрагивает основные условия разрушения, упомя­ нутые в начале этой статьи и обсуждаемые также на одном из пленарных заседаний на этом совещании [107]. Трещина не будет развиваться до тех пор, пока полная свободная энергия системы в целом не начнет уменьшаться при ее про­

движении.

Понятие /?-кривой точно отражает идею о том, что реали­ зуются физические процессы (в микромасштабе комбинация растрескивания и скольжения) при продвижении трещины, самоуравновешенные во времени. Сопротивление распро­ странению трещины R нарастает как раз по мере того, как материал упрочняется. Многие исследователи рассматривали это явление [10]. Здесь мы желаем лишь заострить внима-

ние на том, что оно снова вынуждает нас к размышлению о деталях процессов скольжения, притупления и микрорас­ трескивания, которые в общем происходят во всех рассмат­ риваемых нами материалах [107—115]. Вполне возможно, что мы и не достигнем полного понимания этих процессов без рассмотрения их чувствительности к скорости деформа­ ции и окружающей среде.

6. ДРУГИЕ ИНТЕГРАЛЫ, НЕ ЗАВИСЯЩ И Е ОТ ПУТИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Как уже отмечалось, в теории разрушения имеются и другие полезные интегралы, кроме / и F\, не зависящие от пути интегрирования. Прежде чем обсуждать их, дадим не­ сколько комментариев относительно модного сейчас доволь­ но расточительного введения все «новых» интегралов. Здесь не место для подробной критики отдельных предложений, но мы полагаем, что те, кто намерен дать ход кораблю этого рода, должны прежде всего внимательно изучить основы теории, помня о следующих обстоятельствах.

Во-первых, сложное интегральное выражение может ока­ заться не зависящим от пути интегрирования в силу тож­ дественного обращения в нуль в любом рассматриваемом примере. Во-вторых, мы должны различать два типа неза­ висимости от пути интегрирования. Если равна нулю дву­ мерная дивергенция от подынтегрального выражения, то ин­ теграл будет иметь одинаковую величину для двух путей, каждый из которых начинается в некоторой точке А на нижней поверхности трещины и кончается в точке В на верх­ ней поверхности трещины. Однако величина его может быть иной для пути, начинающегося в другой точке Ах на нижней

от путей А\А и ВВХне окажется равной нулю. Если эта сум­ ма равна нулю для всех А\ и В ь то интеграл имеет одинако­ вую величину для всех путей, начинающихся в любой точке на нижней поверхности и оканчивающихся в любой точке на верхней; мы можем смещать точки А и В вдоль поверхностей трещины любым образом без изменения его величины. Та­ кой тип независимости от пути интегрирования является реально интересным, поскольку можно свести вычисление ве­ личин по путям, близким к вершине трещины, к их вычисле­ нию по путям, расположенным далеко, где эти полевые вели­ чины легче найти. Конечно, мы всегда можем сделать неко­ торое выражение «не зависящим от пути интегрирования», вычитая из него вклады по путям ВВХи АХА. Но тогда, если

мы желаем использовать это выражение, нам все еще необ­ ходимо оценить эти вклады, а это требует знания поля вбли­ зи вершины трещины. Мы не достигли реального прогресса.

Общая теория интегралов, не зависящих от пути интегри­ рования, берет начало от работы Нётер [116]. Они появ­ ляются для любого поля, когда плотность функции Лагран­ жа, из которой выводятся полевые уравнения, оказывается инвариантной относительно непрерывной группы преобразо­ вания. Общие следствия для упругих сингулярностей и тре­ щин обсуждались в нескольких статьях Эшелби [13, 15, 19, 20]. Первым применил теорему Нётер к статической теории упругости Гюнтер [117]. В добавление к интегралу Г/ он нашел интегралы

введенные также Будянским и Райсом [118]. Интегралы Г/, Lki и М не зависят от пути интегрирования, поскольку кар­ тина полного упругого поля остается неизменной соответ­ ственно после переноса, вращения и растяжения. Следова­ тельно [19,20], независимость для интеграла Ft остается справедливой при конечных деформациях и для нелинейного материала при единственном условии, что он однороден, в то время как для Lki материал должен быть, кроме того, изотропным. Для М мы должны иметь линейность по гра­ диентам смещений, но можем иметь анизотропию. Сущест­ вует несколько частных случаев, в которых эти требования могут быть ослаблены [19]. Имеются аргументы [119] в пользу того, что Fi, Lki и М суть единственные интегралы нётеровского типа, не зависящие от пути интегрирования, и что единственное отличие плоского случая в том, что (10) сводится к величине

которая получается по теореме Гаусса [19]. Однако в слу­ чае двух измерений было найдено [19] несколько бесконеч­ ных классов интегралов, не зависящих от пути интегриро­

вания.

Интересно вычислить силу Гг, задаваемую формулой (2). Мы вольны думать об Гг как о силе, нормальной к вершине Трещины, но эта интерпретация требует некоторой осторож­

ности. Если мы вычисляем Р2, используя для напряжения

имеет отличную величину для большой окружности, охваты­ вающей вершину трещины, т. е. интеграл не зависит от пути интегрирования и реально полезен, поскольку вне области сингулярного поля имеются неисчезающие вклады вдоль по­ верхностей трещины. Мы не можем получить полезный не зависящий от пути интегрирования интеграл, вычитая просто эти вклады от поверхностей трещины [121], поскольку мы еще должны знать поле вдоль трещины, если мы желаем ис­ пользовать такой интеграл. В действительности легко по­ казать [24], что F2 есть предел величины (я/2)р\\и2 при при­ ближении к вершине вдоль верхней или нижней поверхности трещины.

Говоря несколько свободно, мы ожидаем, что F2 должно характеризовать боковое воздействие на трещину, и в связи с этим возникает интересный вопрос о том, что определяет путь трещины. Эта задача возникает также при рассмотре­ нии разрушения в условиях сложного напряженного состоя­ ния и при ветвлении трещины. Это коварная задача, посколь­ ку трещина постоянно изменяет поле при своем продвижении. Возможным критерием является то, что трещина движется так, что сохраняется равенство F2 = 0 [24]. Это было использовано Кальтхофом [122] в форме условия /С2 = 0 при обсуждении угла ветвления трещины. Эквивалентное предположение имеется в работе [123]. Значительный инте­ рес в течение некоторого времени вызвали как задача об «искривлении трещины», так и более общая задача о начале роста трещины в условиях сложного напряженного состоя­ ния. Было предложено большое количество теорий [124— 129]; подборку ссылок на более ранние работы см. в [51].

На недавней конференции [51] дано обсуждение этих вопросов, основанное на анализе решения задачи [130] о трещине с малым изгибом в ее вершине, составляющим угол а с основной трещиной в условиях произвольного нагруже­ ния. Ряд исследователей опубликовал такого рода анализ [130—135]. Однако для обсуждения начала отклонения или начала роста изгиба трещины в условиях сложного напря­ женного состояния наиболее подходящим являются резуль­ таты, касающиеся предельного случая, когда изгиб исче­ зающе мал по сравнению с главной трещиной. На основе результатов такого типа было исследовано несколько крите­

Интеграл Lki приводит к возможности альтернативной ин­ терпретации силы F2 в случае трещины с изогнутым концом. Если fi и /2— силы, характеризующие распространение тре­ щины и определяемые по формуле (2), когда поверхность интегрирования охватывает вершину трещины с изгибом, то можно показать [20], что

Иными словами, если вершина основной трещины отклоняет­ ся на малый угол da, то изменение силы распространения трещины f1равно f2da. Недавно ряд исследователей рассмат­

для оценки начала ветвления наиболее интересен случай ис­ чезающе малых ответвлений [135]. При использовании кри­ терия /С2 = 0 предсказанный угол ветвления не очень сильно отличался от того, который наблюдал и оценивал Кальтхоф [122].

В работе [19] приведено выражение для Рц для мате­ риала класса 2; по-видимому, существует некоторая неопре­ деленность в его применении к задачам о трещинах [20, 136]. Имеются также другие примеры применения интегралов, не зависящих от пути интегрирования, к задачам о разрушении. Среди них анализ опытов Обреимова со слюдой, «испытания на раздир» каучуков с использованием соотношения (2) при конечных деформациях, двумерного аналога задачи о «кони­ ческой трещине», задачи о краевой трещине, расклинивае­ мой сосредоточенными силами, для описания которой ис­ пользуют интеграл (11). В статическом случае соотношение (59) из работы [15] представляет собой интеграл, не зави­ сящий от пути интегрирования при некоторых видах объ­

емных сил.

Прежде чем закончить обсуждение вопроса об интегра­ лах, не зависящих от пути интегрирования, мы хотим повто­ рить краткое замечание из работы [137] о применении вели­ чин / или С* для описания роста трещины при ползучести (библиографию можно найти в работе [138]). Если мате­ риал описывается как линейный, вязкий и несжимаемый и те­ чение медленное, то можно использовать обычную аналогию с теорией линейной упругости, заменив смещение на ско­ рость, модуль сдвига на вязкость и полагая коэффициент Пуассона равным 1/2. Тогда интеграл вида Fi есть интеграл, не зависящий от пути интегрирования. Однако такое пред­ ставление совпадает с приведенным в работе [20]. В теле одновременно существуют трещина длиной а под нагрузкой

и состояние установившегося вязкого течения. Вся работа, производимая внешними силами, диссипируется вязкостью, и имеется некоторая скорость диссипации. Пусть длина тре­ щины увеличивается на Да. Тогда, в силу упруговязкой ана­ логии, величина 2F\Aa равна приросту скорости диссипации при фиксированных граничных 'нагрузках и уменьшению ее, если граничные скорости поддерживаются постоянными [24].

Вдругом смысле интеграл этого типа, вероятно, можно использовать [20] для отбора из класса медленных вязких течений, зависящих от параметров, фактически наблюдае­ мого течения на основании требования стационарности дис­ сипации (хотя такой принцип не легко оправдать). Однако не ясно, насколько подходящим является этот интеграл для описания роста трещины при ползучести. Разумеется, как это часто бывает на самом деле, он не дает величину интег­ рала, который обычно сопоставляется с экспериментами, но представляет собой некоторую характеристику, которая должна быть величиной G, отражающей податливость об­ разца, если мы имеем дело с упругостью. Более того, вяз­ кость является нелинейной. Если тем не менее рост трещины при ползучести может быть удовлетворительно охарактери­ зован таким образом, представляется очевидной необходи­ мость некоторого изменения интерпретации.

Вдействительности необходимо ожидать, что трещина в линейно-вязком материале должна вытягиваться в направ­ лении действия напряжения [139]. Отверстие представляет собой некоторый частный случай неоднородности, и недавно достигнут некоторый прогресс в теории деформаций вязких неоднородностей эллипсоидальной формы [140, 141], что представляет интерес в производстве стекла, геологии и для интерпретации явлений в неоднородных жидкостях. Рост пу­ стот при вершинах трещин является, конечно, одним из явле­ ний, которые мы должны понять, если стремимся улучшить модели процессов, происходящих там [142—146].

7. ДВИЖУЩ ИЕСЯ ТРЕЩИНЫ

Мы лишь кратко упомянем о движущихся трещинах; с более подробными расчетами можно познакомиться в рабо­ тах [11,12,15,16,51, 147— 151]. В случае произвольного ди­ намического упругого поля отсутствует не зависящий от пути интеграл для силы, действующей на движущуюся трещину. Лучшее, что мы можем сделать [12], это записать упругое поле в виде

и попытаться принять, что вблизи вершины и\ Здесь вершина трещины движется с мгновенной скоростью v в на­ правлении Х\. Тогда можно написать

если под Т понимать плотность кинетической энергии. Сле­ дует отметить, что #// не есть динамический четырехмерный тензор энергии-импульса Р//. Интеграл Р/у- в динамическом случае дает силу, действующую на вершину трещины, вместе со скоростью изменения «квазиимпульса» внутри S [15].

Интеграл (14) в общем не зависит от пути интегрирова­ ния лишь в пределе S -> 0. Если динамическое упругое поле есть поле специального вида, которое стационарно движется вместе с вершиной трещины, то G не зависит от 5, но можно использовать частные простые поля, чтобы показать, что эта независимость не может быть правильной в отношении произвольного конечного S для динамического поля общего типа [12]. Можно показать [12], что G исчезает в случае од­ нородно расширяющихся трещин в условиях плоской дефор­ мации со скоростью, равной скорости рэлеевской волны [152, 153], и со скоростью волн сдвига для подобной трещины в условиях антиплоской деформации [154].

Уравнение движения можно найти, допуская, что верши­ на трещины движется произвольно и к моменту времени t находится, скажем, в точке x = l(t)> и затем рассчитывая поле, как это было впервые сделано Костровым [155] и

Вершина трещины ведет себя так, как если бы она не обла­

Мы находим, что зависимости от скорости величин G и К различны и что G содержит коэффициент, который растет при падении скорости. Мы можем, следовательно, понять, каким образом поддерживается сохранение энергии при ветвлении трещины. Например, нижний предел скорости вет­ вления трещины можно найти из требования, чтобы TpeJ щина мгновенно останавливалась [15, 158]. Видя непрекра-