- •механика
- •материалов
- •СТРУКТУРНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РЕОЛОГИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ ДВУХКОМПОНЕНТНОГО МАТЕРИАЛА
- •ПОДАТЛИВОСТЬ ОДНОНАПРАВЛЕННО АРМИРОВАННОГО НЕУПРУГОГО МАТЕРИАЛА*
- •ПРОЧНОСТИ
- •РАСЧЕТ ЧАСТОТ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН С ОТВЕРСТИЯМИ*
- •УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИН ИЗ КОМПОЗИТОВ ПРИ СДВИГЕ В ПЛОСКОСТИ ДЛЯ СМЕШАННЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
- •РАЗРЕШИМОСТЬ И ОЦЕНКА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ГРИГОЛЮКА—ЧУЛКОВА
- •МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
- •ОБОБЩЕННАЯ МОДЕЛЬ МЕХАНИКИ НАМОТКИ ОБОЛОЧЕК ИЗ КОМПОЗИТНЫХ ПОЛИМЕРНЫХ МАТЕРИАЛОВ
- •РАВНОВЕСИЕ НИТИ С УЧЕТОМ ТРЕНИЯ ПРИ ХОРДОВОЙ НАМОТКЕ ДИСКОВ ИЗ КОМПОЗИТОВ
- •НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ПОЛЫХ СТЕРЖНЕЙ ИЗ КОМПОЗИТОВ ПРИ КРУЧЕНИИ
- •ВАРИАБЕЛЬНОСТЬ ДИНАМИЧЕСКОЙ ПРОЧНОСТИ ПОЗВОНОЧНИКА ЧЕЛОВЕКА
- •ВЛИЯНИЕ ФИЗИЧЕСКОГО СТАРЕНИЯ НА ДЕФОРМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА ПОЛИКАРБОНАТА
- •J (**—T)miaai(mi+1>(x)c*T=l,
- •ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ СТРУКТУР
- •ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ДЛИТЕЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ПОЛИМЕРНЫХ МАТЕРИАЛОВ
- •ВЫСОКОМОЛЕКУЛЯРНЫЙ ПОЛИЭТИЛЕН
- •высокой плотности
- •ПОЛИИМИДЫ — НОВЫЙ КЛАСС ТЕРМОСТОЙКИХ ПОЛИМЕРОВ
М Е Х А Н И К А К О М П О З И Т Н Ы Х М А Т Е Р И А Л О В , 1982, № 5, с. 8 4 4 — 8 4 9
У Д К 6 2 4 .0 7 4 .0 0 1 :6 7 8 .0 6 7
В. Ф. Власов, А. А. Юркевич
РАЗРЕШИМОСТЬ И ОЦЕНКА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ГРИГОЛЮКА—ЧУЛКОВА
Исследованию разрешимости задач нелинейной теории пластин, описываемых системой уравнений Фёппля—Кармана, посвящены ра
боты [1—6].
При анализе разрешимости операторных уравнений вариационными методами важной является задача построения функционала, крити ческие точки которого служат корнями исследуемого уравнения. Из вестны способы построения таких функционалов в случае, когда опе ратор уравнения является потенциальным [7]. В теории упругости один из возможных способов построения дает принцип возможных перемещений. В этом случае построенный функционал принято считать функционалом обобщенной энергии. После того как требуемый функ ционал построен, вопросы существования, единственности, устойчиво сти, а также неединственности решений сводятся к изучению структур ных свойств функционала. При этом, как правило, основными являются свойства слабой непрерывности или полунепрерывное™, свойство роста на бесконечности, выпуклость или строгая выпуклость функционалов.
Вариационные методы применялись в анализе краевых задач нелинейной теории
пластин и оболочек, описываемых уравнениями Кармана [3 ], при исследовании вопро
сов сущ ествования решений в нелинейной теории пологих оболочек [8] и в теории
иепологих оболочек [9 ]. При |
достаточно общих предположениях в работах |
[1 0 , |
11] |
|
исследовался функционал обобщенной |
энергии в нелинейной теории упругости. В |
[12] |
||
предложен возможный общий |
подход, |
использующий множители Л агр ан ж а, к |
построе |
|
нию выпуклых функционалов, |
являющихся обобщением функционалов Трефтца, в |
в а |
риационных задачах линейной теории упругости. Процесс Ритца минимизации таких
функционалов |
обсуждается |
в [1 3 ]. Введенное в |
работе |
[14] |
понятие |
устойчивости |
|
по А дамару функционала обобщенной энергии использовалось |
[15] |
для |
исследования |
||||
единственности |
равновесного |
состояния конечного |
упругого |
тела, а |
такж е |
для анализа |
единственности и возможности бифуркации решений краевой задачи о квазистатическом равновесии тел в нелинейной вязкоупругости. В [16] обсуждаю тся достаточные условия устойчивости функционала Адамара, применяемые для оценки критических значений нагрузки, действующей на упругое тело.1
1. Система уравнений, описывающая напряженно-деформированное состояние оболочки, была получена в [17]. Если считать неизвестными функции W\F и х, через которые могут быть выражены все величины,
характеризующие напряженно-деформированное состояние, то система уравнений имеет следующий вид:
EiW4F=2[k, w]—L (w, w) + Ex( v - 1) У2ф; |
( 1. 1) |
£ 2V % + £ 3V“X+ [k, F] —L(w, F) + (w,u - k u)Tl + (w t22- k 22)T2+
+ 2{wA2- k l2)S = q\ |
( 1.2) |
- E AV 2X + % = W ; |
( 1 . 3 ) |
Ей Е2, Ез, Е\, v, k\\, k.22, ki2 — упругогеометрические постоянные. Вие-
пикающие за счет действия тангенциальных нагрузок X и Y, о которых предполагается, что они имеют потенциал ф: Х = —фц, У = —тр.г.
Граничные условия имеют вид:
F=Ftп = 0 на |
Г; до= У2ку= х= 0 |
на Гг, до = до(„=х,п= 0 на Гг, |
(1.4) |
||
где riU r2 = r — граница области G, занимаемая оболочкой в плане. |
|
||||
Введем гильбертово пространство Я функций |
f : / | г=0 и f,n|r2=0 |
||||
со скалярным произведением |
|
|
|
|
|
|
(fuf2)n= |
J V2/iV 2M C. |
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
В силу теорем вложения Соболева [18] оператор |
вложения Я в \Vp(l) |
||||
и C(G) вполне непрерывен. |
G\ и G2 для бигармонического оператора |
||||
Введем операторы Грина |
|||||
и оператора / —£ 4V2 следующими интегральными тождествами: |
|
||||
[GJ, g ) J |
fgdG) (1.5) |
1 |
(G2fg+E4WGfs/g)dG— J fgdG, |
(1.6) |
|
|
G |
G |
|
G |
|
где /e L b £ е Я . В силу теоремы Рисса [19] и теоремы вложения опе раторы G1 и G2 определены на всем пространстве L\. С помощью опе раторов G\ и G2 из уравнений (1.1) и (1.3) можно выразить функции
F и %через w^H:
F= E{G[{2[ki w ] - L ( w , w ) + E l( v - l ) V 2^}-, (1.7) |
%=G2(w). (1.8) |
Рассмотрим функционал f(w), определяемый на Я: |
|
f(w) = Г £ 2||о»||„2 + Г -£ з11х211н2+ J Ei||Г||„2 + ^-£ 3£ 4<У3Х, V3X> + |
|
+ -^ £ ,< (1 -г)ф , V 2F)-(q,w>. |
(1.9) |
Дифференциал Гато этого функционала имеет вид
Df(w, h) =E2(W2W, y 2/i>+£3(V 2x, V2G2/i>+£3£ 4<y3x, У 3G2/i> +
+ <V2F, V2G,{[^, h\ —L(w, Л)}> + <(1 —v)ф, V2G,{[k, h] - L (ш, A)} > -
-<?,A>. |
(1.10) |
Используя формулу Грина, принятые соотношения |
(1.7) и (1.8), |
а также предполагая тангенциальные нагрузки таковыми, что сущест вует функция р, удовлетворяющая условию
(V2p) ,1 = —X; (V2p)i2= - y , |
(1.11) |
и вводя обозначения |
|
Т’,= —(1 —v)p,22; Г2= - ( 1 - г ) р ,„ ; S = ( l - v ) p >,2. |
(U 2) |
получим из (1.10)
Df{w, Л )= (£ 2У%, A> + <H3V4X, А>+<Г, [/г, Л]-L {w , Л)> + <(1 -v )p , [6, Л] —L(w, К) >-<?, А> = <£2У4до+ £ 3У4х+ [A, FJ - L (да, Г) +
+ (и’.ц-Ац) Г1+ (wi22 — k22) T2 — 2(wt\2—k\2)S — q, /1)= (grad f(w) , Л).
|
|
|
|
|
|
|
(1.13) |
Если считать, |
что |
функции |
F и х |
выражены |
через (1.7), |
(1.8), из |
|
(1.13) |
следует, |
что |
уравнение |
(1.2) |
является |
градиентом |
функцио |
нала |
(1.9). |
|
|
является слабо полунепрерывным снизу |
|||
Лемма 1. Функционал (1.9) |
|||||||
в пространстве Я. |
|
|
|
|
|
Пусть последовательность wm слабо сходится в Н, т. е. (wm,h)H->~ -*-{w,h)H, и функции Fm и %т определены через wm соотношениями (1.7) и (1.8). Интегрируя по частям, с учетом граничных условий по лучим
(Fm, h)n - (F , h)H=2ErK[k, h], |
К), aum—ш>— |
—Ex- \ L ( w m, h ) ,w - w my. |
|
Слабо сходящаяся последовательность ограничена, поэтому ||шт ||н ^ с . Кроме того, в силу компактности вложения Н в W4<') имеем ||дото— —о>11 w4(I)-»-0. Используя неравенство Гельдера для трех членов, полу
чим
| (Fm, h)H- (F, h)H| ^ 2 Я г 1[11^112+2(||йУ||н+1к7п11н)] X
( 1. 14)
Отсюда следует, что последовательность Fm слабо сходится в Н. Пусть
® еЯ . Согласно (1.6) |
функция |
%, определяемая соотношением (1.8), |
|||||
принадлежит |
Тогда (1.3) |
можно |
представить |
в виде |
тождества |
||
|
|
E4X = V - 2(X ~ W ), |
|
|
|||
из которого |
следует, |
что |
xe WV4)- |
Введем обозначение |
<x.F>r = |
||
= <V2X, V 2h) + E 4( V 3X , |
V 3h>. Пусть l i e ^ и удовлетворяет условиям |
||||||
(1.4). Используя (1.8), получим |
|
|
|
|
|||
| <Xm>h>r-(x, h}y\ = |<V2[(xm -£4V2Xm) - ( y - ^ V 2x)]; |
|||||||
V2/i>| = \{wm- |
и», V</t> |^ ||ш - ш т ||Ь2||/1|| |
. |
(1.15) |
Окончательно, из (1.14), (1.15), используя достаточные условия слабой полунепрерывности снизу [7], получаем утверждение леммы 1.
Прежде чем исследовать вопрос о существовании слабого минимума
функционала, |
преобразуем слагаемое ф .Е(1 —\>)<ф, V2/7), используя |
(1.7), (1.11) и |
(1.12): |
у £,(1-\1)< ф , V2F>= y ( l - v ) <p,2[k, w]-L(w, w ) y - ~ E l( l - v ) 2X
X <V2p, ф> = у (1 -v ) <2[k, p] - 2 L(w, p), w) - ~ £, (1 - v ) 2<^, ф>=
= — (J41^,11+ ^2^,22+ 25ЦУ(12, Ш>—{T\k\\ + T2k22~\~2Ski2, W) — — X
XE i (1 — v)2<\|), ф> = — J {Tlwti2 + T2Wt22 + 2S w tiWt2}dG — (T\kn + T2k22-Jr
G |
|
+ 2Sk\2, w) — £1 (1 —v) 2<яр, ф>. |
(1.16) |
С учетом (1.16) функционал будет иметь вид
f(w) = l . E l\\F\\n2+ \ E 2\\whF+ -1- £ 3llxll2+ - ^ № < V 3x, V3x) —
J * |
( 7 1 t o i i 2 + 7 2 i w i2 2 + dG2 S c—w (T, i\tk\i D\io-\) -T2^ 224 "'2Sk12, ^ У |
- — £ ,( l - v ) 2<il),i|)>.
Лемма 2. Функционал f в пространстве Н имеет слабый минимум. Рассмотрим шар радиуса R в пространстве Н. В работе [3] пока
зано, что при Ть T2i S из Z2 для достаточно больших R
fl(w) = ± - E l\\F\\Hi + ± - E 2\\w\\H'— |
J (7’1a»lla+ T2wi22+2Swtlw,2) d G ^ y R 2. |
|
4 |
1 |
о |
Отсюда, используя неравенство Гельдера, теоремы вложения, свойства скалярного произведения в L2, а также предполагая q^.L2, ij)eL2,
получим
f(w) ^ y R 2— \\Tikn + T2k22-\-2Ski2\\Llia •||ш||х,4 —||7||I,2- ЦшЦ^—-^-(1 —v)2X
X E xm |
L^ y R ' — clR - c 2R - ~ E l{ \ - v ) 4 M W . |
Следовательно, |
oo при НдоИя-^оо, поэтому (см. [7]) /(до) имеет |
слабый минимум. |
|
Теорема 1. Если а) область G — звездна; б) тангенциальные на
грузки X и Y имеют потенциал ipeH72<2>; в) нормальная |
нагрузка qе |
|||
е L2(G), а kn, k22 и k\2 принадлежат L4{G), то задача |
(1.1) —(1.4) |
|||
имеет решение. |
теоремы следует из представлений (1.7), (1.8), со |
|||
Доказательство |
||||
отношения (1.13) |
и обобщенной теоремы Вейерштрасса |
[20]. |
этом |
|
2. Рассмотрим |
случай, когда |
Tlk\\ + T2k22 + 2Ski2+q = Q. При |
||
{0,0,0} будет решением системы |
(1.1) —(1.4), и, обозначив 7’1=Я7’/ь |
|||
Т2=%Т'2; S = AS', рассмотрим задачу на собственные значения |
|
|||
EiW4F = 2[k, до]- L ( w , w) +Ei (v - 1) У2гр; |
|
(2.1) |
||
Е2V4w+E34 4%+[k,F]-L {W,F) = - X { T \ WM + T'2W,22 + 2S'Wi12); |
(2.2) |
|||
|
- E 4V 2X + X = W |
|
(2.3) |
|
с граничными условиями (1.4). В |
этом случае потенциал |
(1.9) |
будет |
|
иметь вид |
|
|
|
|
/2(Ш) = 1 Д^|Е||Я2+ 1 £ 2||ш||н2+ i . £ 3||x||„2+ i . £ 3£ 1<V3X) V3X> -
- I I (w), |
(2.4) |
где I(w)= SG{T'lw,l2 + T'2wi22+2S'wiVw;2)dG. |
Всюду ниже будем счи |
тать /(до)>0, если до=#=0, что с механической точки зрения будет озна чать, что оболочка в основном испытывает сжимающие напряжения.
Для получения оценки наименьшего собственного |
члена задачи |
||||
(2.1) —(2.3), (1.4) рассмотрим следующие две задачи |
на собственные |
||||
значения: |
|
|
|
|
|
£ ,V 4f = 2[k, до] -f £ ,(v —l)V 2\p; |
|
|
|||
£ 2V4I«+ £ 3V 4X + [k, F] = |
-% (T\w tn + T'2wi22+2S'wA2)- |
|
|||
|
- E 4V 2X+ X= W |
|
(2.5) |
||
с граничными условиями |
(1.4) и |
|
|
|
|
£ 2У4до+ £ 3V4x- (2£,) - '(^112+ k222+ 26122) до = - A, (Г,дол,+ Г 2до,22 + |
|||||
+ 2 S 4 I2); - £ 4V2X+ X= ^ |
|
(2.6) |
|||
с граничными условиями |
(1.4), |
за |
исключением граничных |
условий |
|
для F. |
|
х |
через до в (1.7) и |
(1.8), |
нетрудно |
Учитывая представление F и |
доказать аналогично [3], что задача (2.6) а) имеет счетное множество
С Л
собственных элементов Xjly |
wh\ б) fat>0 |
и |
wk-+0 при &->.оо; |
в) существует минимальное |
собственное |
число |
X** задачи (2.6). |
Наименьшее собственное число задачи (2.5) обозначим Яо и поло жим
Я* = Яо —/32(и) [4/4(и)/(и)]-1;
/з (м )= J { ^ [ Gi ( ^ г 1^ . ы] + |
V 2i|> ) >ы ] + Е г ' Х |
G |
|
X[k, Gi{L(u,u)}] }«dG, |
|
где h (u) = 2E cl J*L(Gi{L(u, u ) } , u)udG; I(u) |
определяется (2.4), a и — |
G |
(2.5), соответствующая л0. |
какая-либо собственная функция задачи |
|
Теорема 2.. Пусть выполнены условия теоремы 1. |
|
1. Для наименьшего собственного члена |
задачи (2.1) —(2.3) имеет |
место оценка |
|
Г '=^А ,нО *О о. |
(2.7) |
2. Пусть, кроме того, К>К* и ХфХк, А=1,.. . . тогда краевая задача |
|
(2.1) —(2.3) имеет не менее трех, решений. |
|
Доказательство первого утверждения теоремы аналогично соответ ствующему доказательству в работе [3], поэтому наметим лишь схему
доказательства. |
|
Рассматривая функцию до = с«, где с — константа, приходим к вы |
|
воду, что min/(сы)-< О при |
тем более в точке, соответствующей |
С |
|
абсолютному минимуму, /(доо) < 0, откуда до0# 0 , так как f (0) =0; с дру
гой стороны, умножая скалярно (2.2) на до, |
используя |
(1.7), (1.8) |
и |
|||
неравенство Коши—Юнга, приходим к неравенству |
|
|
||||
Е2\М и 2+Е3[\%\\^-+ Е ,Е ,\\^х\\а+ 1 £ , | № 2-2А/(до) - у |
е£,11Л1н2- |
|
||||
|
|
—(2e£i) |
1J (/fe112-|-Л222“К2A:j2^)w^dG^^O. |
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
Так |
как |
функционал |
/3(до) =£21М1л2+£з11х11и2+£з£411У3х11 L 22 |
— |
||
—(2£i)-1 J |
(ftn2-t-^222 + 2/ei22)tiy2dG имеет конечный минимум 2X** на по- |
|||||
|
G |
|
|
|
|
|
верхности I(w) = 1, то |
|
|
|
|
||
|
|
|
2(Я**-Я)/(ш)<0, |
|
|
|
откуда следует, что если Я<Я**, то l ( w ) ^ 0 , |
что возможно только при |
|||||
цу = 0. |
Таким образом, все точки полупрямой |
Я<Я** не |
принадлежат |
спектру нелинейной краевой задачи. Из приведенных рассуждений сле дует существование Яя. Заметив, что Я** по своему определению есть наименьшее собственное число задачи (2.6), получаем первое утверж дение теоремы 2.
Для доказательства второй части теоремы 2 заметим, что I(w)
является потенциалом оператора |
Tw = T/\Wtn + T/2Wi22+ 2S /wf\2, диффе |
ренцируемого по Фреме в нуле, |
при этом единица не принадлежит |
спектру оператора Т'(0) и при выполнении условия 2 теоремы мини мум функционала f(w) меньше нуля. Отсюда и из теоремы 3 работы [4] следует второе утверждение теоремы.
Оценка (2.7) имеет важное прикладное значение для исследовании устойчивости трсхслойных оболочек благодаря возможности эффектив ного нахождения границ Я** и Я* наименьшего собственного значения нелинейной задачи. Кроме того, неравенство Я**<Яо показывает непри менимость линеаризации Эйлера в ряде задач устойчивости геометри чески нелинейных оболочек.
1.Морозов И. Ф. К нелинейной теории тонких пластин. — Докл. АН СССР,
1957, т. 114, N2 5, с. 968—971.
2.Дубинский Ю. А. О разрешимости системы уравнений сильного изгиба пласти
нок. — Докл. АН СССР, 1967, т. 175, № 5, с. 1026—1029.
3. Ворович И. И. Некоторые оценки числа решений для уравнений Кармана в связи с проблемой устойчивости пластин и оболочек. — В кн.: Проблемы гидроди намики и механики сплошной среды. М., 1969, с. 111 —118.
4.Климов В. С. О числе решений краевых задач нелинейной теории оболочек. — Докл. АН СССР, 1979, т. 247, № 1, с. 57—60.
5.Морозов Н. Ф. Избранные двумерные задачи теории упругости. Л., 1978.
182с.
6.Мазья В. Г., Пламеневский Б. А., Морозов Н. Ф. О напряженно-деформиро
ванном состоянии в окрестности вершпньг трещины при нелинейном изгибе пластины. — Докл. АН СССР, 1978, т. 243, № 4, с. 889—892.
7.Вайнберг М. М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М, 1956. 344 с.
8.Ворович И. И., Лебедев Л. П. О существовании решений в нелинейной тео
рии пологих оболочек. — Прикл. математика и механика, 1972, т. 36, вып. 4,
с.691—704.
9.Ворович И. И., Лебедев Л. П., Шлафман Ш. М. О некоторых прямых мето дах и существовании решения в нелинейной теории испологнх оболочек. — Прикл. математика и механика, 1974, т. 38, вып. 2, с. 339—348.
10. Портнов В. Р. Теоремы существования в теории деформации гибких тел. — В кн.: Дифференциальные уравнения с частыми производными: Тр. семинара С. Л. Со болева. Ии-т математики СО АН СССР, 1979, № 2, с. 92—123 (Новосибирск).
11. Портнов В. Р. О существовании минимума функционалов, заданных на век торных пространствах с полунормой. Приложения к нелинейной теории упруго сти. — В кн.: Сов.-Чехословац. совет, но применению методов теории функций и функц. анализа к задачам мат. физики. Алма-Ата, 1976. Тр. совещ. Новосибирск, 1979, с. 123— 152.
12. Терещенко В. Я. О выпуклых функционалах в вариационных задачах теории
упругости, |
аналогичных |
обобщенным функционалам Трефтца. — |
Прикл. математика |
||
и механика, |
1980, т. 44, |
№ 1, с. 185—188. |
|
|
|
13. Терещенко В. Я. О процессе Ритца при построении приближенных решений |
|||||
задач теории упругости |
обобщенным методом Трефтца. — Жури, |
вычисл. математики |
|||
и мат. физики, 1980, т. 20, № 4, с. 1063—1066. |
finite |
elasticity. |
— |
||
14. Gurtin М. Е., Spcclor S. /. On stability and unigueness in |
|||||
Arch. Ration. Mech. Anal., 1979, vol. 70, N 2, p. 153—165. |
and |
bifurcation |
in |
||
15. Gurtin M. E., Reynolds D. W., Spector S. I. On unigueness |
nonlinear viscoelasticity. — Arch. Ration. Mech. Anal., 1980, |
vol. 72, N 4, p. 304—313. |
|
16. Del Piero G. |
Lower bounds for the critical loads of |
elastic bodies. — J. Elast., |
1980, vol. 10, N 2, p. |
135— 143. |
|
17.Григолюк Э. И., Чулков Л. П. Устойчивость п колебания трехслойных оболо чек. М., 1973. 170 с.
18.Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математи ческой физике. Л., 1950. 255 с.
19.Иосида К. Функциональный анализ. М., 1967. 624 с.
20.Вайнберг М. М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в тео
рии нелинейных уравнений. М., 1972. 415 с.
Московский автомеханический институт |
Поступило в редакцию 29.01.82 |