- •механика
- •материалов
- •СТРУКТУРНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РЕОЛОГИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ ДВУХКОМПОНЕНТНОГО МАТЕРИАЛА
- •ПОДАТЛИВОСТЬ ОДНОНАПРАВЛЕННО АРМИРОВАННОГО НЕУПРУГОГО МАТЕРИАЛА*
- •ПРОЧНОСТИ
- •РАСЧЕТ ЧАСТОТ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН С ОТВЕРСТИЯМИ*
- •УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИН ИЗ КОМПОЗИТОВ ПРИ СДВИГЕ В ПЛОСКОСТИ ДЛЯ СМЕШАННЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
- •РАЗРЕШИМОСТЬ И ОЦЕНКА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ГРИГОЛЮКА—ЧУЛКОВА
- •МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
- •ОБОБЩЕННАЯ МОДЕЛЬ МЕХАНИКИ НАМОТКИ ОБОЛОЧЕК ИЗ КОМПОЗИТНЫХ ПОЛИМЕРНЫХ МАТЕРИАЛОВ
- •РАВНОВЕСИЕ НИТИ С УЧЕТОМ ТРЕНИЯ ПРИ ХОРДОВОЙ НАМОТКЕ ДИСКОВ ИЗ КОМПОЗИТОВ
- •НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ПОЛЫХ СТЕРЖНЕЙ ИЗ КОМПОЗИТОВ ПРИ КРУЧЕНИИ
- •ВАРИАБЕЛЬНОСТЬ ДИНАМИЧЕСКОЙ ПРОЧНОСТИ ПОЗВОНОЧНИКА ЧЕЛОВЕКА
- •ВЛИЯНИЕ ФИЗИЧЕСКОГО СТАРЕНИЯ НА ДЕФОРМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА ПОЛИКАРБОНАТА
- •J (**—T)miaai(mi+1>(x)c*T=l,
- •ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ СТРУКТУР
- •ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ДЛИТЕЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ПОЛИМЕРНЫХ МАТЕРИАЛОВ
- •ВЫСОКОМОЛЕКУЛЯРНЫЙ ПОЛИЭТИЛЕН
- •высокой плотности
- •ПОЛИИМИДЫ — НОВЫЙ КЛАСС ТЕРМОСТОЙКИХ ПОЛИМЕРОВ
МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1982, ^ 5, с. 779—783
УДК 539.374:678.067
Й. Йирова, В. Кафка
СТРУКТУРНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РЕОЛОГИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ ДВУХКОМПОНЕНТНОГО МАТЕРИАЛА
Целью настоящей работы является создание математической модели реологической деформации бетона, которая исходила бы из действитель ной структуры материала, а не из аналогии, как это бывает в случае применения механических моделей, скомплектованных из системы пру жин, элементов трения и т. д. Преимуществом данного подхода является прежде всего возможность описать внутренние напряжения и разложить деформации на составляющие. В качестве основного варианта выбрана модель, в которой единственной упругой составляющей материала при нята галька грубой фракции заполнителя, играющая роль включения в матоице-конгломерате, образуемой остальными составляющими. Меха ническое поведение матрицы можно приближенно описать моделью
Максвелла [1].
При математическом описании двухкомпонентного материала, обра зованного внедрением упругих включений в среду максвелловского типа, будем исходить из результатов работы [2].
Уравнение для материала упругих включений (обозначен индексом
а) можно представить в виде |
|
|
|
|
||
|
|
&ij= \laSijt |
6 = РаСГ, |
|
|
(1) |
где |
Sij — девиаторы деформации и напряжения; |
|
|
|
||
|
а = |
1 |
1 + V a |
1 — 2va |
’ |
(2) |
|
“д" 8ц\ Ра — |
Ра — |
р |
|||
|
|
|
~ Ё 7 |
£ а |
|
|
va — коэффициент Пуассона; Еа — модуль упругости.
Уравнения для материала, характеризуемого как среда максвеллов ского типа (обозначен индексом 6), можно записать следующим обра зом:
1
& ij = \lb S ij~ h 2 Н б = рьсг, ( 3 )
где Я — коэффициент вязкости, ць и рь аналогичны (2). Эти пара метры зависят от вида напряжения. Следовательно, необходимо допус тить, что они могут зависеть от а (изотропная часть тензора напряжения для двухкомпонентного материала); при постоянном значении а их можно принять константами.
Если используются уравнения (1) и (3), то в соответствии с [2] спра ведливы системы уравнений
^aO*ja“t" ai)Oijb—Gij\ |
0a8ija~\~0b8ijb |
6jj, |
Oa~\~ Vb |
1» |
(4a, б, в) |
|||||
|
|
8 ija 8{ja |
8 ijb |
8jjb |
8{j, |
|
|
(5) |
||
S ija |
Sijb |
5 ijb |
— 0 ; |
( 6 ) |
c$a |
Qb~ |
o'b |
= 0; |
(7) |
|
' |
IГ |
|||||||||
|
|
T] |
|
|
|
|
|
|
|
|
@ ija = |
\laSija\ 6 a = |
P a^a> |
£ г ja = |
Pa*S |
ija> |
6 a |
P a ^ |
a> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8 ) |
S i j b — (.IbSijbH g ~Jj |
&b— P bObl S ijb — (-Ib^ |
^ ^ jb • ® b Р&Ф b> |
где va — объемное содержание материала а; dja — среднее значение тензора напряжения в материале а\ оц — тензор напряжения композита; e'ija — в соответствии с (5) разница между средним значением тензора деформаций в материале а и средним значением тензора деформации двухкомпонентного материала; s'ija — разница между средними значе ниями девиатора напряжения в материале а и напряжения, которое в материале а отвечает деформации, равной деформации двухкомпонент ного материала; rj, г\° — структурные параметры — постоянные компо зита, зависящие от геометрии включений.
Уравнения (4) и (5) справедливы для девиаторной и изотропной частей по отдельности и также для соответствующих скоростей. Уравне ния (6)—(8) действительны также для определения скоростей деформа ции и напряжения. Из системы уравнений (4) —(8) после дифференци рования и разложения на девиаторные и изотропные части получим
1 -
eij
2Hyib S‘j )
________ 1________
S i j a — llbr\ + Va(Va[lb + VbVia)
где
(г>аЦа+ РьЦ.ь)'П + 1,аРа
P= -------------------------- (ыь; ЦЫ]+ &а(УаЦЬ + УьРа)
________ Vulla(V g + T])_________ |
|
|
|
2//[(АбТ]+ Уа(Уа|Л(> + УьЦа)] |
^ |
|
|
Va2 + |
r\ |
1 |
|
~ w |
~ Siia J ’ |
||
|
|
(9a, б, в) |
|
e=p<r, |
|
|
|
P = (t>apa4-t;bP6)Tl0+ ^aPa |
P& |
|
(10a, 6) |
Pb4° + Va( Vapb + VbPa) |
|
|
Уравнение (9) является конститутивным уравнением двухкомпонентного материала; в нем имеется одна девиаторная неявная переменная Sija, которую можно исключить путем введения производных высшего по рядка. Продифференцировав сначала уравнение (9а), вместо вца исполь зуем выражение из (96), а затем вместо Sija — соответствующее выра жение из (9а). После упрощения получим
ёц= iiSij + ( 2H\.ibQ+ - |
) Jij + Qsn + Peij, |
(11) |
где |
|
|
p=z___}_______ Л + Ра2 |
Q _ _1__________WT_______ |
|
2Я P&T] + Va(УаЦй "f" VbPaY' |
4tf2 ЦЫ]+ Уа(«0^6+ ^ЬЦа) ‘ |
|
Дифференциальное уравнение (11) однотипно дифференциальному урав нению модели Бюргерса, полученному путем использования аналогич ного поведения системы механических элементов [1, с. 472]. Известно, что реологическое поведение бетона можно приближенно описать мо делью Бюргерса, что и широко используется.
Для решения задачи идентификации параметров математической мо дели по кривой ползучести ограничимся девиаторной частью деформа ций. Объемные изменения принимаем упругими. Подвергаем предвари тельно ненагруженный образец мгновенному сжатию Ou = c o n st. Из
уравнений (9) вытекает, что в этом случае девиаторы будут подобны девиатору Sij, т. е.
S i j —s T i j J Gij —ёТij'y |
Sija —з a7 ij, |
||||
где |
0 |
|
|
|
|
1 |
° |
\ |
2 - |
||
T i j = 0 |
-0,5 |
||||
; s= — on. |
|||||
0 |
0 |
° |
|
О |
|
—0,5 / |
|
is, Тц неизменны во времени; ё, sa зависимы от времени. При ползучести, когда s,j = 0, уравнение (9) можно записать в виде
|
e —As — Bsa\ sa=Cs—Dsa |
(12a, б) |
|
где |
В = ------- р««(Ра + п)------ . с = в _ |
. D = c 0О2 + Л |
|
- J — ; |
|||
21lb |
2//[т1 + 0о ( у а + У б а )] |
vaa[ib |
Н а + Л |
|
рй |
ра |
(13а, б, в, г, д, е) |
|
о——- а ----. |
||
|
Р |
рь |
|
В момент приложения напряжения сжатия е и sa согласно (9) изменятся с нулевых значений на
|
—(14- |
—- |
Л4- |
иа+ Л |
|
|
|
e°+= ps; |
Sa0+= P 6 ------;---- ------- ;-------r s- |
|
|||
|
|
|
|
РбГ1+ уа(иаРЬ + УбРа) |
|
|
Интегрированием уравнения |
(126) получаем |
|
|
|||
|
|
sa= ~ [Cs —(Cs —Z)so0+)e_IM]. |
(14) |
|||
Подстановкой |
(14) |
в (12а) |
и последующим интегрированием |
получаем |
||
ё —ё0+=5 (л —~ |
)/ —~ ( C s — Dsa^) (e~Dt—1). |
(15) |
||||
Из уравнения |
(15) исключим выражение e~Dt, используя при этом урав |
|||||
нения (14) и (12а), и после преобразований получим |
|
|||||
|
|
|
D(ejs —р) =M + Nt — e/s, |
|
(16) |
|
где |
|
|
|
|
|
|
М = А - В Sa°+ |
Vi |
br\-\-vaa. |
N = A D -B C = |
|||
|
|
S |
2H |
b[x] + Va(Va + Vba)] |
|
|
|
|
_____________ w n ____________ |
|
(17) |
||
|
|
|
p4Н2Ь[rj + Va (va+ VbOL)] |
|
|
Из уравнения (16) получим систему трех линейных уравнений для опре деления величин D, М, N. Значения р и s известны; на диаграмме^ пол
зучести соответственно изберем три точки и измерим в них t, ё и ё. По известным значениям D, М и N следует продолжить определение пара метров материала. Путем соответствующих преобразований уравнений (10а), (13), (17) получим квадратичное уравнение для va‘
Va2(aK + 1) [ ( ^ К |
- р ) ( a - l ) + p ( K + l) ] + va [ ( ^ K - i l ) |
X |
X (2аК +1 —а2/С) —р (/(+1) (2аК + 1) ] + а(К + 1)Х |
|
|
х |
[ - ( ^ / С - р ) + Р ^ ] = °, |
(18) |
где |
|
|
* = 2{D M -N) |
[-М + Д р ± У (М -£ р )2 + 4 р (D M -N)]. |
|
Для определения va и всех остальных параметров необходимо найти а. Для определения пары значений va, а, удовлетворяющих уравнению (18) и соответствующих композиту, необходимо найти соотношение, свя
зывающее а с va-
Для начала используем приближенное значение р, предложенное Хиллом [3]:
р= — { vaa + vb + ------^ ---)р ь |
(19) |
||
2 ' |
va + vba |
' |
|
и соответственно |
|
|
|
; , ^ ( к , а |
. + П + 1г ^ |
) л |
(20) |
где Уа — объемная доля всех фракций заполнителя; Уь, |
— значения, |
||
отвечающие цементному камню; а* определено соотношением |
|||
|
а* = ра/р.*б. |
|
(21) |
Выражение (19) является средним арифметическим двух значений в условиях однородности напряженного состояния и деформации. Для определения этих предельных значений используем уравнение (10а), подставив в него т] = 0 и rj = oo. Для Va, Уь справедливо
|
Va+Vb = l. |
(22) |
В системе шести уравнений |
(4в), (13е), (19) —(22) значения |
jl, р,*ь и |
Уа считаем известными, а из |
оставшихся семи неизвестных (va, |
а, ра, |
\ib, а*, Уь) пять можно исключить. Тогда появится возможность найти вторую зависимость между va и а. Преобразованием уравнения (20) по лучим:
(a*)2VaVb+ a * ll + Va2+Vb2- 2 - ^ r - V b ) + V aV b - 2 - ^ - V a = 0, (23) ' (i 6 ' р ь
т. е. квадратное уравнение для а*, в котором все остальные величины из
вестны. |
|
уравнения |
(19) уравнения (1Зе) и |
||
Используя для преобразования |
|||||
(21), получаем |
|
а |
\ |
сс*И*ь |
|
|
|
|
|||
* * " т ( УдОсТ" Vb“Ь va + vba |
7 |
а |
|
||
из чего следует |
|
|
|
|
|
va2( l —a)2 + va{l—a) ( аН— —^~---- 1 ) + 2а / —Цг—;----- 1 ) —0. (24) |
|||||
' |
а рб |
7 |
|
' а р б |
7 |
Уравнения (18) и (24) образуют систему двух квадратных уравнений с двумя неизвестными va, а, которую необходимо решить численно. Кон кретные вычисления показывают, что в этой системе лишь один из кор ней имеет физический смысл.
Таким образом, данная математическая модель двухкомпонентного материала, состоящего из однородно напряженных упругих включений (крупные фракции заполнителя) в матрице, обладающей свойствами мо дели Максвелла и характеризующейся неоднородностью деформаций (остальные составляющие бетона), описывает свойства материала лишь с учетом одной (максимальной по величине) фракции заполнителя.
При идентификации параметров математической модели мы стреми лись максимально ограничить необходимые экспериментальные данные.
Были использованы результаты, полученные при испытании бетона на сжатие а Сж = const [4]. Материал характеризуется следующими исход ными данными: прочность на сжатие а Сж = 59,2 МПа, модуль упругости £ = 40 000 МПа. Модуль упругости цементного камня £ с = 20 000 МПа.
Из двух троек произвольно взятых точек на выпрямленной кривой ползучести путем дифференцирования были получены по уравнению (16) средние значения постоянных £, М, N: £ = 9,409-10“2 (сут)-1; М = = 3,965-10-6 (МПа) - 1 (сут)"1; Л(= 1,715-10-8 (МПа) - 1 (сут)-2. Для рас чета был использован лишь дсвиатор напряжения 5 = 0,6667 МПа.
По данным мгновенной деформации с учетом того, что коэффициент Пуассона равен 0,15, было определено значение рГ=2,8755 • 10-5 (МПа)-1. На основе полученных значений параметров из уравнений (18) и (24) определяли графики зависимостей va от а, на основе которых была вы явлена объемная доля заполнителей, составляющих упругие включения двухкомпонентного композита иа= 0,3087. Для расчета было использо вано значение полного объема всех фракций заполнителя — Уа= 0,73,
значение |
принималось соответствующим цементному камню — р*ь = |
||
= 5,75 • 10- 5 |
(МПа)-1. |
|
уравнения (9): |
В дальнейшем определяли остальные постоянные |
|||
06= 0,6913; |
г] = 3,5827-10-3; |
= 3,3185 • 10~5 (МПа)-1; |
ца= 2,2109• 10-5 |
(МПа)-1; Я = 6,8713-104 (МПа) (сут). |
|
Для вычисления теоретической кривой ползучести и изменений нап ряжений и деформаций как в матрице, так и во включениях была состав лена программа для ЭВМ.
Полученные диаграммы показаны на рисунке. Чтобы полученные диаграммы давали представление о полном напряжении сжатия и соот ветствующих деформациях, к девиаторным составляющим были причис лены и соответствующие изотропные части тензоров, вычисленные из предположения об однородности упругого модуля объемных дефор маций.
Из рисунка видно, что девиаторная часть напряжения во включениях в начале деформирования быстро нарастает, в дальнейшем, однако, оно принимает постоянное значение — предельное для конкретного случая. Общее выражение для этого предельного*значения оца легко получить
из уравнения (14), подставив в него |
|
Sa t=оо — |
Va + Ц _ |
о , S. |
|
|
Va+Ц |
Поскольку г] является положительной величиной, значение 5а|*=оо должно быть в пределах от 5 до s/va. В нашем случае sa|*=oo= 3,158s.
Следует напомнить, что после разгрузки в материале сохраняется ос таточная деформация. После снятия нагрузки величина деформации мгновенно уменьшится на какую-то часть, какая-то часть деформаций исчезает постепенно в процессе освобождения материала от внутреннего напряжения, и какая-то часть деформаций останется.
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Reiner М. Rheology. — In: Handbuch der Physik. 1958, Bd 6, S. 434—550.
2.Kafka V. On constitutive equations of quasihomogeneous materials. — Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik, 1979, Bd 59, IT 9, S. 423—430.
3.Hill R. — Proc. Phys. Soc. (London), 1952, vol. G5, p. 349.
4. Kruml F. Prispevok |
k relacii dotvarovania v tlaku a talui. — In: Celoslatni konf. |
о betonu. Marianske Lazne, |
1978, S. 97—115. |
Институт теоретической и прикладной механики |
Поступило в редакцию 19.11.80 |
АН ЧССР, Прага |
|