УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИН ИЗ КОМПОЗИТОВ ПРИ СДВИГЕ В ПЛОСКОСТИ ДЛЯ СМЕШАННЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ

заделаны, а стороны у = 0, у=Ь свободно оперты. Критическое значение /1ф, при котором пластинка теряет устойчивость, будем определять энер­ гетическим методом. Согласно этому методу [3], следует приравнять по­ тенциальную энергию пластинки при изгибной форме равновесия П ра­ боте касательных усилий А при деформации сдвига, обусловленного из­ гибом пластины. При представлении прогиба в виде функционального ряда критическое значение нагрузки находится из условия вырожден­

где £/=П —A; Ci — коэффициент при i-й функции прогиба в его разло­ жении в ряд. Для смешанных граничных условий

примем следующую двухчленную форму представления прогиба:

W'=Cn(p„(.v') sin^|- + Cn+icpn+1 (х) sin » (3)

в которой функции фп(х), л = 1,2 ,... являются собственными функциями уравнения заделанного стержня и, как отмечено в [4], были с этой целью использованы Ритцем. Эти функции удовлетворяют уравнению

Условия (2) при выборе прогиба в форме (3) с учетом (6) выполняются автоматически*.

При построении решения укажем [4], что первый корень уравнения 3

(7) имеет значение pi=^ л+0,0176, а для последующих его значений

справедлива с точностью более 0,1% следующая приближенная фор­ мула:

Работа касательных усилий, соответствующая малым прогибам, под­

* Функции фп имеют размерность [Z.-1/:], так что коэффициенты С„, Сп-и имеют со­ ответственно размерность [UU\.

где полиномы имеют вид

Qn(C) = 16я4 ] / - ~ с ^ + 8л2 (цп2хп2 —2Ц п Х п )D ifD\D2

Между двумя значениями С„,_I"P и Сппр находится такое значение С*„, при котором критическая нагрузка, приводящая к потере устойчивости пластины по форме, описываемой двумя собственными функциями срп и фп+1, будет минимальной*. Это значение относительно параметра опреде­

ляется как С*п= Ух, где х — наименьший вещественный корень урав­ нения

4 / D \ 1 6j.ln^ “1“ P'n+l^ Z?32 (Ц?1^%712 2(Ll7lX?l) ( Ц7? + 1“%7? + 1 2 (ln + lX77-f 1) \ 2

Сравнение расчетных значений критической нагрузки с результатами, полученными при использовании приближенных формул в [1], показы­ вает, что выражение (19) дает несущественное ее отличие (порядка 3—5%) в случае поперечного армирования пластинки, т. е. при укладке всех волокон в направлении оси у. Этот случай соответствует предпо­ сылке о существенной анизотропии материала, принятой в [1]. Вырож­ дение (19) на случай изотропии материала дает завышенные оценки для ^кр по сравнению с приведенными в [5] (отличие порядка 25%). Для по­ следнего случая, очевидно, недостаточно двухчленного представления прогиба в форме (3). Таким образом, выражение (19) можно рекомендо­ вать для качественного анализа изменения критической нагрузки при потере устойчивости ортотропной пластинки от сдвига.

На рис. 2 представлены кривые изменения приведенных критических напряжений пластин из углепластика в зависимости от относительной длины С= а/Ь для различной анизотропии свойств материала. Построе­ ние расчетных кривых приводилось при минимизации тКр по порядку соб­ ственных функций п. В случае продольно-поперечной укладки волокон в углепластике (см. рис. 2—а) изменение анизотропии упругих свойств характеризуется параметром й2, равным относительному содержанию волокон, уложенных в направлении оси у. В этом случае монотонное из­ менение цилиндрических жесткостей таково, что между их граничными значениями имеется следующая связь: D\(й2 = 0) =£>2(й2 = 1) и £>3(й2) =

Z)I (0 = O)=D2 |0 = ту"| = £ I № = 0); н о D3(0) ^const. С увеличением доли

волокон в поперечном направлении у или с увеличением угла 0 критиче­ ская нагрузка возрастает в несколько раз. Так, изменение Ткр при С < 3 от смены укладок с продольной на поперечную составляет ~400% . Ана­ логичная тенденция имеет место и для случая свободного опирания по всему периметру пластины (см. [2]). Отметим, что в обоих случаях (см. рис. 2) минимизация нагрузки при переборе порядка функций п обнару-

* В случае n= 1 левая граница С0пр условно принимается равной нулю, а не нахо­ дится из уравнения (20).

Рис. 2. Влияние относительной длины с=а)Ь пластин и схемы укладки однонаправлен­ ного углепластика (£ц= 13,2 • 105 кгс/см2, £ ± =1,22*105 кгс/см2, “ 0,25 • 105 кгс/см2,

v llJL = 0,33) на приведенные критические напряжения: а — ортогонально армированный материал с различной долей й2 поперечных волокон; б — косоармироваиный материал с

живает немонотонное изменение Ткр по степени анизотропии упругих

ными по прочности при сдвиге подобного материала в плоскости арми­ рования 700—1200 кгс/см2 показывает, что в широком диапазоне 0 не­ сущая способность пластин будет определяться их жесткостью.

Таким образом, анализ влияния анизотропии позволяет оценить опас­ ность разрушения от потери устойчивости исследуемых пластин при сдвиге.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Балабух Л. И. Устойчивость фанерных пластинок. — Техника воздуш. флота, 1937, Ко 9.

2.Секерж-Зснькович Я. И. К расчету на устойчивость листа фанеры, как анизотроп­ ной пластинки. — В кп.: Тр. ЦАГИ, 1931, № 76.

3.Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки. М., 1957. 463 с.

4.Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. М.; Л. 1962. 708 с.

5. Работное Ю. Н., Данилова Н. Н., Полилов А. Н., Соколова Г. В., Карпсйкин И. С., Вайнбсрг М. В. Исследование прочности намоточных эпоксидных угле- и стек­ лопластиков при кручении, растяжении и поперечном изгибе. — Механика полимеров, 1978, № 2, с. 219—225.

М Е Х А Н И К А К О М П О З И Т Н Ы Х М А Т Е Р И А Л О В , 1982, Лг° 5, с. 839— 843

У ДК 624.074.001:678.067

В. П. Трошин

ВЛИЯНИЕ ПРОДОЛЬНОГО РАССЛОЕНИЯ в СЛОИСТОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКЕ НА ВЕЛИЧИНУ КРИТИЧЕСКОГО ВНЕШНЕГО ДАВЛЕНИЯ

Одним из основных дефектов, присущих слоистым композитам, яв­ ляется расслоение. Возникнув в результате несовершенства технологии изготовления или воздействия случайных факторов при эксплуатации, расслоение может существенным образом снизить несущую способность конструкции. Влияние нескольких видов расслоений на устойчивость стержней и оболочек было рассмотрено в работах [1, 2]. Эксперимен­ тально-теоретическое исследование устойчивости при внешнем давлении цилиндрических оболочек с кольцевыми и прямоугольными расслоени­ ями проведено в работе [3]. Теоретические результаты работы [3] по­ лучены на основе приближенной схемы, использующей на участке рас­ слоения эквивалентную жесткость.

Одним из неисследованных видов расслоений является продольное расслоение в цилиндрической оболочке, нагруженной внешним давле­ нием. Рассмотрим продольное расслоение вдоль всей длины оболочки (регулярное расслоение). Считаем, что при докритических нагрузках зона дефекта не распространяется. Межслоевая трещина (расслоение) разделяет всю оболочку на несколько независимых цилиндрических па­ нелей, определенным образом сопряженных. В силу симметрии рассмот­

N \11+ N2,2 “ Т22^?2_I + *7n —0.

Здесь (.. ,) { = д/д1й gb g2 — продольная и окружная координаты; R 2 =

= /?, R1= 00; R — радиус цилиндрической оболочки. Символ 1,2 обозна­

чает, что невыписанные формулы получаются из приведенных переста­ новкой индексов 1 и 2. Подставляя значение нормальной составляющей внешней поверхностной нагрузки qn— q^2R (где к2 — изменение кри­ визны нейтральной поверхности в окружном направлении) в последнее уравнение системы (1), получим уравнения устойчивости оболочки при

12=^ i2 (ДО,12~~ U2,\R2~X— U\i2R l_1) •

Здесь Bi^EihKl-VijVji); B ij=Gijh; Dij=— B ijh2; Eh Gijt v0- — модули

ниже наименьшего значения критической нагрузки местной формы обо­ лочки с расслоением. В этом случае пересечение названных линий от­ сутствует, т. е. местная форма потери устойчивости не реализуется при любых размерах расслоений.

Для рассмотренных ранее оболочек длиной /* = 1 на рис. 6 представ­ лена зависимость параметра предельно допустимых расслоений /*20 = = l2o/2 nR от параметра Л*, характеризующего место расположения тре­ щины по толщине оболочки. Сплошная линия соответствует расслое­ ниям, приводящим к общей кососимметричной форме. Можно считать, что эта линия симметрична относительно вертикальной оси, проходящей через значение /г* = 0,5. Следовательно, расслоения, расположенные сим­ метрично относительно нейтральной поверхности оболочки в интервале 0,35—0,65, равноопасны. В общем случае на критический параметр и размер предельных расслоений влияет кривизна поверхности. По этой причине расслоение, расположенное ближе к внутренней поверхности оболочки, в большей степени снижает величину критического внешнего давления, чем расслоение, находящееся ближе к наружной поверхности. В соответствии с этим различаются и предельные размеры расслоений, обозначенные на рис. 6 штриховыми линиями. Эти размеры определены на основе смешанных форм потери устойчивости. Штрихпунктирные ли­ нии на рис. 6 соответствуют расслоениям, расположенным вблизи на­ ружной или внутренней поверхностей оболочки. Предельный размер та­ ких расслоений установлен исходя из возможной потери устойчивости по местной форме. Так как при местной форме следует ожидать неустой­ чивости только одного тонкого слоя, то потери несущей способности всей оболочки в этом случае не происходит (при условии нераспространения трещины). Следовательно, найденные на основе местной формы потери устойчивости предельные размеры расслоений (штрихпунктирные ли­ нии) не являются ограничениями по несущей способности.

Напомним, что все результаты получены при значении параметра толщины оболочки R/hJ1I= 100. Как показывают дополнительные рас­ четы, изменение этого параметра в широких пределах (R/hm = 30-^300) не меняет общего характера представленных зависимостей.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Болотин В. В., Зебельян 3. X., Курзин А. А. Устойчивость сжатых элементов с дефектами типа расслоений. — Проблемы прочности, 1980, № 7, с. 3—8.

2.Трошин В. П. К устойчивости цилиндрических оболочек с расслоениями. — Ме­

ханика композит, материалов, 1981, № 4, с. 729—731.

3. Андреев JI. В., Ободан Н. И. Задачи устойчивости цилиндрической оболочки с переменной жесткостью при внешнем давлении. — Прикл. механика, 1968, т. 4, вып. 12, с. 82—88.

4.Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. Л., 1962. 430 с.

5.Годунов С. К. О численном решении краевых задач для систем обыкновенных

линейных дифференциальных уравнений. — Успехи мат. наук, 1961, т. 16, вып. 3(39),

с.171— 174.

6.Кармиишн А. В., Лясковец В. А., Мяченков В. И., Фролов А. Н. Статика и ди­

намика тонкостенных оболочечных конструкций. М., 1975. 376 с.

7. Королев В. И. Слоистые анизотропные пластинки и оболочки из армированных пластмасс. М., 1965. 272 с.

Поступило в редакцию 28.09.81