Системы линейных уравнений. Решение и исследование системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Пусть дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными — x, y, z :

,

ее главный определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, имеет вид

.

Если , то , , , где

, , .

Пусть теперь , но есть . Тогда можно утверждать, что, например,

.

Если же и , то в системе есть лишь два независимых уравнения, а третье является их следствием. В силу этого система сводится к двум уравнениям с тремя неизвестными. Такая система неопределенна и имеет бесчисленное множество решений: одному можно придавать любое значение, а остальные неизвестные определяются из двух независимых – все решения лежат на прямой, т.е. на пересечении двух плоскостей. В этом случае .

Если же , то система несовместна и не имеет решений. В этом случае среди определителей , , есть хотя бы один, не равный нулю.

Случай, когда , т.е. равны нулю и все его миноры второго порядка, но есть элементы, не равные нулю, приводит к выражениям

и

.

Если же и , , то в есть лишь одно независимое уравнение. Система неопределенна, имеет бесчисленное множество решений (точки плоскости). В этом случае , и определители всех миноров второго порядка также равны нулю.

Если же , или , то система противоречива и не имеет решений – параллельные плоскости.

Однородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Однородной называют систему, в которой , .

.

Система - неоднородна.

Если в не равен нулю, то система имеет единственное решение .

Если же , то среди его строк есть линейная зависимость и в остается два или одно независимое уравнение.

Решение произвольных систем линейных уравнений

Пусть задана система линейных уравнений с неизвестными, :

, (1)

или в матричной форме

, (2)

где

, , .

Решением системы (1) или (2) называется любой -компонентный вектор-столбец или матрица-столбец , обращающий в верное равенство системы (1) или (2).

Система называется совместной, если у нее существует хотя бы одно решение. В противном случае, система несовместна. Две системы называют эквивалентными, если множества их решений совпадают.

Теорема Кронекера–Капелли. Чтобы система вида (1) была совместна, необходимо и достаточно, чтобы

,

где - расширенная матрица системы.

Пусть теперь в системе (2) , т.е. она совместна. Можно считать, не ограничивая общности, что не равный нулю минор порядка располагается в первых строках и столбцах матрицы .

Запишем «укороченную» систему для (1), отбросив последние уравнений, в виде:

(3)

Эта система эквивалентна исходной, т.к. отброшенные уравнения являются линейной комбинацией оставшихся уравнений.

Неизвестные называют базисными, а - свободными. Перенесем теперь свободные переменные в правую часть (3). В результате получим систему относительно базисных неизвестных:

.

Эта система для любого набора значений свободных неизвестных имеет единственное решение:

,

где , , , — набор свободных неизвестных.

Соответствующее решение укороченной, а следовательно и исходной системы имеет вид:

. (4)

Формула (4) выражает произвольное решение системы (1) в виде функций от свободных неизвестных и называется общим решением системы. Каждому конкретному набору соответствует частное решение.