Линейная алгебра Матрицы и определители.

Большинство математических моделей в экономике описываются с помощью матриц и матричного исчисления.

Матрица - это прямоугольная таблица, содержащая числа, функции, уравнения или другие математические объекты, расположенные в строках и столбцах.

Объекты, составляющие матрицу, называют ее элементами. Матрицы обозначают заглавными латинскими буквами

а их элементы – строчными.

Символ означает, что матрица имеет строк и столбцов, элемент, находящийся на пересечении –й строки и –го столбца .

.

_{Говорят, что матрица А равна матрице В: А=В} , если они имеют одинаковую структуру (то есть одинаковое число строк и столбцов) и их соответсвующие элементы тождественно равны , для всех .

Частные виды матриц

На практике довольно часто встречаются матрицы специального вида. Некоторые методы предполагают также преобразования матриц от одного вида к другому. Наиболее часто встречающиеся виды матриц приведены ниже.

	квадратная матрица, число строк n равно числу столбцов n
	матрица-столбец
	матрица-строка
	нижняя треугольная матрица
	верхняя треугольная матрица
	нулевая матрица
	диагональная матрица
Е =	единичная матрица Е (квадратная)
	унитарная матрица
	ступенчатая матрица
( )	Пустая матрица

Элементы матрицы, с равными номерами строк и столбцов, то есть a_ii образуют главную диагональ матрицы.

Операции над матрицами.

1. При умножении матрицы А на скаляр (число), необходимо умножить на это число все элементы матрицы . Общий множитель всех элементов можно вынести за знак матрицы.

2. Сложение матрицы и числа,

3. Сложение матриц

4. Вычитание матриц

5. Умножение двух матриц возможно только тогда, когда число строк первой равно числу строк второй. Произведением , где каждый элемент матрицы С — есть сумма произведений всех элементов –й строки на соответсвующие элементы –го столбца .

.

Свойства операций над матрицами

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

Специфические свойства оперций

Если произведение матриц – существует, то произведение может и не существовать. Вообще говоря, . То есть умножение матриц не коммутативно. Если же , то и называют коммутативными. Например, диагональные матрицы одного порядка коммутативны.

Если , то необязательно или . Т.е., произведение ненулевых матриц может дать нулевую матрицу. Например

Операция возведения в степень определена только для квадратных матриц. Если , то

.

По определению полагают , и нетрудно показать, что , . Отметим, что из не следует, что .

Поэлементное возведение в степень А.^m = .

Операция транспонирования матрицы заключается в замене строк матрицы ее столбцами:

,

Например

, .

Свойства транспонирования:

1. 

2. 

3. 

4.