Модель международной торговли
В качестве примера математической модели экономического процесса, приводящейся к понятию собственного вектора и собственного значения матрицы, рассмотрим линейную модель международной торговли.
Пусть имеется n стран S1,S2,…,Sn , национальный доход каждой из которых равен соответственно x1,x2,…xn. Обозначим коэффициентами aij долю национального дохода, которую страна Sj тратит на покупку товаров у страны Si. Будем считать, что весь национальный доход тратится на закупку товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран, т.е.
(j
= 1,2,…,n).
(1)
Рассмотрим
матрицу А
=
,
которая получила название структурной матрицы торговли. В соответствии с (1) сумма элементов любого столбца матрицы А равна 1.
Для любой страны Si (i=1,2,...,n) выручка от внутренней и внешней торговли составит:
pi = ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn.
Для сбалансированной торговли необходима бездефицитность торговли каждой страны Si, т.е. выручка от торговли каждой страны должна быть не меньше ее национального дохода:
pi
xi
(i
=
1,2,…,n)
.
Если считать, что рi > xi, (i = 1,2,...,n), то получаем систему неравенств
(2)
Сложив все неравенства системы (2), получим после группировки
x1(a11+a21`+…+an1)+x2(a12+a22+…+an2)+…+xn(a1n+a2n+…++ann)>x1+x2+…+xn .
Учитывая (1), что выражения в скобках равны 1, мы приходим к противоречивому неравенству
x1+x2+…+xn >x1+x2+…+xn .
Таким образом, неравенство pi xi (i=1,2,...,n) невозможно, и условие pi xi, принимает вид pi=xi (i=1,2,...,n). С экономической точки зрения это означает, что все страны не могут получать прибыль одновременно.
Вводя вектор национальных доходов стран
x
=
,
получим уравнение Ax = x, т.е. задача свелась к отысканию собственного вектора матрицы А, отвечающему собственному значению =1.
Пример. Пусть структурная матрица торговли трех стран S1, S2 , S3 имеет вид:
A
=
.
Найти национальные доходы стран для сбалансированной торговли.
Решение. Собственный вектор х, отвечающий собственному значению = 1, найдем, решив уравнение (А - Е)х = 0 или систему
Получим х1=1,5с, х2=2с, x3=с, т.е. x=(1,5с; 2с; с). Этот результат означает, что сбалансированность торговли трех стран достигается при векторе национальных доходов x=(1,5с; 2с; с), то есть при соотношении национальных доходов стран 1,5:2:1 или 3:4:2.