Определители и их свойства.

Для квадратных матриц часто используется понятие определителя – числа, которое вычисляется по элементам матрицы с использованием строго определенных правил. Это число является важной характеристикой матрицы и обозначается символами

.

Определителем матрицы является ее элемент .

.

Определитель матрицы вычисляется по правилу:

,

т.е., из произведения элементов главной диагонали вычитается произведение элементов дополнительной диагонали.

Для вычисления определителей более высокого порядка ( ) необходимо ввести понятия минора и алгебраического дополнения элемента.

Минором элемента называют определитель, который получают из матрицы , вычеркивая -ю строку и -й столбец.

Рассмотрим матрицу размером :

,

тогда, например,

Алгебраическим дополнением элемента называют его минор, умноженный на .

,

.

Теорема Лапласа: Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Например, разлагая по элементам первой строки, получим:

Последняя теорема дает универсальный способ вычисления определителей любого порядка, начиная со второго. В качестве строки (столбца) всегда выбирают тот, в котором имеется наибольшее число нулей. Например, требуется вычислить определитель четвертого порядка

В данном случае можно разложить определитель по первому столбцу:

,

или последней строке:

.

Этот пример показывает также, что определитель верхней треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов. Нетрудно доказать, что этот вывод справедлив для любых треугольных и диагональных матриц.

Теорема Лапласа дает возможность свести вычисление определителя -го порядка к вычислению определителей -го порядка и, в конечном итоге, к вычислению определителей второго порядка.

Свойства определителей.

1. Определитель матрицы равен нулю, если она содержит строку (столбец) с нулевыми элементами.

2. Общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) матрицы можно выносить за знак определителя.

Следствие: Чтобы умножить определитель на скаляр, достаточно умножить на него элементы только одной строки (столбца) исходной матрицы.

3. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

4. Перестановка двух строк (столбцов) матрицы изменяет знак определителя.

5. Определитель матрицы, содержащей, по крайней мере, две одинаковых строки (столбца), равен нулю.

6. Определитель матрицы, содержащей две (или более) пропорциональных строки (столбца), равен нулю.

7. Сумма произведений элементов строки (столбца) на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) матрицы равна нулю.

,

(доказывается заменой в - той строки на - тую). Объединяя это свойство с утверждением теоремы Лапласа, имеем

8. Если любой элемент строки матрицы является суммой слагаемых, то ее определитель может быть представлен в виде суммы определителей -го порядка. Например,

.

Линейной комбинацией строк (столбцов) называется строка (столбец), полученная суммированием соответствующих элементов исходных строк (столбцов), умноженных на некоторые постоянные для каждой строки (столбца) числа, не равные одновременно нулю.

Например, произвольная линейная комбинация -той, -той и -той строк имеет вид:

Линейная комбинация называется произвольной, т.к. числа , , - произвольные (но не равные нулю одновременно) постоянные числа, и линейной – потому, что элементы входят в нее только в первой степени и не перемножаются друг на друга.

Теперь мы можем сформулировать следующее свойство:

10. Определитель матрицы не изменится, если к любой ее строке прибавить произвольную линейную комбинацию любых двух ее строк. В частности, если положить , , то определитель не изменится, если к какой-либо строке матрицы прибавить другую, умноженную на .

Если в матрице какая-либо строка является линейной комбинацией других строк, то говорят, что она линейно-зависима. Если же строку матрицы нельзя представить в виде линейной комбинации других строк, или, в частном случае, ее элементы не пропорциональны элементам ни одной другой строки, то говорят, что данная строка является линейно-независимой.

11. Определитель матрицы равен нулю, если она содержит хотя бы одну линейно-зависимую строку. Если определитель матрицы равен нулю, но среди ее миноров порядка , есть хотя бы один, отличный от нуля, то данная матрица содержит ровно линейно-независимых строк. Так, если в матрице есть хотя бы один отличный от нуля элемент, то она содержит хотя бы одну линейно-независимую строку.

12. Определитель произведения двух квадратных матриц и равен произведению их определителей:

.

Т.к. , то , даже если .

Использование сформулированных свойств существенно упрощает вычисление определителей. Преобразуя исходную матрицу , мы можем добиться, чтобы какая-либо строка будет содержать только один ненулевой элемент. Тогда вычисление определителя порядка будет сведено к вычислению только одного определителя порядка .

Например, требуется вычислить определитель:

Прибавим ко второму столбцу третий, умноженный на 2, и к первому – третий, умноженный на –4. В результате получим

Разлагая по третьей строке, получим

теперь в определителе третьего порядка к первому и второму столбцам прибавим третий, умноженный на –13 и 4 соответственно:

.