Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1005

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

7.6 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 216 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Рассмотрим случай, когда на вход фильтра поступает полезный детерминированный сигнал g(t), на который накладывается помеха n(t). Сигнал на входе фильтра описывается соотношением (2.24), а ошибка фильтрации – соотношением (2.25).

Сигнал

y(t) = yg (t) + yn (t),

(2.40)

где yg (t) – детерминированная составляющая y(t), обусловленная действием сигнала g(t); yп(t) – составляющая y(t), обусловленная действием помехи, которая представляет собой случайный сигнал. Следовательно, yп(t) – это случайная со-

ставляющая y(t).

Подставляя (2.40) в (2.25), получим

ε(t) = εg (t) +εсл(t),

где
εg (t) = yg (t) − g(t); εсл(t) = yп(t);	(2.41)

εg (t), εсл(t) – детерминированная и случайная составляющая ошибки ε(t). Составляющая εg (t) обусловлена неточным вос-

произведением фильтром полезного сигнала g(t). Составляющая εсл(t) появляется в результате частичного прохождения

помехи n(t) на выход фильтра.

Поскольку случайная и детерминированная ошибки не коррелированны между собой, дисперсия суммарной ошибки фильтрации фильтром случайного сигнала x(t) определяется выражением

		σ2	(t) = ε2	(t) +σ2	,			(2.42)
		ε	g	εсл
где	σ2	– дисперсия случайной составляющей				ε	сл	(t) ошиб-
	εсл						сл

ки ε(t).

Обозначим через Sn (ω) спектральную плотность помехи n(t), а через Syn (ω) – спектральную плотность составляющей yп(t). В результате имеем

	Sy	n	(ω) =\| H (ω) \|2		Sn (ω),			(2.43)
			∞
			σ2yn = ∫ Syn (ω)dω,					(2.44)
			−∞
где σ2	– дисперсия составляющей y					n	(t) . Поскольку ε	сл	(t) =
yn						n		сл
= yп(t),
			σ2	= σ2	.			(2.45)
			εсл	yп
Определим yg (t). Имеем
			t
	yg (t) = ∫h(τ)g(t −τ)dτ,							(2.46)
			0
где h(τ)	– весовая функция фильтра.
Рассмотрим в качестве примера случай, когда частотная
характеристика фильтра определяется							соотношением	(2.30),

а спектральная плотность помехи n(t) характеризуется выражением (2.34). Частотной характеристике H(ω), определяемой соотношением (2.30), соответствует весовая функция фильтра вида

h(t) =	k	e−βt ;	β =	1	.	(2.47)

	T			T
Предположим, что
g(t) = g0 + gi (t),						(2.48)

где g0, g1 – коэффициенты полинома. Подставляя (2.47), (2.48) в (2.46), получим

	y	g	(t) = k (g			0	+ g t) − g T .		(2.49)
		g				0	1	1
Подставим (2.48), (2.49) в (2.25). В результате
	εg (t) = (k −1)(g0 + g1t ) −kg1T.								(2.50)
Соотношение (2.50) при k = 1 примет вид
			εg (t) = −g1T.						(2.51)
Определим	σ2y .		Подставляя (2.30), (2.34) в (2.43), (2.44),
	n
получим
			σ2	=			k2	σ2.	(2.52)
			σ2	=				σ2.	(2.52)
			y		Tαn +1			n
			п		Tαn +1

Соотношение (2.52) при k = 1 примет вид

σ2y

σn2.

αn +1

Подставим (2.53), (2.45), (2.51) в (2.42). Получим

σε2 (t)

2 T 2

Tαn +1

σn

или

σ2

ε =

+ψ T

Tαn

σn2

где

(2.53)

(2.54)

(2.55)

ψ =	g1	.	(2.56)

	σn

σε2 / σ2n

1,0

αn = 0,1c−1; σn = 20

0,8

					ψ = 0,01
0,6
0,4
				ψ = 0
0,2
0	20	40	60	80	10	Т, с
	Рис. 2.13. График зависимости (σε2 / σn2 )
На рис. 2.13 построен график зависимости (σε2 / σn2 ) от па-
раметра Т фильтра при αп			= 0,1 с–1;	σn	= 20; ψ = 0, ψ = 0,01.

При проектировании фильтра выбирается оптимальное значение параметра Т, при котором (σε2 / σ2n ) = min. Из рис. 2.13 следует, что при ψ = 0,01 ТОПТ = 30 с.

Моделирование работы цифрового фильтра на ЭВМ и количественная оценка ошибки фильтрации

Рассмотрим четыре нерекурсивных цифровых фильтра: фильтр скользящего среднего (ФСС), цифровой косинус – фильтр (ЦКФ), модифицированный фильтр Бартлета (МФБ) и идеальный фильтр нижних частот (ИФНЧ). Введем обозначение

(hi )j = hj (ti ), ti =i∆t,

(2.57)

где ∆t – интервал дискретности измерений фильтруемого случайного процесса. Индекс j принимает значение 1, 2, 3 и 4. Индекс j = 1 соответствует ФСС, индекс j = 2 – ЦКФ, индекс j = 3 – МФБ, индекс j = 4 – ИФНЧ; (hi )j – весовые коэффициенты j-го

цифрового фильтра.

Весовые коэффициенты рассматриваемых фильтров имеют следующий вид:

(h )

;

(h )

1+cos π i

/(2χ);

χ =

N −1

;

(h )

ε | i |

ε =

2N 2

1−

;

N 2 −

(h )

sin(2πWi∆t)

πi∆t

(2.58)

(2.59)

(2.60)

(2.61)

где W – параметр ИФНЧ; N – параметр, характеризующий количество измеренных значений фильтруемого случайного процесса на интервале наблюдения TN = (N −1)∆t фильтра.

Амплитудно-частотные характеристики указанных нерекурсивных цифровых фильтров определяются соотношением

( N −1) / 2
H j ( f ) =(h0 )j +2 ∑	(hi )j cos(2πfi∆t),	(2.62)
i=1
где f – частота, Гц.
Обозначим через x(t) сигнал на входе фильтра,
x(t) = g(t) +n(t),		(2.63)

где g(t) – полезный детерминированный сигнал; n(t) – погрешность измерений сигнала g(t). Предполагается, что n(t) – коррелированный случайный сигнал, корреляционная функция которого определяется соотношением

K	n	(τ) = σ2	e−αn\|τ\| cosω τ,	(2.64)
	n	n	n

где ωn – преобладающая частота; α – коэффициент затухания корреляционной функции; σ2n – дисперсия n(t).

Рассмотрим четыре модели сигнала g(t):

1.	g(t) = g (t) = a					+a t +a		t2.				(2.65)
	1				0	1	2
2.	g(t) = g	2	(t) = a ea4t .									(2.66)
		2			3
3.	g(t) = g3 (t) = a5 sin (2πf0t +ϕ).											(2.67)
4.	g(t) = g4 (t) = a6 cos(2πf0t +ϕ).											(2.68)
Здесь ai ,		i = 0,1, ..., 6,					f0 ,ϕ – параметры этих моделей.
Из (2.63) имеем
		x = g			+n , i =1, 2, ..., N ;				N =	TH	,	(2.69)
		x = g			+n , i =1, 2, ..., N ;				N =	∆t	,	(2.69)
			i	i		i		1	1	∆t

где xi = x(ti ); gi = g (ti ); ni = n(ti ); ti =i∆t; TH – длина реализации случайного сигнала, подвергаемого фильтрации; xi , ni – случайные последовательности.

Для моделирования случайной последовательности ni ис-

пользуется формирующий фильтр, определяемый соотношением вида

ni = f1ni−1 + f2ni−2 +e0 zi +e1zi−1; i ≥ 3, n1 = n2 = 0,

где

= σ

;

= (α ± α2

−4α

)/ 2;

(

)

= σ

/ α

;

= r

; α =1

−r

;

−1 cos

r = e−α* ;

α* = αn∆t;

γ0 = ωn∆t;

f1 = 2r cos γ0 ;

f2 = −r .

(2.70)

(2.71)

Здесь zi = z (ti ) – последовательность независимых нормально

распределенных случайных чисел с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

Алгоритм цифровой фильтрации определяется соотношением

χ
yn = ∑ hk xn−k ; n = χ+1, χ+ 2, ..., N1 −χ,	(2.72)

k=−χ

где yn = y(tn ); xn−k = x(tn−k ); tn = n∆t; tn−k = (n −k)∆t.

Определим статистическую среднеквадратическую ошибку фильтрации цифровым фильтром входной случайной после-

довательности xi ,

i =

1, N1

в виде

N1−χ

∑

(εi − ε)

∑ εi ,

σε =

;

ε =

(2.73)

−2χ

i=χ+1

где εi = yi − gi ; χ = (N −1)/ 2 . Используя формулу (2.73), можно построить график зависимости σˆ ε от параметра фильтра N.

Найдем оценку дисперсии случайной последовательности ni по формуле

ˆ 2		1			N1		2
σn =					∑(ni −n )			;
σn =			N		∑(ni −n )			;
			N		i=1
		1			i=1			(2.74)
		1		N1				(2.74)
				N1
n =				∑ni .
n =	N			∑ni .
	N			i=1
		1		i=1
Введем в рассмотрение коэффициент
			ˆ		σε
			ρ =			ˆ		(2.75)
			ρ =			ˆ .		(2.75)
					σn

Используя формулы (2.73)–(2.75), можно построить график зависимости ρˆ от параметра фильтра N.

На рис. 2.14 показана блок-схема, поясняющая процесс моделирования на ЭВМ работы цифрового фильтра и количественной оценки ошибки фильтрации.

zi Формирующий фильтр

gi = a0 +a1ti + a2ti2

gi = a3ea4ti

gi = a5 sin (2πf0ti +ϕ)

gi = a6 cos(2πf0ti +ϕ)

– εi

ni	xi		yi
ni	xi	ФСС	yi
		ФСС
	xi		yi

ЦКФ

+xi

+				xi				yi
				xi			МФБ	yi
				xi			МФБ	yi


							ИФНЧ

		σn

Расчет							ρˆ
Расчет		σˆ			σˆ		ρˆ
σˆ n ,σˆ	ε	σˆ	ε	ρˆ =	σˆ	ε
						ε
					σˆ	n

Рис. 2.14. Моделирование цифровых фильтров

Структура программного обеспечения

Укрупненная блок-схема программы цифровой фильтрации показана на рис. 2.15.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

18 17 16 15 14 13 12 11

Рис. 2.15. Укрупненная блок-схема программы

В табл. 2.1 приведены переменные и массивы, а также идентификаторы этих переменных и массивов.

Дадим краткое описание блок-схемы программы. Назначение отдельных блоков следующее:

блок 1 – ввод исходных данных; блок 2 – вычисление весовых коэффициентов цифровых

фильтров по формулам (2.58)–(2.61); блок 3 – запись массивов весовых коэффициентов ФСС

и ЦКФ в файл “H1H2.PAS”;

блок 4 – запись массивов весовых коэффициентов МФБ и ИФНЧ в файл “H3H4.PAS”;

блок 5 – вычисление по формуле (2.62) АЧХ цифровых фильтров;

блок 6 – запись массивов АЧХ ФСС и ЦКФ в файл

“HH12.PAS”;

блок 7 – запись массивов АЧХ МФБ и ИФНЧ в файл

“HH34.PAS”;

блок 8 – ввод номера модели полезного сигнала, ввод параметров этой модели;

блок 9 – вычисление массива gi , i = 1, N1, полезного де-

терминированного сигнала; блок 10 – формирование с помощью датчика псевдослу-

чайных чисел массива zi , i = 1, N1 ;

						Таблица 2.1
Обозначения переменных и массивов

Обозначение			Возможные
			значения		Пояснения
математическое		в программе	значения		Пояснения
математическое		в программе	переменных
N		N	31
N1		N1	500
∆t		DT	1
W		W	0,06
i		T	1, 2, 3, 4		Номер модели
i		T	1, 2, 3, 4	полезного сигнала
				полезного сигнала
j		L	1, 2, 3, 4	Признак фильтра
f0		F0	0,001
ϕ		F	0
χ		NF
σn		SV	5
αn		AV	0,1
ωn		WV	0
a0, a1, a2		A0, A1, A2
a3, a4, a5		A3, A4, A5
a6		A6
xi		X1[I]
yi		Y1[I]
gi		S[I]
блок 11 –	формирование массива ni , i =					, по форму-
блок 11 –	формирование массива ni , i =				1, N1	, по форму-

лам (2.70), (2.71);

блок 12 – вычисление массива сигнала xi , i =1, N1, на вхо-

де цифрового фильтра; блок 13 – выбор цифрового фильтра и ввод признака 4

фильтра (L может принимать значения 1, 2, 3, 4);

блок 14 – фильтрация сигнала xi , i =1, N1, в соответствии с формулой (2.72);

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 216 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20226.44 Mб8 Innovative power engineering..pdf
#
15.11.20222.77 Mб9 Сопротивление материалов..pdf
#
15.11.202221.68 Mб41.Проектирование устройств и систем с высокоскоростными соединениями.pdf
#
15.11.2022462.49 Кб9100.pdf
#
15.11.20227.59 Mб91004.pdf
#
15.11.20227.6 Mб71005.pdf
#
15.11.20227.65 Mб81009.pdf
#
15.11.20227.65 Mб81010.pdf
#
15.11.2022475.97 Кб0102.pdf
#
15.11.20227.91 Mб61024.pdf
#
15.11.20227.95 Mб61029.pdf