1005

5.Горшков М.В. Экологический мониторинг: учеб. пособие. – Владивосток: Изд-во ТГЭУ, 2010. – 313 с.

6.Концепция федеральной системы мониторинга критически важных объектов и (или) потенциально опасных объектов инфраструктуры Российской Федерации и опасных грузов [Электронный ресурс]: одобр. Распоряжением Правительства РФ №1314-р от 27 августа 2005 г. (НТЦС). – URL: http: //www.consultant.ru/ popular/okrsred/70_1.html.

7.Батракова Г.М., Белик Е.С., Швецова И.Н. Мониторинг безопасности: конспект лекций. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2012. – 305 с.

8.Габричидзе Т.Г. Многоступенчатая система экологического мониторинга объекта по хранению и уничтожению химического оружия: автореферат дис. … канд. техн. наук. – Ижевск, 2002.

9.Вишняков С.Н., Данилова Н.Г., Соделев В.А. Прогнозирование экологического воздействия металлургического воздействия на окружающую среду // Экология и промышлен-

ность России. – 2002. – № 10. – С. 41–44.

10.Костарев С.Н. Мониторинг и управление физикохимическими параметрами в природно-технических системах утилизации отходов // Сборник научных трудов Sworld. – 2013. – Т. 5, № 3. – С. 78–82.

11.Ашихмина Т.Я. Комплексный мониторинг объектов хранения и уничтожения химического оружия. – Киров: Вятка, 2002. – 544 с.

12.Костарев С.Н., Середа Т.Г., Михайлова М.А. Про- граммно-аппаратный комплекс управления качеством фильтрационных стоков // Экологические системы и приборы. – 2014. – № 3. – С. 39–46.

13.Ашихмина Т.Я. Научно-методологические основы комплексного экологического мониторинга окружающей среды в районе объектов хранения и уничтожения химического оружия // Теоретическая и прикладная экология. – 2007. – № 2. – С. 23–34.

21

2. ПРАКТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 1 Мониторинг состояния динамического объекта

Цель работы – изучить метод статистической идентификации состояния динамического объекта, выполнить идентификацию одномерного динамического объекта по результатам наблюдений за входными и выходными сигналами и оценить точность метода.

Теоретическая часть

Методы идентификации динамического объекта

Принципы построения системы управления состоянием объекта (технологического процесса) разрабатывались на основе заданной модели функционирования объекта. При проведении мониторинга оказалось, что во многих случаях модель, принятая при построении, существенно отличается от реального объекта, что значительно уменьшает безопасность его функционирования. Теории и методам идентификации посвящено большое число отечественных и зарубежных ра-

бот [1–4].

Современное состояние теории и практики идентификации характеризуется интенсивной разработкой статистических методов, ориентированных на применение ЭВМ. К этим методам относится и метод минимума статистической неопределенности, рассматриваемый в практической работе. Он является непараметрическим временным методом идентификации динамического объекта. Из других методов идентификации следует отметить методы параметрического оценивания, методы рекуррентного оценивания, непараметрические частотные методы.

22

Постановка задачи статистической идентификации динамического объекта

Рассмотрим одномерный динамический объект в условиях нормального функционирования. Функция x(t), описывающая воздействие на объект, и функция y(t), описывающая реакцию объекта на это воздействие, определены на некотором множестве моментов времени Т, зависящем от характера эксперимента. В общем случае x(t) и y(t) являются реализациями случайных процессов на входе и выходе объекта. Будем называть функции x(t) и y(t) входными и выходными сигналами объекта. Тогда задачу статистической идентификации можно сформулировать следующим образом.

В процессе нормального функционирования одномерного объекта синхронно (непрерывно или дискретно) измеряется входной x(t) и выходной y(t) сигналы. По результатам измерения необходимо определить хотя бы приближенное значение оператора, ставящего в однозначное соответствие выходной и входной сигналы, т.е. нужно получить математическую модель объекта.

Если моделью объекта (системы) является зависящий от времени оператор A(t), такой, что

y(t) = A(t) x(t),

то задачей статистической идентификации будет определение оценки этого оператора A0(t), позволяющей получать оценку

y0 (t) = A0 (t) x(t).

В другой формулировке задачей статистической идентификации является нахождение оценки A0(t) и истинного оператора системы A(t) по реализации случайных процессов x(t) и y(t).

Соответствие между моделью и оригиналом может быть достигнуто лишь в случае близости в некотором смысле оцен-

23

ки A0(t) к истинному значению A(t). При этом будет соблюдаться требование близости y0(t) к y(t).

Для оценки качества идентификации вводят функцию потерь ρ[y(t), y0 (t)], на математическое ожидание которой накладывают требование

M {ρ[y(t), y0 (t)]} = min.

Выбором вида функции потерь определяется критерий близости выходных сигналов модели и оригинала. Наиболее часто применяют квадратичную функцию потерь вида

ρ[y(t), y0 (t)] =[y(t) − y0 (t)]2 .

Получим основное уравнение статистической идентификации, которому должна удовлетворять оптимальная оценка оператора A0(t). Примем следующие допущения: объект линеен, наблюдаемые случайные процессы стационарны (в широком смысле) и стационарно связаны.

С учетом принятых допущений выходной сигнал объекта имеет вид

где ω(t) – импульсная переходная функция (ИПФ) линейной системы; n(t) – случайная помеха (рис. 1.1).

n(t)

ω(t)

+

Рис. 1.1. Модель объекта

24

Задача статистической идентификации динамического объекта заключается в определении оценки ϖ(t) ИПФ ω(t) по результатам наблюдений за сигналами x(t) и y(t) (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Статистическая идентификация динамического объекта

Определение искомой ИПФ из уравнения (1) сопряжено со значительными погрешностями вследствие неточности регистрируемых сигналов, обусловленной помехами и измерительными ошибками, сложностью аппроксимации сигналов аналитическими выражениями.

Для повышения качества восстановления ИПФ необходима предварительная обработка сигналов. Аналитически это условие означает следующее. Пусть случайные сигналы на входе объекта идентификации центрированы, тогда, умножая левую и правую части уравнения (1.1) на x(t – θ) и осредняя результат, получаем

+M x(t −θ) n(t ) ,

где M – оператор математического ожидания; n(t) – приведенная к выходу помеха, не коррелированная со входным сигналом.

25

Учитывая коммутативность операции определения математического ожидания и интегрирования, получаем

Уравнение (1.2) представляет собой запись известного уравнения Винера – Хопфа и связывает искомую ИПФ с корреляционной функцией входного сигнала Rxx(τ) и взаимной корреляционной функцией входного и выходного сигналов Rxy(θ) идентифицируемого объекта.

ИПФ, определяемая из уравнения Винера – Хопфа, оптимальна по критерию минимума среднеквадратической ошибки

M{ y(t ) − y (t) 2} = min.

0

При реализации случайных сигналов они регистрируются на конечных интервалах наблюдения TH, а линейная система с бесконечной памятью аппроксимируется системой с конечной памятью, поэтому бесконечный верхний предел в уравнении (1.2), исходя из физических соображений, заменяют на конечный Tw, такой, что для всех τ > Tω ω(τ) ≈ 0. Это утверждение справедливо для физически реализуемых систем, у которых

∞

∫ ω(τ) Rxx (θ−τ)dτ< ε при τ >Tω.

Tw

С учетом сказанного основное уравнение статистической идентификации принимает вид

26

При непараметрической идентификации динамических объектов решение уравнения Винера – Хопфа получают в виде последовательности значений ИПФ. Наиболее часто применяют численные методы решения уравнения (1.3) во временной и частотной областях.

Некорректность задачи статистической идентификации динамического объекта

где ω – искомая функция из некоторого нормированного пространства W; Rxy – заданная функция из нормированного пространства R; A – заданный линейный интегральный оператор перехода из W в R.

Согласно классическому определению задача статистической идентификации – задача решения уравнения (1.4) – называется корректно поставленной, по Адамару:

–если для любого элемента Rxy R существует решение ω из пространства W;

–решение единственно в W;

–решение устойчиво на пространствах R и W, т.е. для лю-

Aω2 = Rxy2.

Вслучае невыполнения указанных требований задача оказывается некорректно поставленной.

Впрактических задачах идентификации реальных объектов существование решений и принадлежность их определенным множествам вытекают из физического смысла их постановки. Тем самым первые два требования корректности выполняются естественным образом.

Задача статистической идентификации некорректна вследствие невыполнения условия устойчивости. Покажем

27

причины неустойчивости при нахождении ИПФ идентифицируемого объекта традиционными способами.

При численном решении во временной области интегральное уравнение Винера – Хопфа аппроксимируется системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

n

Rxy (ti ) = ∑ cjω(t j )Rxx (ti −t j )∆t, i = 0,n, (1.5)

j=0

где ti = i∆t; tj = j∆t; ∆t = Tω/n – шаг дискретности по времени; cj – коэффициент, зависящий от выбора квадратурной формулы, аппроксимирующей интеграл.

Решение системы (1.5) дает n + 1 дискретное значение ИПФ объекта. В матричной форме СЛАУ (1.5) имеет вид

где Rxy – матрица-столбец свободных членов, элементы которой – ординаты взаимной корреляционной функции Ri = ∆1t Rxy (ti ),

i = 0,n ; Rxx – квадратная матрица коэффициентов СЛАУ (1.5), имеющая в случае квадратурной формулы прямоугольников симметричную относительно главной диагонали форму

Матрица-столбец W = [ωi] состоит из элементов, которые представляют собой ординаты искомой ИПФ.

28

Особенностью получаемой СЛАУ является составление ее элементов по результатам предварительной обработки реализации входного и выходного сигналов объекта, при этом неизбежны измерительные и вычислительные погрешности. При решении СЛАУ существует несколько источников погрешностей. Один из этих источников характерен для решения практических задач в случае, когда элементы матрицы коэффициентов алгебраической системы известны лишь приближенно. Неточность исходных данных порождает ошибки в решении, так как изменение коэффициентов системы уравнений в пределах заданной точности влечет за собой изменение решения.

Теоретически решение СЛАУ (1.5) определяется формулой W = Rxx−1 Rxy, причем обратная матрица Rxx−1 существует

лишь при отличном от нуля определителе |Rxx|. Изменение элементов матрицы Rxx в пределах точности их задания может привести к матрице с нулевым определителем или даже может изменить его знак. В результате исходная СЛАУ практически оказывается несовместной. Таким образом, приближенное задание корреляционных функций предопределяет плохую

обусловленность обратной матрицы Rxx−1, что приводит к на-

рушению условия устойчивости.

К факторам, влияющим на точность задания исходных данных и искажающим результаты решения интегрального уравнения Винера – Хопфа, относятся: относительно невысокая точность оценок корреляционных функций, обусловленная в основном недостаточной длиной зафиксированных реализаций случайных процессов; погрешность численных расчетов, связанная с заменой бесконечного верхнего предела в уравнении (1.2) конечным Tω, самого интеграла – квадратурной формулой.

Таким образом, вследствие невыполнения условия устойчивости задача статистической идентификации некорректна. Устойчивое решение может быть получено при использовании

29

регуляризирующих алгоритмов статистической идентификации.

Метод минимума статистической неопределенности

Рассмотрим для решения задачи статистической идентификации метод минимума статистической неопределенности. Этот метод идентификации основан на решении интегрального уравнения

в котором T – время затухания ИПФ; корреляционная функция Rхх(τ,θ) определяется соотношением

где TH – интервал наблюдения реализации процесса x(t). Уравнение (1.8) справедливо лишь при стационарных

входных сигналах.

Аналогично уравнению Винера – Хопфа, уравнение (1.8) также может быть представлено в дискретном виде системой линейных алгебраических уравнений:

N −1

Rxy (i∆t ) = ∆t ∑ ω( j∆t)Rxx (i∆t, j∆t ), i = 0,1, ..., N −1, (1.10)

j=0

где N – число точек ИПФ; ∆t – интервал дискретизации; Rxy и Rхх при замене их аргументов i∆t и j∆t целочисленными сдвигами определяются уравнениями

30