1005

Обратное преобразование Фурье (F–1-преобразование) позволяет получить функцию h(t) из H(f):

При построении цифрового фильтра в противоположность аналоговому случаю нет необходимости вводить условие физической осуществимости. Иначе говоря, не нужно требовать, чтобы весовая функция была равна нулю при τ < 0, поскольку данные могут быть накоплены в ЭВМ и в нужный момент поданы на фильтр для фильтрации их в обратном порядке.

Идеальным фильтром можно считать систему, имеющую одну полосу пропускания или более (ряд частот, для которых |H(f)| = 1) и одну полосу непрозрачности или более (ряд частот, для которых |H(f)| = 0). Простые идеальные фильтры обычно подразделяют на фильтры нижних и верхних частот и полосовые. Примеры идеальных амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) |H(f)| низкочастотного, высокочастотного и полосового фильтров даны на рис. 2.4–2.6 соответственно, где f0 – частота среза или граничная частота первых двух фильтров; f1, f2 – частоты среза (граничные частоты) полосового фильтра. Примерный вид реальных амплитудно-частотных характеристик |H(f)| низкочастотного, высокочастотного и полосового фильтров показан на рис. 2.7–2.9 соответственно.

Применяя преобразование Фурье к левой и правой частям формулы (2.1), получим

где X(f) – преобразование Фурье процесса на входе фильтра x(t), т.е. X ( f ) = F {x(t)} ; Y(f) – преобразование Фурье процесса

41

на выходе фильтра y(t). Соотношение (2.7) можно записать также в виде

|H(f)|

|H(f)|

1

1

0 f1 f2 f 0 f

42

Уравнение (2.7) является эквивалентом уравнения (2.1) в частотной области.

Таким образом, использовав частотную характеристику фильтра и выполнив преобразование Фурье процессов на его входе и выходе, можно свести интеграл свертки (2.1) к простым алгебраическим выражениям (2.7) или (2.8).

Частотная характеристика фильтра в общем случае является комплексной величиной, которую удобно представить через ее модуль и аргумент. Для этого следует переписать H(f)

Модуль |H(f)| называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) фильтра, а аргумент Ψ(f) – фазочастотной характеристикой (ФЧХ) фильтра. Для частотной характеристики, АЧХ и ФЧХ, справедливы следующие свойства:

H (− f ) = H * ( f ), | H (− f ) | =| H ( f ) |, Ψ(− f ) = −Ψ( f ), (2.10)

где H*(f) – функция частоты, комплексно-сопряженная с функцией частоты H(f).

Если применить обратное преобразование Фурье (2.5) к правой части уравнения (2.7), то получим выходной сигнал фильтра:

∞∞

y(t) = ∫ H ( f )X ( f )e j 2πft df = ∫ X ( f ) | H ( f ) | e j[2πft+Ψ( f )]df . (2.11)

−∞ −∞

Сравнивая уравнения (2.11) и (2.1), видим, что линейный фильтр одинаково хорошо описывается весовой функцией или частотной характеристикой соответственно во временной или в частотной области. Во временной области результат фильтрации может быть вычислен непосредственно через интеграл свертки, а в частотной – через прямое и обратное преобразование Фурье. На рис. 2.10 показаны принципы фильтрации во временной и частотной областях.

43

Рис. 2.10. Фильтрация во временной и частотной областях

Нерекурсивные цифровые фильтры

Цифровые фильтры можно разделить на нерекурсивные и рекурсивные.

Прямоугольная аппроксимация интеграла свертки (2.1) имеет вид

xn+k = x(tn+k ); tn+k = (n + k)∆t;

44

M – константа или параметр фильтра; ∆t – интеграл дискретности измерений датчиком сигнала x(t).

Введем обозначение hk = hk*∆t. Тогда соотношение (2.12) примет вид

k =−M

где hk – весовые коэффициенты фильтра. Соотношение (2.13) определяет алгоритм цифровой фильтрации с использованием нерекурсивного цифрового фильтра.

Для симметричного нерекурсивного цифрового фильтра имеет место соотношение

hk = h−k , k =1, 2, ..., M .

В случае симметричного фильтра эквивалентная уравнению (2.2) конечная сумма определяет фильтр, ФЧХ которого равна нулю, и АЧХ

i=1

Если известна АЧХ симметричного фильтра, то весовые коэффициенты определяются обратным преобразованием Фурье уравнения (2.14) в виде

−∞

В случае, когда hk = 0 при k < 0, из уравнения (2.12) имеем

k=0

45

Рекурсивные цифровые фильтры

Рекурсивный фильтр описывается уравнением

Коэффициенты hk и dk являются константами. В том случае, когда все коэффициенты dk равны нулю, фильтр называется нерекурсивным.

В случае, когда hk = 0 при k < 0, уравнение (2.17) примет

вид

Преобразование Фурье для уравнения (2.17) дает

Как следует из формулы (2.19), частотная характеристика рекурсивного фильтра имеет вид

k =1

Соотношение (2.20) можно также записать в виде

k =1

46

Соотношение между статистическими характеристиками сигналов на входе и выходе цифрового фильтра

Спектральная плотность Sy(ω) случайного сигнала y(t) на выходе линейного фильтра будет следующей:

Здесь Sx(ω) – спектральная плотность случайного сигнала x(t) на входе фильтра; Kx(τ), Ky(τ) – корреляционные функции случайных сигналов x(t) и y(t).

Дисперсия случайного сигнала y(t)

−∞

Оценка качества работы фильтра

Предположим, что на вход фильтра поступает полезный случайный сигнал g(t), на который накладывается помеха n(t). Обозначим через x(t) сигнал на входе фильтра,

Предполагаем, что случайные сигналы g(t) и n(t) не коррелированны. На выходе фильтра имеем выходной сигнал y(t). Обозначим через ε(t) ошибку фильтрации, т.е.

47

На рис. 2.11 показана схема, поясняющая процесс формирования ошибки ε(t).

n(t)

Фильтр

+

+ ε(t)

–

Рис. 2.11. Формирование ошибки ε(t)

Спектральная плотность Sε(ω) ошибки ε(t) определяется соотношением

где H1(ω) = H (ω) −1; Sg (ω), Sn (ω) – спектральные плотности

сигналов g(t) и n(t); H(ω) – частотная характеристика фильтра. Дисперсия ошибки фильтрации

∞

σε2 = Dε = ∫ Sε(ω)dω

−∞

или

48

−∞

Рассмотрим в качестве примера случай, когда частотная характеристика фильтра имеет вид

где k, T – параметры фильтра; αn ,σ2n – коэффициент нерегулярности и дисперсии помехи n(t); α,σ2g – коэффициент нере-

гулярности и дисперсии сигнала g(t). Соотношениям (2.31), (2.32) соответствуют спектральные плотности

Подставляем (2.30) в (2.26), получим

Определим | H (ω) |2 и | H1(ω) |2 в следующем виде:

49

Примем k = 1. Тогда из соотношения (2.27), (2.38), (2.39) имеем

На рис. 2.12 построена зависимость ρ от Т при α = 0,02 с–1; σg = σn = 20; αn = 0,2 c−1. При проектировании фильтра выби-

рается оптимальное значение параметра Т, при котором ρ = min. Из рис. 2.12 следует, что в данном случае Топт = 15 с.

σε2 / σ2g

1,0

σg = σn = 20; αn = 0,2 c−1 α = 0,02 c−1

0,8

0,6

0,4

0,2

Рис. 2.12. Зависимость ρ от Т при α = 0,02 с–1; σg = σn = 20;

αn = 0,2 c−1

50