1004

Окончание табл. 3.1

Метод конечных элементов (МКЭ) широко применяется для описания течения полимерных материалов в каналах сложной формы. МКЭ представляет собой разновидность способов приближенного численного интегрирования дифференциальных уравнений движения сплошной среды, позволяющих определить вид непрерывных функций, описывающих поле некоторых скалярных или векторных величин (давлений, скоростей).

При использовании этого метода непрерывная область потока в канале или элементе оборудования подразделяется на конечное число подобластей. На рис. 3.5 показан пример разбиения на треугольные элементы некоторой двумерной области, например, полимерного потока в канале произвольного сечения. Каждый элемент может иметь свои собственные размер и форму, которые выбирают

41

так, чтобы они наилучшим образом соответствовали форме и размерам исследуемого сечения канала или элемента оборудования.

МКЭ отличается от метода конечных разностей, при котором используется сетка с ячейками одинакового разме-

ра, описываемыми теми же координатами, что и геометрия сечения. Точки пересечения кривых, ограничивающих соседние элементы, называются узлами. Значения переменных, вычисленные в узлах, дают искомое решение.

Обычно конечные элементы в двухмерных задачах имеют треугольную, прямоугольную или четырехугольную форму. При решении трехмерных задач используют элементы, имеющие форму прямоугольных призм и тетраэдров. Внутри каждого элемента подбирается интерполяционная функция, описывающая изменение определяемого параметра.

Выбранные аппроксимирующие функции называются пробными функциями или пространственными изменяемыми моделями. Обычно в качестве таких функций используют усеченные полиномы. Число членов (коэффициентов) в таком полиноме должно быть по крайней мере равно числу степеней свободы, присущих каждому отдельному элементу.

Особенностью МКЭ является его гибкость при описании систем со сложной геометрией и смешанными граничными условиями. Он позволяет не только разбить область со сложными границами на хорошо укладывающиеся в ее контуры конечные элементы, но и использовать также конечные элементы с переменными размерами и изменяющейся формой.

3.4. Турбулентное течение полимерных материалов. Критерий Рейнольдса для полимерного потока

Разнообразие в реологических свойствах полимерных потоков как неньютоновских сред требует большого внимания к оценке кри-

42

терия Рейнольдса. Форма записи этого параметра зависит от реологического закона.

Число Рейнольдса – это средняя скорость (vmid) потока полимерного материала в канале, умноженная на характерный размер канала (L) и плотность, деленная на коэффициент динамической вязкости (η):

В качестве характерного размера можно использовать радиус (диаметр) трубы, если изучается течение в цилиндрической трубе. Если же поперечное сечение канала имеет произвольную геометрию, то за характерный размер может быть принят приведенный (эквивалентный) радиус Req или гидравлический радиус Rr. Его величина определяется как радиус круга, имеющего такую же площадь исследуемого сечения канала. При этом гидравлический радиус представляет собой отношение площади поперечного сечения канала S к его периметру P: Rr = S/P. Заметим также, что гидравлический радиус круга в два раза меньше геометрического:

Rr = S = πR2 = R . P 2πR 2

Если известна функция реологического закона τ = f (τ) для ис-

следуемого полимерного материала, то в знаменателе формулы (3.21) можно записать значение так называемой

эффективной средней вязкости (ηef mid ),

43

вали рассматриваемому реологическому закону, например, формуле Освальда де Виля. Такая форма записи называется обобщенным кри-

терием Рейнольдса.

На основании зависимостей, приведенных в табл. 3.1 и описывающих течение полимерного материала в цилиндрической трубе, можно определить касательное напряжение у стенки трубы:

где D – диаметр трубы; K и n – параметры уравнения Освальда де Виля.

В этом случае коэффициент динамической вязкости можно определить как:

После подстановки выражения (3.22) в формулу (3.21) и алгебраических преобразований получаем следующую форму записи кри-

терия Рейнольдса для полимерного потока, подчиняющегося реоло-

гическому закону Освальда де Виля, если принять L = D:

3.5. Потери давления при турбулентном течении полимерных материалов

Потери давления при турбулентном течении полимерных материалов в трубах можно рассчитать, если использовать теорему подобия Букингема, на основании которой из общей зависимости ∆P = f (L, D,vmid ,ρ, K′,n′) было получено следующее уравнение для оценки ∆P:

44

Входящие в формулу (3.24) реологические константы Метцнера и Рида (K′,n′) зависят от консистентной постоянной K и индекса

течения n, входящих в формулу реологического закона Освальда де Виля:

Параметры же K и n определяются, как отмечалось ранее, физи- ко-химическими свойствами полимерного материала.

Наконец, выражение критерия Рейнольдса по Метцнеру (ReM) определяет коэффициент внутреннего трения потока и трения о стенку трубы:

= Dn′v2−n′ρ

ReM mid ;

K′

Додж и Метцнер определили вид функции f, входящей в уравнение (3.25), распространив на неньютоновские жидкости логариф-

мический закон сопротивления потока, предложенный Карманом:

Уравнение (3.26) для полимерных (неньютоновских) потоков, подчиняющихся реологическому закону Освальда де Виля, имеет вид

cfr

где С1 и С2 – параметры, зависящие только от n′:

45

причем, найденный по формуле (3.28) параметр С2 связан с константой n′:

Учитывая зависимости (3.28) и (3.29), выражение для коэффициента трения полимерного потока можно записать в следующем ви-

де (рис. 3.7):

Формула (3.30) является обобщением логарифмического закона Кармана.

Рис. 3.7

46

На рис. 3.8 приведены эпюры скоростей для ламинарного и турбулентного потоков одного из полиме-

ров с индексом течения n = 0,377 и числом Re = 4875 в цилиндрической трубе. Данные получены Доджем и Метцнером на основе предложенных ими эмпирических формул. Видно, что турбулентный (с образованием вихрей) режим течения приводит к существенному увеличению коэффициента внутреннего трения и

трения о стенку трубы и, как следствие, к росту динамического коэффициента вязкости полимерного потока в сравнении с ламинарным режимом течения.

Основные параметры, характеризующие течение в ламинарном и турбулентном режимах и используемые в инженерной практике, следующие:

На рис. 3.9 показана граница перехода из одного режима в другой в виде зависимости критического числа Рейнольдса (Recr) от параметра S.

В результате исследования кинематических характеристик турбулентного потока в трубе Додж и Метцнер приняли, что для ньютоновских жидкостей, как и для неньютоновских сред, поток может быть разделен на три зоны:

1)ламинарный подслой толщиной δ у стенки трубы (область

0 ≤ y ≤ δ);

2)переходная область толщиной δ1 (δ ≤ y ≤ δ1 + δ);

3)развитый турбулентный поток (δ1 ≤ y ≤ R).

47

Рис. 3.9

В табл. 3.2 обобщены данные, с помощью которых можно определить коэффициент трения (cfr) (рис. 3.10) при турбулентном течении ньютоновских (пластификаторы) и неньютоновских (полимерные расплавы) сред в трубах.

Рис. 3.10

49

Раздел 2

ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ТЕЧЕНИЯ ПОЛИМЕРНЫХ МАТЕРИАЛОВ. ВЗАИМОСВЯЗЬ РЕОЛОГИЧЕСКИХ СВОЙСТВ

И МОЛЕКУЛЯРНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ПОЛИМЕРОВ

Тема 4. Зависимость реологического поведения полимерных материалов от физико-химических факторов

Рассматриваемые вопросы. Теория реологии полимерных материалов по Бики. Влияние молекулярной массы, полярности структурных фрагментов полимеров и пластификаторов на коэффициент динамической вязкости. Концентрационные зависимости коэффициента динамической вязкости от степени пластификации.

4.1. Молекулярная теория реологического поведения полимеров Ф. Бики

Наиболее известная молекулярная теория реологического поведения полимеров вообще была разработана Бики. Она относится к вязкоупругому поведению клубка макромолекулы, не сшитого химическими поперечными связями. Основываясь на статистической теории сопротивления полимерного клубка, он принял в качестве допущений следующие ограничения: цепная молекула полимера разделена на ряд «субцепей», каждая из которых ведет себя подобно «малой массе», прикрепленной к линейной пружине (упругому элементу). Затем он нашел формальное решение задачи для случая смещения каждой «субцепи» относительно своего равновесного положения. Ф. Бики исходил из представления о действии силы сдвига (F) на мономерные звенья при вращении полимерного клубка относительно центра масс:

F = 3kT ax Na2 ,

50