1004
.pdf
|
кг(м/с2 ) |
кг(м/с) |
|
|||||
[τ] = |
м |
2 |
|
= |
2 |
·c |
|
, |
|
|
|
|
м |
|
|
||
т.е. при течении параллельных слоев происходит перенос механического импульса (количества движения) в направлении, перпендикулярном направлению скорости одноосного потока.
2.8. Коэффициент кинематической вязкости
Коэффициент кинематической вязкости ν =µ/ ρ, где ρ – плотность потока. В случае неньютоновского течения динамический коэффициент вязкости обозначается буквой η, который зависит от γ.
Известно, что большинство расплавов и растворов полимеров, жидких каучуков и смол, а также суспензий полимерных связующих с дисперсными наполнителями не подчиняется закону ньютоновского течения.
2.9. Закон Бэлкли–Гершеля–Освальда де Виля
Закон Бэлкли–Гершеля–Освальда де Виля является эмпирическим выражением зависимости касательного напряжения от градиента скорости сдвига (кривая неньютоновского течения), которая связана с временами релаксации межмолекулярных сил полимеров. Последние определяются степенью полярности компонентов полимерного материала:
τ = τ0 + Kγn , |
(2.16) |
где τ0 – напряжение начала течения; K и n – параметры, зависящие от физико-химических свойств полимерного материала; n является безразмерной (0 < n < 1).
Из выражения (2.16) следует, что коэффициент динамической вязкости для большинства полимеров и композиций на их основе:
η= |
dτ |
= nKγn−1. |
(2.17) |
|
dγ |
||||
|
|
|
||
|
|
|
31 |
Величины n, K, а также η= f (γ) определяются эксперименталь-
но, если использовать кривые течения в линеаризованных координатах.
На рис. 2.1 приведены кривые течения полистирола при различ-
ных температурах: 1 – 453 К (180 °С); 2 – 473 К (200 °С); 3 – 493 К (220 °С); 4 – 513 К (240 °С).
На рис. 2.2 представлена зависимость коэффициента динамической вязкости от градиента скорости сдвига полистирола при различных температурах: log τ = log K +nlog γ.
Рис. 2.1
Рис. 2.2
32
Тема 3. Приложение реологической теории к конкретным видам течения полимерных материалов
Рассматриваемые вопросы. Температурная зависимость коэффициента динамической вязкости. Уравнение Вильямса–Ланделя– Ферри. Ламинарное течение между параллельными пластинами. Течение полимерных материалов в цилиндрической трубе. Другие виды течения полимерных материалов. Турбулентное течение полимерных материалов. Критерий Рейнольдса для полимерного потока. Потери давления при турбулентном течении.
3.1. Температурная зависимость коэффициента динамической вязкости. Уравнение Вильямса–Ланделя–Ферри
Температурная зависимость коэффициента динамической вязкости (µ) в случае ньютоновского (органические компоненты полимерных материалов) течения согласно закону Ньютона
µ =µ |
0 |
exp |
|
Eakt |
(T0 −T ) exp β(P − P ) |
, |
|||
|
|||||||||
|
|
|
R |
T0T |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где µ0 – коэффициент динамической вязкости при стандартных условиях приведения (T0, P0); T и P – текущие значения температуры и давления; Eakt – энергия активации вязкого течения; R – уни-
версальная газовая постоянная; β – параметр исследуемой жидкости
(Па–1).
Для неньютоновского течения (полимерные связующие, вкючая пластифицированные) используют уравнение Аррениуса при m = nK:
E |
akt |
(T |
−T ) |
|||
m = m0 exp |
|
0 |
|
|
||
R |
T0T |
|||||
|
|
|||||
или эмпирическое уравнение Вильямса–Ланделя–Ферри:
log a = log |
η |
T |
= |
−17,44(T −Tg ) |
, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
51,6 +(T −Tg ) |
|||
T |
η |
|
|
|
|
|
|
Tg |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
33
которое справедливо для большинства расплавов и растворов полимеров, а также для суспензий на их основе в диапазоне:
Tg ≤ T ≤ Tg + 200°.
3.2. Ламинарное течение между параллельными пластинами
Течение полимеров при переработке может осуществляться в каналах различной формы поперечного сечения. В коротких каналах течение обычно нестабилизированное. На гидродинамические характеристики потока влияют геометрические условия входа в канал. В сравнительно длинных каналах, на большом расстоянии от входа, течение потока полимерного материала можно считать стаби-
лизированным. Ламинарное стабилизированное течение является простейшим видом движения, изучение которого позволяет рассчитать распределение скоростей по сечению, объемный (массовый) расход потока, потери давления по длине канала.
Поскольку ламинарное течение в каналах является в большинстве случаев одномерным, рассматриваемая неньютоновская среда (полимерный материал) считается однородной, то уравнения движения (2.8), (2.9), записанные в напряжениях полного их тензора, значительно упрощаются.
Стабилизированное течение между параллельными пластинами. В этом случае уравнения движения для выбранной системы координат, показанной на рис. 3.1, если пренебречь массовыми силами, имеют вид
|
|
∂τ |
xx |
+ |
∂τxy |
= 0, |
(3.1) |
|
|
|
|
∂y |
|||
|
|
∂x |
|
|
|||
Рис. 3.1 |
где τxx и τxy – нормальное и касательное |
||||||
напряжения. |
|
|
|
|
|
||
34
Поскольку рассматриваемое течение является стабилизированным и продольная составляющая скорости потока полимерного материала (vx) является функцией только поперечной координаты y, то
τyy = – P.
Величина касательного напряжения (τxy) определяется реологическим законом течения, чаще всего, формулой Освальда де Виля.
Полимерный поток между пластинами может двигаться за счет перепада давления вдоль оси x (∂P / ∂x ≠ 0) на длине L, за счет дви-
жения одной пластины (течение Куэтта) при ∂P / ∂x = 0 или за счет этих комбинаций.
Обозначим касательное напряжение на пластине как τw. Тогда касательное напряжение на поверхности слоя потока толщиной h определяется по формуле
τxy = τw |
dy |
. |
(3.2) |
|
|||
|
0,5h |
|
|
Из реологического закона течения определяется градиент скорости потока как функция касательного напряжения:
γ = |
dvx |
= − f (τxy ). |
(3.3) |
|
|||
|
dy |
|
|
Поэтому для степенного закона течения Освальда де Виля, которому подчиняются большинство полимерных материалов, можно записать
dv |
|
|
τxy 1/n |
|
||
|
x |
= |
|
. |
(3.4) |
|
dy |
K |
|||||
|
|
|
||||
Подставляя значение τxy из уравнения лучим
∂P |
= K |
∂ |
|
∂vx n |
∂x |
|
|
. |
|
|
||||
|
∂y |
∂y |
||
(3.4) в формулу (3.1), по-
(3.5)
35
Если пластины неподвижны, то после интегрирования выражения (3.5) с учетом (3.2) и (3.3) имеем закон распределения скоростей по координате y:
vx = |
n |
|
1 ∂P 1/n h |
(n+1)/n |
− y |
(n+1)/n |
|
(3.6) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
n +1 |
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
KL ∂x |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На рис. 3.2 показаны эпюры скоростей параллельных слоев потока, построенные на основе уравнения (3.6) при различных значениях показателя n (1 – n = 0,5; 2 – n = 1,0; 3 – n = 1,5). Видна смена
|
фронтов течения после точки их |
||
|
пересечения по мере увеличе- |
||
|
ния или уменьшения динамиче- |
||
|
ского |
коэффициента |
вязкости |
|
в соответствии с реологическим |
||
|
законом Освальда де Виля. |
||
|
Рассматриваемый |
вид те- |
|
Рис. 3.2 |
чения |
имеет место, например, |
|
|
в зазорах технологической ос- |
||
настки при изготовлении полимерных композиционных материалов строительного назначения методом «глухого» прессования. Сходный характер течения наблюдается и при ремонтной «заделке» трещин шпателем.
Если верхняя пластина движется вдоль оси x с некоторой скоро-
стью v0 и |
∂P |
≠ 0, то из уравнения (3.5) имеем |
|
|||||||||
∂x |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂vx |
|
1 |
∂P 1/n |
1/n |
|
|
||||
|
|
∂y |
= |
|
|
|
|
y |
+C1 |
(3.7) |
||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
K |
∂x |
|
|
|
|||||
или после интегрирования |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
∂P 1/n |
1/n |
|
|
|
|||||
|
|
vx = |
|
|
|
|
|
y |
+C1 y +C2 , |
(3.8) |
||
|
|
|
K |
|
|
|||||||
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
||||
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где С1 и С2 – постоянные интегрирования, определяемые из следующих краевых условий: при y = h → vx = v0; при y = 0 → vx =0:
|
v |
|
1 ∂P 1/ n |
||
C1 = |
0 |
− |
|
|
h1/ n ; C2 = 0. |
h |
|
||||
|
|
K ∂x |
|
||
Подставляя указанные выражения С1 и С2 в формулу (3.8), получим окончательное выражение для vx:
|
1 ∂P 1/n |
|
1/n |
|
|
vx = |
|
|
y |
|
+ |
|
|
||||
|
K ∂x |
|
|
|
|
На рис. 3.3 представлены |
|||||
эпюры скоростей |
полимерного |
||||
потока для различных значений
n при vx = v0, когда y = h/2 и ∂P / ∂x ≠ 0. Видно, что при n > 1
(кривая 1) эпюра скоростей более вытянута по сравнению со случаем n = 1 (кривая 2). При безнапорном течении (∂P / ∂x =
v |
1 |
|
∂P 1/n |
|
|
||
y 0 |
− |
|
|
|
|
h1/n . |
(3.9) |
|
|
||||||
h |
|
K |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.3
= 0) полимерного материала (кривая 3) константы С1 и С2 соответственно равны 2v0/h и v0, а уравнение (3.8) принимает вид vx = v0 y / h;
при этом эпюра скоростей не зависит от реологических свойств исследуемого потока.
3.3.Течение полимерных материалов
вцилиндрической трубе
Как и для случая течения между параллельными пластинами, при движении неньютоновского потока в трубе круглого сечения справедливо уравнение (2.7), которое для ламинарного стабилизированного и изотермического течения можно записать так:
∂τxy |
+ |
∂τxz |
= |
∂P |
, |
(3.10) |
|
∂y |
∂z |
∂x |
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
37 |
если считать, что течение происходит вдоль оси x, а плоскостью поперечного сечения является поверхность y-o-z. Здесь удобно использовать цилиндрическую систему координат. Тогда уравнение (3.10) примет вид
1 |
∂ |
(rτ |
|
) = |
∂P . |
(3.11) |
|
|
rx |
||||||
r ∂r |
|
|
∂x |
|
|||
Если радиус используемой трубы равен R, то интегрируя за- |
|||||||
исимость (3.11) в пределах 0 ≤ r ≤ R |
получим формулу для τrx на |
||||||
стенке: |
|
|
|
|
|
||
|
τrx = |
r |
∂P . |
(3.12) |
|||
|
|
||||||
|
|
|
|
2 ∂x |
|
||
Подставляя выражение реологического закона Освальда де Виля, которому подчиняются большинство полимерных материалов,
|
∂v |
|
n |
|
в виде τrx = K |
|
x |
в уравнение (3.12) можно получить формулу, |
|
|
∂r |
|
|
|
описывающую течение степенной полимерной жидкости в цилиндрической трубе:
∂v |
|
|
r |
∂P 1/n |
|
|
x = |
|
. |
(3.13) |
|
|
|
||||
∂r |
|
2K |
∂x |
|
|
Интегрирование уравнения (3.12) по радиусу в пределах от r до R позволяет определить закон, описывающий распределение скоростей по сечению трубы при течении различных полимерных материалов (n < 1) в сравнении с потоком ньютоновской жидкости (n = 1) (рис. 3.4):
v R r
x = ∫r 2K
∂P 1/n |
|
|
n −1 |
1 |
|
∂P 1/n |
(R |
(n+1)/n |
|
(n+1)/n |
) = |
|||||||
|
dr = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−r |
|
||||||
|
2K |
|
|
|
||||||||||||||
∂x |
|
|
|
|
n |
∂x |
|
|
|
|
(3.14) |
|||||||
|
nR |
R |
|
|
∂P 1/n |
|
r (n+1)/n |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
|
|
|
. |
|
|
|
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2K |
|
|
∂x |
|
|
R |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38
Рис. 3.4
При этом максимальная скорость течения по оси трубы (r = 0)
|
= |
nR |
|
R |
∂P 1/n |
|
||
vxmax |
|
|
|
|
. |
(3.15) |
||
n +1 |
2K |
|||||||
|
|
|
∂x |
|
||||
Объемный расход полимерного потока, протекающего через данное сечение трубы, можно определить с помощью интеграла:
R R
Qv = 2π∫rvxdr = 2π∫rvxmax
0 |
0 |
− r (1 R
n+1)/n |
|
n +1 |
2 |
|
|||
dr = |
|
|
|
πR |
vxmax . (3.16) |
||
3n +1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Расход Qv определяется как произведение средней скорости течения vxmid на площадь поперечного сечения πR2:
Q = v |
x |
πR2. |
(3.17) |
v |
|
|
|
|
mid |
|
|
Заметим также, что массовый расход потока (Qm) равен произведению ρQv .
Путем комбинации формул (3.16) и (3.17) легко определить зависимость между максимальной и средней скоростями потока:
vx |
= |
n +1 |
|
vx . |
(3.18) |
||
3n +1 |
|||||||
max |
|
mid |
|
|
|||
В частности, при n = 1 |
(ньютоновский поток) имеем |
vx |
= |
||||
|
|
|
|
|
mid |
||
= 0,5vxmax .
39
Учитывая зависимость (3.18) уравнение еще и так:
|
n +1 |
|
|
r (n+1) / |
||
vx = |
|
|
vx mid 1 |
− |
|
|
3n +1 |
|
|||||
|
|
|
R |
|||
|
|
|
|
|
|
|
(3.14) можно записать
. (3.19)
Подставляя в выражение (3.17) значение максимальной скорости из уравнения (3.15) и проводя алгебраические преобразования, можно получить зависимость между объемным расходом и перепадом давления в трубе:
|
|
πn(3n +1) |
|
1 P |
1/n |
|
|
|||
Q |
= |
|
|
|
|
∂ |
|
R(3n+1)/n , |
(3.20) |
|
|
(n +1) |
2 |
|
|
|
|
||||
v |
|
|
2K ∂x |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где ∂P → ∆P = (P1 − P2 ); |
∂x = ∆L = (L1 − L2 ). |
|
|
|||||||
Из формулы (3.19) следует, что при течении в цилиндрической трубе полимерного материала, реологическое поведение которого описывается законом Освальда де Виля, его объемный расход пропорционален перепаду давления ∂P / ∂x в степени 1/ n и радиусу трубы в степени (3n −1) / n.
Описанные зависимости используются в инженерных расчетах при выборе необходимого оборудования и разработке технологических процессов получения новых полимерных композиционных материалов (табл. 3.1).
Таблица 3.1
Инженерные формулы для описания течений полимерных материалов, подчиняющихся реологическому закону Освальда де Виля
Величина |
Формула по Освальду де Вилю |
Формула |
|
|||||||||
|
(неньютоновский поток) |
для ньютоновской |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
жидкости |
|||||
Напряжение сдвига |
τw = R ∂P |
|
τw = R ∂P |
|
||||||||
у стенки трубы |
|
2 |
∂x |
|
|
2 |
∂x |
|
||||
Напряжение сдвига |
|
r |
|
|
r |
|
||||||
в потоке |
τx = τw |
|
|
|
τx = τw |
|
|
|
||||
|
|
|
||||||||||
|
|
R |
|
|
R |
|
||||||
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|