Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1004

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

7.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 133 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Действительно, если средний размер частиц диспергируемой фазы равен D, то минимальный объем пробы Vmin должен удовлетворять следующему очевидному условию:

V ≥	3πD3		.	(1.8)

min	2q(1	−q)

В этом случае линейный масштаб разрешения определяется неравенством

Imin ≥1,7D / 3 q(1−q).

(1.9)

1.8. Диспергирование

При диспергирующем смешении одновременно происходит разрушение агломератов (комков) твердых частиц, например, пигмента (красителя) или технического углерода (усиливающего наполнителя) в среде полимерного связующего. Необходимая степень диспергирования достигается в результате прохождения потока смеси через зону с повышенным напряжением сдвига, например, узкие зазоры в вальцах или между гребнем ротора и внутренней стенкой экструдера. Умеренное понижение температуры смешения способствует повышению касательных напряжений, разрушающих агломераты дисперсного наполнителя.

Тема 2. Основные законы реологии полимерных материалов

Рассматриваемые вопросы. Физико-математический аппарат описания закономерностей течения полимерных материалов. Принцип Германа–Эйлера–Даламбера. Закон сохранения массы (неразрывности). Закон сохранения количества движения. Уравнение На- вье–Стокса. Закон сохранения энергии. Коэффициент динамической вязкости. Коэффициент кинематической вязкости. Закон Бэлкли– Гершеля–Освальда де Виля.

2.1. Физико-математический аппарат описания закономерностей течения полимерных материалов

Основой физико-математического описания течения массы (m) полимерного материала в условиях Земли являются законы механики Ньютона.

Первый закон Ньютона. Закон инерции – свойство тела находиться в состоянии покоя ( vG = 0) или сохранять состояние равно-

мерного и прямолинейного движения (ускорение àG =	dv	= 0; v =
	dt

= const).

Второй закон Ньютона. Закон изменения состояния движения


массы. Скорость	изменения		количества			движения массы (m dv			;
								dt
mvG – количество движения) равна (зависит) по величине и по на-
правлению силе	(FG) или равнодействующей разных по величине
и направлению (вектору) сил:
	G	G	= m	dvG	=ρV	dvG	,
	F	= ma	= m	dt	=ρV	dt	,
				dt		dt

где V – объем массы потока.

Третий закон Ньютона (закон действия и противодействия). Внешняя сила или равнодействующая разных сил, воздействующая на массу, равна силе, с которой эта масса инерционно противодействует внешнему воздействию. Это равноценно сохранению количества движения.

2.2. Принцип Германа–Эйлера–Даламбера

Принцип Германа–Эйлера–Даламбера эквивалентен второму закону Ньютона: в каждый момент движения любой массы потока

сумма всех внешних сил (P), действующих на систему, уравновеши-

вается силой инерции этой системы (F). Все виды сил имеют свое

направление – вектор.

Для произвольного элемента объема (dV = dxdydz) потока с массой ∫ρdV согласно принципу Германа–Эйлера–Даламбера имеем

V
F + P = ∫ρadV ,	(2.1)
0

где правая часть уравнения определяет главный (результирующий) вектор сил как реакцию массы на внешнее воздействие (например, лопасти мешалок смесительного аппарата).

В прямоугольной (декартовой) системе координат (x, y, z) для потока полимерного материала рассматриваемый принцип можно записать в виде

∫		−	dv	∫	PsdS = 0,	(2.2)
	ρ a1	−	dV +		PsdS = 0,	(2.2)
			dt
V				S
где а1 – ускорение	массовых сил			из-за внешнего		воздействия;

а = dv/dt – ускорение силы инерции массы потока; S – площадь поверхности рассматриваемого объема массы V; Ps – внешняя (поверхностная) сила, действующая на единицу поверхности (dS) объема массы нормально к ней.

Вектор давления Ps в общем виде имеет компоненты:

Ps = Px cos(n, x) + Py cos(n, y) + Pz cos(n, z),

где (n, x), (n, y), (n, z) – углы между нормалью к поверхности в данной точке и соответствующими осями координат.

Согласно формуле Гаусса


∫ PsdS = ∫ Px cos(n, x) + Py cos(n, y) + Pz cos(n, z) dS =
S	S					(2.3)
		∂P	∂Py		∂P	(2.3)
		∂P	∂Py		∂P
	=	x +		+	z dV.
	=	x +	∂y	+	z dV.
	V∫	∂x	∂y		∂z
						23

С учетом уравнения (2.3) формула (2.2), характеризующая

принцип Германа–Эйлера–Даламбера, примет вид
		dv		∂P	∂Py		∂P
∫ ρ a1	−		+	x +		+	z dV = 0.	(2.4)
∫ ρ a1	−		+	x +	∂y	+	z dV = 0.	(2.4)
V		dt		∂x	∂y		∂z

Соотношение (2.4) положено в основу при выводе основных уравнений, описывающих физические законы течения полимерных материалов.

2.3. Закон сохранения массы (неразрывности) потока

Уравнение сплошности (сохранения неразрывности) среды в переменных Лагранжа («наблюдатель» в потоке) от начального момента времени (t0) к моменту времени t согласно закону сохранения массы имеет вид

m(t0 ) = m(t) = ∫ ρ0 dx0dy0dz0 = const.	(2.5)
V0

Уравнение сохранения массы в переменных Эйлера («наблюдатель» неподвижен по отношению к потоку) в прямоугольных координатах имеет вид

∂ρ	+	∂(ρvx )	+	∂(ρvy )	+	∂(ρvz )	= 0.	(2.6)
∂t		∂x		∂y		∂z

Формула (2.6) для большинства полимерных материалов (за исключением вспененных) упрощается (div v = 0) ввиду условия

∂ρ/ ∂t =0 или ρ = const.

В случае часто применяемых цилиндрических координат z), например, для исследования течения потока в трубе, имеем

∂ρ	+	1 ∂(ρrvr )		+	1 ∂(ρvθ )		+	∂(ρvz )	= 0.
∂t		r	∂r		r	∂θ		∂z

(r, θ,

(2.7)

2.4. Закон сохранения количества движения

Закон сохранения количества движения, или уравнение движения потока массы в прямоугольных координатах для компонент x, y, z:

∂∂Px = ∂τ∂xxx + ∂τ∂yyx + ∂τ∂zzx ∂∂Py = ∂τ∂xxy + ∂τ∂yyy + ∂τ∂zzy ∂∂Pz = ∂τ∂xxz + ∂τ∂yyz + ∂τ∂zzz

	∂vx +vx
−ρ	∂vx +vx
	∂t

−ρ ∂∂vty +vx

−ρ ∂vz +v

∂t x

∂∂vxx +vy ∂∂vxy +vy

∂∂vz +vy x

∂∂vyx +vz ∂∂vyy +vz

∂∂vz +vz y

∂vx
		;
	∂z
	∂vy		;	(2.8)

	∂z

∂vz
		.
∂z

Уравнение движения потока массы в цилиндрических координатах (r, θ, z):

∂

(rτ

)

∂τrθ

∂τrz

∂

−τθθ +r

−

∂r

∂θ

∂z

∂v

−ρ

r +v

r +

−

;

∂t

∂r

r ∂θ r

∂z

1 ∂P

1 ∂(r2τrθ )

∂τ

θθ

∂τ

θz

r ∂θ =

+ r ∂θ

−

∂r

∂z

(2.9)

−ρ ∂vθ

∂vθ

+ vθ ∂vθ + vrvθ +v

∂vθ

;

∂t

∂r

r ∂θ

∂z

∂P = 1

∂(rτrz )

+ 1

∂τθz

+ ∂τzz −ρ

∂vz +v

∂vz

vθ

∂vz +v

∂vz

∂z r ∂r

r ∂θ

∂z

∂t

∂r

r ∂θ

∂z

Уравнения (2.8) и (2.9) отражают реакцию массы (в виде девяти компонент касательных напряжений сдвига (τij) тензора напряжений), возникающую от действия внешней силы – давления P. Указанные зависимости имеют физическую форму второго закона Ньютона: скорость изменения количества движения массы равна прира-

щению равнодействующей (векторной сумме) сил, действующих на нее. В частности, для случая внешнего давления на массу потока удельное давление (p) равно P/S.

2.5. Уравнение Навье–Стокса

Уравнение Навье–Стокса учитывает внутреннее трение молекул потока через величину постоянной вязкости (µ = τ/ γ). Это случай

ньютоновского реологического поведения некоторых компонентов полимерных материалов, например, растворителей, низкомолекулярных пластификаторов. Ниже представлены компоненты уравнения Навье–Стокса в различных координатных системах, при этом g – ускорение свободного падения массы на Земле.

Прямоугольные координаты (x, y, z):

∂P

∂2v

∂v

+vx

∂v

x +vy

∂v

x +vz

∂v

∂x

=µ

∂x

2x +

∂y

2x +

∂z

2x +ρgx

−ρ

;

∂t

∂x

∂y

∂z

∂P

=µ

∂2vy

+ρg

−

∂y

∂x2

∂y2

∂z2

(2.10)

∂v

−ρ

+vx

+vy

+vz

;

∂t

∂y

∂z

∂x

v2z +

v2z

+ρgz

∂vz

+vx

∂vz +vy ∂vz +vz

∂P

=µ

∂

+ ∂

−ρ

∂z

∂x

∂y

∂z

∂t

∂x

∂y

Цилиндрические координаты (r, θ, z):

∂

1 ∂(rv

)

∂

=µ

−

∂ θ +

+ρgr −

∂r

∂θ

∂z

r ∂r

∂θ

∂v

v ∂v

∂v

−ρ

r +vr

θ −

+vz

;

∂r

∂z

∂t

r ∂θ

∂vz .

∂z

1 ∂P r ∂θ

∂

∂(rv

)

∂2v

2 ∂v

∂2v

=µ

θ +

r +

+ρg

−

∂r

r2 ∂θ2

r2 ∂θ

∂z2

(2.11)

−ρ ∂vθ +v ∂vθ

+ vθ ∂vθ + vrvθ +v

∂vθ

;

∂t

∂r

r ∂θ

∂z

∂P

∂

∂v

1 ∂2v

∂2v

∂z

=µ

+ρgz −

∂θ

∂z

∂r

∂v

−ρ

z +vr

z +vz

∂t

∂r

∂θ

∂z

Уравнения неразрывности (2.5), (2.6) и формулы Навье–Стокса (2.10), (2.11) вместе с граничными условиями после их решения (интегрирования) позволяют определить скорости и давления в ньютоновских жидкостях при изотермическом течении потока в технологическом оборудовании.

2.6. Уравнение закона сохранения энергии

Уравнение закона сохранения энергии в терминах скоростей изменения кинетической и потенциальной энергий потока можно получить, если умножить каждый член уравнения сохранения количества движения на скорость потока и учесть баланс тепловой энергии:

ρdUdt = −( q) − P( v) −(τ: v) + S,

где U – удельная (на единицу массы) внутренняя энергия; q – удельный (на единицу площади) тепловой поток; – оператор Гамильто-

на; S – скорость изменения поверхностной тепловой энергии.

Член P( v) представляет собой необратимую скорость роста

внутренней энергии на единицу объема потока при его сжатии, а член (τ: v) – скорость необратимого прироста внутренней энер-

гии на единицу объема вследствие диссипации энергии при вязком

(ньютоновском) течении потока. Здесь необходимо учитывать зависимость вязкости от температуры.

Удельный тепловой поток можно выразить через градиент температуры (T), используя обобщенную форму закона Фурье (k – константа Больцмана):

q = −k T.

Если внутреннюю энергию считать постоянной (после выхода технологического процесса на стабильный режим), то она определяется лишь температурой и удельным объемом потока. Учитывая несжимаемость (ρ = const) большинства полимерных материалов и их компонентов, а также равенство удельных теплоемкостей (cp, cv) формулу сохранения энергии можно записать в виде

ρcv dTdt = −( k T ) −(τ: v) + S.

Ниже представлено уравнение сохранения энергии в форме баланса потоков тепла и количества движения в различных системах координат.

Прямоугольная система (x, y, z):

∂T

∂q

∂qy

∂q

ρcv

+vx

+vy

+vz

= −

−

∂t

∂x

∂y

∂z

∂x

∂y

∂z

∂P

∂v

∂vy

∂v

∂vy

∂v

−T

−

τxx

+τyy

+τzz

−

(2.12)

∂x

∂y

∂z

∂x

∂y

∂z

∂T ρ

∂v

∂vy

∂v

∂vy

∂v

− τxy

+τxz

x +

z +τyz

∂y

∂z

∂y

∂x

∂z

∂x

Цилиндрические координаты (r, θ, z):

ρc

∂T +v

∂T

vθ

∂T +v

∂T

∂t

∂r

∂θ

∂z

∂(rq

)

∂q

= −

−

∂r

∂θ

∂z

−T

∂P

1 ∂(rv

)

1 ∂v

∂v

−

∂T ρ r

∂r

r ∂θ

∂z

(2.13)

−

∂vr +τ

1 ∂vθ +v

+τ

∂vz

−

∂r

θθ

∂z

∂θ

∂ v

1 ∂v

∂v

− τrθ r

r +

+τrz

z +

+τθz

z +

θ .

r ∂θ

∂z

∂r

∂θ

∂z

Для несжимаемой ньютоновской жидкости с постоянными ве-

личинами плотности (ρ), вязкости (µ =

τ/ γ ),

удельных теплоемко-

стей (причем, сp = cv), а также при постоянном внешнем тепловом потоке на массу уравнение сохранения энергии записывается так:

ρcv dTdt = k 2 T + 12 µ(γ: γ) + S,

где 2 – оператор Лапласа; γ = dv/dy – градиент скорости сдвига потока; (γ: γ) – произведение векторных компонентов.

Далее приведено уравнение сохранения энергии потока в форме связи параметров переноса в различных системах координат.

Прямоугольные координаты (x, y, z):

+vx

+vy ∂T

+vz

ρcv

∂T

= k

∂

T2 + ∂

T2 +

∂

∂t

∂x

∂y

∂z

∂x

∂y

∂z

∂v

∂vy 2

∂v

+ 2µ

(2.14)

∂x

∂y

∂z

∂v

∂vy 2

∂v

∂vy

∂v

+ µ

x +

∂x

∂z

∂y

∂z

Цилиндрическая система координат (r, θ, z):

ρc

∂T

+v ∂T

vθ

∂T

= k

∂

r ∂T

1 ∂2T

∂2T

∂r

r ∂θ

∂r

∂θ

∂z

∂t

∂z

∂r

∂v

+ 2µ

(2.15)

∂r

∂θ

∂z

∂v

1 ∂v

∂v

∂

+ µ

∂z

r ∂θ

∂r

∂z

∂θ

∂r

2.7. Коэффициент динамической вязкости

Коэффициент динамической вязкости в случае ньютоновского течения вдоль оси x определяется законом внутреннего трения Ньютона:

τ = −(+)µ dvdyx =µγ,

где µ = τ/ γ – динамический коэффициент вязкости, не зависящий от градиента скорости сдвига потока ( γ = dvx/dy), а ось y перпендику-

лярна оси течения жидкости (размерности коэффициентов указаны в табл. 2.1).

		Таблица 2.1
Размерность коэффициентов вязкости

Наименование коэффициента	Система СИ	Система MTS
Коэффициент динамической	1 Н·с/м2 (1 Па·с)	10 П (пуазейль)
вязкости	1 Н·с/м2 (1 Па·с)	10 П (пуазейль)
Коэффициент кинематической	1 м2/с	104 Ст (стокс)
вязкости	1 м2/с	104 Ст (стокс)

Физический смысл закона внутреннего трения Ньютона – касательное напряжение рассматривается как удельный поток импульса или количества движения, передаваемого через единицу площади в единицу времени:

<<< < Предыдущая 1 23 / 133 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20226.44 Mб8 Innovative power engineering..pdf
#
15.11.20222.77 Mб9 Сопротивление материалов..pdf
#
15.11.202221.68 Mб41.Проектирование устройств и систем с высокоскоростными соединениями.pdf
#
15.11.2022462.49 Кб9100.pdf
#
15.11.20227.59 Mб91004.pdf
#
15.11.20227.6 Mб71005.pdf
#
15.11.20227.65 Mб81009.pdf
#
15.11.20227.65 Mб81010.pdf
#
15.11.2022475.97 Кб0102.pdf
#
15.11.20227.91 Mб61024.pdf