1004

[F] =[aαvβηγ ],

[масса]×[длина]×[время]–2 =[масса]γ ×[длина]α+β–γ ×[время]–β–γ.

Отсюда γ = 1, α + β – γ = 1, β + γ = 2. Значит, α = 1, β = 1. В ре-

зультате находим:

F ≈ ηav.

То, что параметры входят в выражение для F так, как было найдено выше, а не иначе, ясно из следующих качественных соображений. Вязкая сила fvis, действующая на единицу объема жидкости, пропорциональна коэффициенту вязкости η и вторым производным скорости потока по координатам. Так как в задаче о движении шара в вязкой жидкости характерным размером, на котором существенно меняется скорость, являются размеры порядка размера шара, то вторые производные по порядку величины равны v/a2. Умножая fvis на объем, где силы вязкости отличны от нуля, т.е. на объем порядка а3, находим F ≈ ηav. Заметим, что сила трения, действующая на гармонический осциллятор, также пропорциональна скорости осциллятора.

2. Направим ось z вдоль оси трубы в направлении потока воды как жидкости. Предполагая жидкость несжимаемой, напишем уравнение движения в стационарном случае:

(v )v = − ρp + ηρ 2v.

Так как в данной задаче отлична от нуля лишь z-компонента скорости потока vz, причем vz зависит только от r – расстояния от оси трубы, то (v )v = 0.

Записав p = −∆p / L, где ∆p = (p1 – p2) – разность давлений на концах трубы, по которой течет жидкость, получим

2vz = −η∆Lp .

Это уравнение совпадает по виду с уравнением Пуассона для потенциала равномерно заряженного бесконечного цилиндра

121

ϕ = ϕ0 −ρr2 / 4ε0 , где ϕ0 – постоянная интегрирования. Заменяя ϕ на vz и ρ/ ε0 на ∆p / ηL, получим

vz (r) = v0 − 4∆Lpηr2.

Неизвестную константу v0 легко найти, если вспомнить, что на стенке трубы скорость жидкости равна нулю. Окончательно получим

vz (r) = 4∆Lpη(a2 −r2 ).

Поток массы жидкости плотности ρ через поперечное сечение (расход) трубки

Q =ρ∫vz (r)dS = a4ηπρ∆p. 8 L

Если провести аналогию между разностью потенциалов и разностью давлений, а также расходом жидкости и электрическим током, то под сопротивлением трубы надо понимать величину

R = ∆p = π8η4Lρ.

Q a

Аналогом конденсатора являются два сообщающихся сосуда, снизу соединенные трубкой, которую можно перекрывать краном так, что уровень воды в сосудах может быть разным.

3. Определим сначала распределение скоростей в потоке жидкости вдали от краев доски. Для этого выберем декартову систему координат, плоскость xz которой совпадает с дном бассейна, а ось z направлена вдоль скорости движения доски. Тогда из уравнения На-

вье–Стокса для стационарного течения следует d 2v / dy2 = 0. Из этого уравнения находим для скорости потока жидкости v =C1 y −C2.

122

Учитывая граничные условия v(0) = 0 и v(d) = u, определим постоянные интегрирования С1 и С2. Окончательно получим

v = du y.

Силу трения, действующую на единицу поверхности доски, найдем, исходя из формулы Sxz = η(dv / dy) = ηu / d, где η – коэффициент вязкости. При этом работа на преодоление силы трения, совершаемая в единицу времени и отнесенная к единице площади поверхности доски,

Sxz = ηdu2 .

Искомая же скорость диссипации энергии в единице объема

Sdxzu = ηdu22 .

4. Изделия и конструкции на основе полимерных материалов

Многочисленные виды материалов и изделий на основе полимеров.

123

Лопасть винта самолета Ан-70 (Россия) и корпусная конструкция авиадвигателя, изготовленные из высокопрочных стеклопластиков на основе полиэпоксидного связующего. Обеспечивают снижение массы в 3 раза при той же прочности (в сравнении с алюминиевым сплавом).

Вертолет К-32, изготовленный с применением полимерных композиционных материалов – органопластиков на основе полиамидного связующего и полиамидных волокон типа «АВС» (Россия), «кевлар» (США).

125

Высокомодульный, термостойкий композиционный материал на основе углеродной ленты, сплетенной из углеродных волокон, полученных крекингом полиамида, и эпоксидного полимерного связующего в конструкции створок грузового отсека аэрокосмической системы «Буран» (Россия).

Полимерные композиционные материалы, включая энергосодержащие – баллиститные пороха, смесевые твердые ракетные топлива (СТРТ), широко применяются в ракетной технике, прежде всего, военного назначения. Основа баллиститных порохов и твердых ракетных топлив – твердый раствор нитрата целлюлозы (полимера природного происхождения) и тринитрата глицерина. СТРТ – синтетическое полимерное связующее, наполненное частицами твердых компонентов – окислителя, металлического горючего.

Современный ракетный двигатель на твердом ракетном топливе (РДТТ) с раздвигающимся раструбом сопла Лаваля. В конструкции двигателя могут быть использованы полимерные связующие, армированные стеклянными, углеродными или органическими волокнами.

126

Твердотопливные ракеты и двигатели, разработанные и выпускаемые американской корпорацией «Мортон-Тиокол».

Российский скоростной катер на подводных крыльях «Метеор».

127

Учебное издание

ЕРМИЛОВ Александр Сергеевич, НУРУЛЛАЕВ Эргаш Масеевич

ТЕОРИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Учебное пособие

Редактор и корректор Н.В. Бабинова

Подписано в печать 16.02.2015. Формат 60×90/16. Усл. печ. л. 8,0. Тираж 100 экз. Заказ № 18/2015.

Издательство Пермского национального исследовательского

политехнического университета.

Адрес: 614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, к. 113.

Тел. (342) 219-80-33.

128