2.1.6. Нахождение частных решений неоднородных систем дифференциальных уравнений

dZ*k+Ps/dx = zPs_xZ*k+Ps_x + c ; +pj • xP • era" X' ;*

При интегрировании этой системы рассмотрим два случая:

1-й случай: Х5 Ф а. Интегрируя последовательно (2, а) уравнения, на­ чиная с первого, получим функции

Z* = M f\x ) - s (a~Xs)x,I = k+ 1,... k + p s,

где Aff (х) - некоторые многочлены по х не выше степени р. Отсюда:

z,= м(Р^х;-е°

♦ГР)

Замечание: коэффициенты многочленов Л/;- (х) можно найти срав­ нением коэффициентов при одинаковых степенях х в уравнениях (2.19) по­ сле подстановки в них вместо у* выражений (2, б) и сокращая на е1* Ф0.

2-й случай', когда Х5= а. Тогда система (2, а) принимает вид

=el^*+l + ^k+2 ' *Р>

•dZk+l/dx = E2Zk+2 + C*+3 ' * P >

dZk+ps /dx ~ Eps - l Zk+ps - l +Ck+ps ' * P -

Интегрируя последовательно эти уравнения, мы найдем частное ре­ шение в виде

z k+i00 = M $ +i - x , i = 1,2,. . . p s,

где M $ +i - есть многочлен не выше /-й степени по х.

ОтсюдаZk+i(x) = х * - М ^ - е ” , / = 1 , 2 , . . . Л .

Следовательно, система (2.19) будет иметь частное решение

у/х)= M®+i (х)-еах, / = 1,2, . . . п,

где Mj ^ +р\х) - многочлен не выше (р + р)-й степени по х, ар - есть наивысший показатель степени у элементарных делителей (ХЕ - А), которые имеют следующий вид (X - а)5.

2.2. Параллельные и обратимые реакции второго порядка

Параллельные и обратимые реакции второго порядка описываются системами линейных неоднородных дифференциальных уравнений, кото­ рые с помощью линейных преобразований сводятся к уравнению Риккати.

2.2.1. Свойства уравнения Риккати

Рассмотрим общее уравнение Риккати, записанное в виде

Введем следующие обозначения для коэффициентов [1]:

f(x) = Ь\(х)\ g(x) = ь2(х); h(x) = Ьф).

Выберем подстановку в виде

где Е(х) = exp f b2(x)dx.

Полагая теперь у = Е(х) rj(^), где £ - промежуточный аргумент, который определяется по формуле £ = -\b\(x) E(x)dx после преобразований прихо­ дим к уравнению вида

h(x) • +Ц) + Ьг(х) = 0. (2.23)

Причем х, в Ь\(х)у Ьф) и Е нужно выразить через £. При Ьф) = 0 уравне­ ние Риккати сводится к уравнению Бернулли, и подстановка Щх) = у”1 приводит к линейному уравнению:

2.2.2. Метод решения уравнения Риккати

Общее уравнение Риккати тесно связано с линейными дифференци­ альными уравнениями второго порядка. Если при а < х < Ъфункции Ь\(х) и Ьф) непрерывны и Ъ\(х) - дифференцируема, то каждое решение у(х) уравнения Риккати, определяемое в интервале (а, Р), переводится преобра­ зованием

в отличное от нуля решение данного линейного дифференциального уравнения:

называется уравнением Риккати специального типа.

Замечание 2: для уравнения (2.27) дифференциальное уравнение вто­ рого порядка имеет вид

U" = а\ b4 xaU

Обратно, если Ь\(х) Ф0, то каждое ненулевое решение U(x) этого ли­ нейного уравнения переводится преобразованием вида

V

у(х) = -

U -bХ(х)

в решение уравнения Риккати.

Замечание: линейное уравнение часто решается гораздо проще, чем исходное уравнение Риккати.

Если известно одно частное решение ф(х), где хе(а, Р), то нахождение общего решения сводится к решению линейного уравнения первого поряд­ ка. Функция у(х) будет отличным от у(х) решением уравнения Риккати

Для любых четырех решений фууравнения Риккати двойное отношение

постоянно.

Если известны три решения, то все остальные могут быть получены путем приравнивания (2.28) постоянной величине. Если четыре функции

ц>у(х) имеют в интервале (а, Р) непрерывные производные и выполнено ус­ ловие

ФгФ4 - Ф2 *Фз * 0, то совокупность всех функций

Ф1 + СФ2 Фз + СФ4

удовлетворяет некоторому уравнению Риккати.

Замечание: в силу тесной связи между уравнением Риккати и важны­ ми типами линейных уравнений второго порядка следует всегда пытаться отыскать те случаи, когда могут быть легко найдены одно или даже все решения этого уравнения.

Рассмотрим эти случаи:

1) b\(x) + b2(x) + b2(x) a 0,

c + ffofrj + b2(xj)- E(x)dx - E(x) c + \{h(x) + *3(*)) ■E(x)dx + E(x) ’

где Eft) = exp J (Z>iftj - b2(x))dx;

2) (более общий случай): существуют такие постоянные р и /и, причем |р | + | /и | > 0, что

р 2Ь\(х) +р т - Ь2(х) + т • by(x) s 0.

Если т = 0, т.е. Ь\(х) = 0, то уравнение сводится к линейному, а при ш * 0

оно сводится подстановкой у - рт~1 + t/ft) к уравнению Бернулли

Если при соответствующим образом подобранной функции Ф(х) и при

V = (Ф - Ь2(х))/(1Ь\(х)) будет

2

= 6i(3c) ' v|/ - Ф\|/ + \|/',

то у = \|/(Зс) есть решение. Это условие выполняется, если Ь\(х), Ьг(х), Ь^(х) связаны одним из соотношений: