2.1.3.Определитель Вронского

Для доказательства составим следующие п линейных дифференци­ альных уравнений относительно функций у\(х), У2(х) , ... 9уп(х):

где / = 1, 2,...,/?.

Легко увидеть, что этим уравнениям удовлетворяют функции, запи­ санные в столбцах (2.5). Кроме того, так как определитель, составленный из функций (2.5), нигде не обращается в нуль, то все эти уравнения можно

Cfy:

разрешить относительно — где / = 1,2, ..., п. Полученная система и бу- dx

дет удовлетворять всем требуемым свойствам описанным выше.

2.1.4. Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений первого порядка

Сформулируем сначала теорему о структуре общего решения [12]. Теорема. Пусть векторная функция ц>(х) представляет собой одно ка­

кое-либо частное решение неоднородной системы (2.2) , тогда всякое ре­ шение этой системы можно представить в следующем виде: у(х) = v(x) + + ф(х)9где функции (р(х) и \(х) удовлетворяет однородной системе (2.9').

Справедливо и обратное утверждение: всякая функция у(х) рассмотренного вида удовлетворяет системе (2.2).

Сначала докажем прямое утверждение:

Следствие: всякое решение неоднородной линейной системы можно представить в виде

у = ф+ 'LCky (k),

к

где к = 1, 2, ---- п.

Функции У*-* образуют фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы, а С*- некоторые однозначно определяемые

При комплексных Cj и у/х) имеет место следующее равенство:

(£ Сj(f>j(x))'x = H C j^j(x)

(дифференцирование идет по х). Линейную систему с постоянными коэф­ фициентами запишем в следующем матричном виде:

где А - квадратная матрица, составленная из коэффициентов, af(x) и у(х) - заданная и искомая матрицы - столбцы (векторы).

Основная идея решения системы (2.14) состоит в том, чтобы с помо­ щью линейного преобразования искомого вектора привести эту систему к наиболее простому виду [14]. Пусть дано линейное преобразование в виде

п

= ЦкуУ,-, где /=1, 2,

М

и тогда можно коротко записать

z = ку ,

где z(x) - новая искомая матрица-столбец, зависящая от х, а к - квадрат­ ная матрица выбранного преобразования.

Будем рассматривать невырожденные преобразования, то есть такие, для которых det к * 0 и у = k~lz.

Подставляя это выражение в равенство (2.14), получим:

— = Ak~*z + f(x). dx

Подберем матрицу преобразования в жордановой нормальной форме

В =

Пnj

Каждая клетка П, представляет собой квадратичную матрицу некоторого порядка лу(1 <rtj< п) вида

На главной диагонали стоит один из корней характеристического уравнения матрицы А, то есть det (А - ХЕ) = 0, где Е - единичная матрица, на соседней диагонали снизу стоят единицы, а остальные элементы нули. При этом nj равно степени так называемого элементарного делителя

(к - X j)ni , соответствующего корню характеристического уравнения kj.

Рассмотрим наиболее простой случай, когда все элементарные дели­ тели первой степени (если все корни характеристического уравнения раз-

/V I

личны), все клетки имеют первый порядок, то есть матрица В имеет диа­ гональный вид. Введем обозначения 7 = ky,g(x) = kf(x), тогда для 7(х) получится следующая система уравнений:

Если теперь перейти от матричной записи системы к обычной скаляр­ ной, то получится к-групп уравнений, отвечающих к - жордановым клет-

/V I

кам матрицы В , где первая группа имеет следующий вид:

Для дальнейшего сделаем замену этих функций по формулам, которые на­ зываются «растяжением» функций:

**an\-\

где в равенстве (2.17'):

a„i_i любыми наперед заданными отличными от нуля числами; особый интерес представляют следующие соотношения: пусть например, а\ = 1,

тогдаа2 = а ь а3 = а2а 2, ... , аЛ1= аЛ11а Л1- 1- Запишем теперь систему линейных дифференциальных уравнений в

каноническом виде [10]: