Статистические методы исследования качества объектов производства

Рассчитаем критерий t:

чениях средней стойкости двух партий сверл существенно.

2.4. Критерий согласия, используемый для установления равенства двух дисперсий

Две выборочные дисперсии S12 и S22 двух нормальных генеральных совокупностей сравнивают с помощью критерия Фишера F. Для этого вычисляют отношение большей дисперсии к меньшей. Если дисперсионное отношение F = S12/ S22 при S12 >S22 больше Fкр, то принимают гипотезу о неравенстве двух генеральных дисперсий (S12 ≠ S22). В случае соблюдения условия F ≤ Fкр принимают гипотезу о равенстве генеральных дисперсий (S12 = S22).

Значения Fкр определяют по табл. П.4, в зависимости от принятого уровня значимости α и степени свободы: f1 = n1 – 1, f2 = n2 – 1.

Ч и с л о в о й п р и м е р. Выполним оценку значимости расхождения выборочных дисперсий при испытании стойкости двух партий сверл, приведенных в табл. 2, при 5%-ном уровне значимости.

Определим численные значения дисперсий:

S12 = 6,942 = 48,16, S22 = 7,3042 = 53,35. S22 > S12.

Рассчитаем критерий F = S22/S12 = 53,35/48,16 = 1,11.

По табл. П.4 для f1 = 16 – 1 = 15 и f2 = 14 – 1 = 13 находим Fкр 1–0,05 = 2,6.

21

F < Fкр, что говорит об отсутствии значимого различия в дисперсиях стойкости испытанных сверл, т.е. может быть принята «ну-

левая гипотеза» о равенстве дисперсий в двух выборочных испытаниях (S12 = S22).

2.5. Критерии согласия, используемые для установления доверительных интервалов определения выборочных характеристик генеральной совокупности

Выборочные числовые характеристики являются надежными количественными оценками генеральных характеристик лишь при большом объеме выборки. При ограниченных объемах испытаний необходимо указать степень точности и надежности оценок генеральных характеристик. Представление о точности и надежности оценок дают доверительные интервалы.

Для любого малого уровня значимости α можно указать значение ∆x = θ−θ , при котором

P[(θ−∆x)<θ< (θ+∆x)]=1−α,

где θ – выборочная характеристика для параметра θ.

Если многократно повторять выборки и каждый раз находить доверительные интервалы, то с доверительной вероятностью P =1−α доверительные интервалы накроют истинное значение параметра θ.

Относительное отклонение выборочного среднего x от генерального среднего M {x} определяются величиной распределения Стьюдента

t = x −M {x},

σ{x}

где σ{x} – выборочное среднее квадратическое отклонение среднего случайной величины.

22

Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического взаимно независимых случайных величин в n раз меньше среднего квадратического отклонения S каждой из величин. С учетом этого σ{x}= S n .

Следовательно, ошибку ∆x определения Χ можно записать

как

∆x = ± tкр S n .

Таким образом,

P {x −tкр S n < x < x +tкр S n} =1−α.

Доверительные интервалы для среднего квадратического отклонения σ нормально распределенной генеральной совокупности с доверительной вероятностью Р выражаются неравенством

σχm,1+2p < σ<σχm,1−2p ,

Ч и с л о в о й п р и м е р. Определить доверительные интервалы для средних значений стойкости и средних квадратических отклонений стойкости по результатам испытаний двух партий сверл, приведенных в табл. 2, при 5%-ном уровне значимости (α = 0,05), что соответствует доверительной вероятности Р = 0,95.

Следовательно, доверительный интервал среднего квадратического

квадратического отклонения σ2 будет находиться в диапазоне

7,304 0,739 < σ2 < 7,304 1,55, или σ2 [5,4; 11,32].

3. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ

КАЧЕСТВА ОБЪЕКТОВ ОБРАБОТКИ

Статистические исследования качества объектов обработки выполняются на основании выборок, объем которых должен быть достаточно велик (не менее 25–30). Выборка по конкретному пара-

24

метру качества представляет собой результаты наблюдения (измерения и т.д.) этого параметра качества и сводится в таблицу в порядке их получения в виде фактических значений параметра или в виде отклонений от номинального значения исследуемой случайной величины х. Если значение параметра качества получают измерением, то измерения осуществляют измерительным устройством с погрешностью измерения не более 0,2 допуска на контролируемый параметр качества. Эти результаты представляют собой первичную информацию, анализ которой позволяет установить эмпирические параметры распределения случайной величины показателя качества объекта обработки. Этими параметрами любого распределения случайной величины являются: среднее арифметическое значение x случайной величины х; среднее квадратическое отклонение σ случайной величины х от x. Они определяются из следую-

щих выражений:

x = 1 ∑n xi ,

n i =1

где хi – действительное значение случайной величины х; n – число наблюдений (испытаний) величины х;

Важной характеристикой эмпирического распределения показателей качества является поле рассеяния ω (размах) случайной величины х:

ω= xmax − xmin ,

где xmax , xmin – соответственно наибольшее и наименьшее значение параметра качества в выборке.

25

4.ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

Впроизводстве при анализе и контроле показателей качества объектов обработки технологом наиболее часто решаются следующие задачи:

– определения показателей качества на основе статистической обработки выборок, с оценкой достоверности полученных значений методом доверительных интервалов (задачи 1, 2);

– сравнение показателей качества с заданными значениями или между собой с помощью проверки статистических гипотез (за-

дачи 3–7);

– определение закона распределения показателей качества с проверкой соответствия распределения теоретическому, а также выполнение анализа точности обработки методом кривых распределения (задачи 8–10);

–обеспечение изготовления изделий без брака (определение процента вероятного брака, а также числа изделий, требующих доработки), при этом необходимо доказать гипотезу о распределении показателя качества по нормальному закону (задачи 11–14);

–корректировка технологических процессов в ходе производства с помощью выборочного контроля показателей качества, выполнение анализа точности обработки с использованием контрольных карт средних арифметических значений, размахов и средних квадратических отклонений (задачи 15, 16).

При решении на практических занятиях приведенных задач следует:

–уяснить содержание задачи;

–ознакомиться с теоретическими положениями, знание которых позволяет успешно решить задачу;

–конкретизировать задачу в форме постановки задачи, согласно своему варианту;

–решить поставленную задачу;

–оформить результаты решения задачи с приведением постановки задачи, последовательности операций решения задачи, их содержания и результатов выполнения каждой операции.

26

Задача 1. Определить среднее значение параметра шероховатости Ra и среднее квадратическое отклонение σRa (для каждой из мгновенных выборок, а также для всех выборок) по результатам измерений шлифовальных поверхностей валов (табл. 3). Задавшись доверительной вероятностью (1 – α), определить доверительные интервалы для величин Ra и σRa.

Таблица 3

Значение параметров шероховатости Ra, мкм, шлифовальных поверхностей валов (к задаче 1)

Задача 2. Определить среднее квадратическое отклонение σRa параметра шероховатости Ra методом размахов по данным задачи 1.

Задача 3. На токарном полуавтомате изготавливают втулки. Из партии втулок взята выборка объемом n = 20 и измерены наружные диаметры втулок. По результатам измерений подсчитаны средний диаметр d = 60,12 мм и среднее квадратическое отклонение σ = 0,32 мм. Полуавтомат настроен на размер d0 = 60 мм. Проверить правильность настройки станка.

Задача 4. Погрешность закрепления εз в пневматическом приспособлении характеризуется средним квадратическим отклонением σ = 0,224 мкм. Приспособление было усовершенствовано для стабилизации силы закрепления. Погрешности закрепления на новом приспособлении следующие: 0,6; 0,5; 0,4; 0,5; 0,3 мкм. Можно ли считать усовершенствование эффективным?

27

Задача 5. На двух станках изготавливают втулки. Результаты измерений 10 деталей, изготовленных на первом станке, и 8 деталей, изготовленных на втором станке, следующие: d1 = 30,02; 30,12; 30,24; 30,16; 30,20; 30,08; 30,16; 29,98; 30,00; 29,96 мм; d2 = 30,02; 30,04; 30,06; 30,08; 30,05; 30,24; 29,98; 30,10 мм. Проверить предпо-

ложение о том, что станки обладают различной точностью. Задача 6. По результатам измерения диаметров пяти валов,

обработанных на токарном полуавтомате, сразу после настройки станка и через некоторый промежуток времени получены следующие значения выборочных средних: d1 = 30,01 мм и d2 = 30,042 мм,

дисперсий σ12 = 0,001 мм2 и σ22 = 0,004 мм2. Определить, изменился

ли настроечный размер.

Задача 7. Сравнить среднее значение наибольшей высоты профиля шероховатости Rmax шлифовальных поверхностей валов на двух технологических режимах в зависимости от уровня значимости α, объема n мгновенных выборок и дисперсий σ2 (табл. 4).

Таблица 4

Исходные данные к задаче 7

Задача 8. По результатам измерений (табл. 5) линейных размеров валов от базового торца до уступа, обработанных на токарном полуавтомате, построить эмпирические гистограмму и полигон рас-

28

пределения. Проверить предположение о том, что распределение размеров подчиняется нормальному закону. Определить параметры такого распределения.

Таблица 5 Отклонения линейных размеров валов (к задачам 8, 10)

Задача 9. По результатам измерений (табл. 6) шлифовальных

−00,3

шеек валов диаметром 80 f 7 −0,06 мм проверить предположе-

ние о том, что распределение размеров подчиняется закону Гаусса.

Таблица 6 Частота m повторяемости измеренных размеров (к задаче 9)

Задача 10. По данным задачи 8 определить, по какому квалитету точности может быть выполнена токарная обработка валов, если номинальный размер от базового торца до уступа 28; 52

и 165 мм.

Задача 11. Определить, возможна ли на токарном полуавтомате обработка валов диаметром 40–0,25 мм с заданным отклонением, если выборочные среднее и среднее квадратическое отклонения, вычисленные по результатам измерений n = 20 деталей, составили

d = 39,88 мм и σ = 0,025 мм.

Задача 12. На револьверном станке обрабатывают партию ва-

лов 300 шт. диаметром 30–0,1 мм. По результатам измерения пробных валов величины среднего и среднего квадратического отклоне-

30