Статистические методы исследования качества объектов производства

Закон равной вероятности имеет два параметра:

Интегральная функция равномерного распределения для интервала a ≤ x ≤ b записывается в виде

F (x) = ∫x ϕ(x)dx = bx −−aa .

a

Фактическое поле рассеяния показателей качества деталей партии ∆ = 2 3 σ ≈3,46σ.

1.3.3. Закон равнобедренного треугольника (закон Симпсона)

При обработке заготовок с точностью 6, 7, 8-го квалитетов распределения их размеров в большинстве случаев подчиняются закону Симпсона. К распределению по закону Симпсона приводит сложение двух случайных величин, подчиняющихся закону равной вероятности при одинаковых параметрах распределения (например, связанных с переменной жесткостью элемента технологической системы и прогрессирующим изнашиванием и затуплением рабочего инструмента, особенно в начальный период обработки).

Плотность вероятности случайной величины, подчиняющейся закону Симпсона, имеет следующее выражение:

Интегральная функция распределения по закону Симпсона записывается в виде

Фактическое поле рассеяния показателей качества деталей партии

∆= 2a = 2 6 σ ≈ 4,9σ.

1.3.4.Закон эксцентриситета (закон Релея)

Распределение таких существенно положительных величин, как эксцентриситет, биение, разностенность, непараллельность, неперпендикулярность, овальность, конусообразность и некоторых других, подчиняется закону Релея.

Распределение по закону Релея формируется тогда, когда случайная величина R является геометрической суммой двух случайных величин x и y:

R = x2 + y2 ,

каждая из которых подчиняется закону нормального распределения с параметрами x = y = R, σx =σy = σ0.

Закон распределения Релея – однопараметрический, с функцией распределения следующего вида:

−R2

ϕ(R)= R e(2σ02 ),

σ02

где σ0 – среднее квадратическое отклонение значений случайных величин x и y.

12

Интегральная функция распределения по закону Релея записывается в виде

Среднее арифметическое R случайной величины, среднее квадратическое отклонение σR связаны со средним квадратическим

отклонением σ0 случайных величин x и y соотношениями

σR =0,655 σ0 , R =1,92 σR =1,258 σ0.

Фактическое поле рассеяния показателей качества деталей партии ∆ =5,252σR =3,44σ0.

2.СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ

ВИССЛЕДОВАНИЯХ КАЧЕСТВА ОБЪЕКТОВ ПРОИЗВОДСТВА

2.1.Задачи статистической проверки гипотез

Статистическая проверка гипотез, которая проводится с эмпирическим распределением изучаемых случайных величин, играет важную роль в исследованиях показателей качества объектов обработки.

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений. Например, если эмпирическая кривая распределения большой выборки по своему внешнему виду приближается к какому-либо теоретическому закону распределения, то возникает вопрос, можно ли данную выборку рассматривать как выборку из генеральной совокупности, имеющей распределение именно по этому закону. Решение этого вопроса имеет важное значение для исследователя, так как знание закона распределения изучаемой характеристики качества объекта обработки позволяет извлечь из эксперимента необходимую ин-

13

формацию по управлению при обработке этой характеристикой качества.

Решение подобных задач в математической статистике производится путем постановки и проверки так называемой «нулевой гипотезы». При этом под «нулевой гипотезой» подразумеваются допущения об отсутствии интересующего нас различия между выборками или их статистическими характеристиками. Например, нас интересует, можно ли по полученному распределению в большой выборке из генеральной совокупности считать, что последняя имеет нормальное распределение. Для того чтобы прийти ко вполне определенному заключению, хотя и вероятностного характера, мы делаем гипотетическое допущение, что распределение выборки несущественно отличается от нормального, и следовательно, на основании закона больших чисел можно считать, что и генеральная совокупность имеет нормальное распределение. Получается, что мы выдвигаем «нулевую гипотезу» об отсутствии различия между эмпирическими распределением и теоретическим нормальным или гипотезу о том, что данная выборка взята из нормальной совокупности. Теперь надо проверить эту гипотезу и в результате проверки либо отбросить ее, либо принять.

Для проверки гипотез в математической статистике пользуются рядом критериев, которые называются критериями согласия. Статистическим критерием называют специально подобранную случайную величину Ккр, точное или приближенное распределение которой известно, которая служит для проверки «нулевой гипотезы». Наблюденным значением К называют значение критерия, вычисленное по выборкам. Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых «нулевую гипотезу» от-

вергают. Критическими точками (границами) Ккр называют точки,

отделяющие критическую область от области принятия гипотезы. Для того чтобы принять или забраковать гипотезу при помощи

этих критериев, устанавливают уровни их значимости. Уровень значимости α представляет собой достаточно малое значение вероятности, отвечающее событиям, которые в данных условиях ис-

14

следования можно считать практическим невозможным. Обычно принимают α = 5, 2, 1 %, что соответствует классификации явлений на редкие (α = 5 %), очень редкие (α = 1 %) и чрезвычайно редкие (α = 0,1 %). После выбора того или иного уровня значимости крите-

рия устанавливается уровень доверительной вероятности Р = 1 – α,

с которой принимается или отвергается «нулевая гипотеза». Очень часто критические значения критерия согласия снабжают индексом, отражающим уровень значимости (Ккр 1–α).

Статистические приемы проверки гипотез не обладают полной определенностью. Если используемый критерий согласия попадает в область допустимых значений, то еще нельзя сделать вывод о правильности гипотезы, а можно лишь заключить, что наблюдаемое значение критерия не противоречит этой гипотезе, что можно принять допустимость гипотезы до тех пор, пока более обстоятельные исследования с помощью более точных критериев, или при увеличенном числе наблюдений, не подтвердят это или не приведут к противоположному заключению.

Статистическими методами нельзя пользоваться формально, их необходимо сочетать с анализом физической сущности изучаемого явления. Когда гипотеза, основанная на теоретическом анализе физической сущности явления, подтверждается статистическими методами, то ее можно считать достаточно достоверной.

В статистических исследованиях качества объектов обработки наиболее часто проверяют гипотезы:

–о законе распределения случайной величины показателя качества объекта обработки,

–о равенстве двух выборочных средних,

–о равенстве двух и более дисперсий,

–о доверительных интервалах определения выборочных характеристик генеральной совокупности.

Последовательность проверки гипотез включает в себя сле-

дующие операции:

1. Формируется «нулевая гипотеза».

2. Выбирается уровень значимости.

15

3.Выбирается критерий согласия и определяется его критическое значение (по соответствующей таблице математической статистики).

4.Вычисляется по результатам выборки расчетное (выборочное) значение критерия согласия.

5.Принимается или отвергается «нулевая гипотеза».

2.2. Критерии согласия, используемые для установления распределения случайной величины

Для установления закона распределения генеральной совокупности по выборкам из нее пользуются рядом критериев, из которых наибольшее практическое применение имеют критерий λ А.Н. Колмогорова, критерий χ2 Пирсона и критерий W.

Остановимся на выборе и использовании критерия W. Этот критерий при наличии ограниченных данных для проверки гипотезы о законе распределения случайной величины является более предпочтительным, чем широко распространенный χ2 -критерий

Пирсона. Для проверки достаточно иметь от 3 до 50 испытаний исследуемого параметра качества объекта производства. Он может применяться для нормального, логарифмически нормального и экспоненциального распределений.

При проверке гипотезы рекомендуется соблюдать следующую последовательность операций:

1. Расположить данные выборки исследуемого параметра качества в ранжированный ряд, x1 < x2 < x3 ... < xn.

3.Рассчитать еще одну вспомогательную величину

b = an (xn − x1 )+ an−1(xn−1 − x2 )+ ... + an−k +1(xn−k +1 − xk )=

16

=∑k an−i +1(xn−i+1 − xi ),

i=1

где k = n/2 при четном n, k = (n – 1)/2 при нечетном n.

Значения an−i+1 для i = 1, 2, …, k и n = 3…50 приведены

втабл. П.1.

4.Рассчитать критерий W =b2 S 2 . Рассчитанное значение W

сравнивается с табличным (табл. П.2). В табл. П.2 приведены минимальные значения Wкр для уровней значимости α = 1, 2, 5, 10, 50 % и различных n, полученных при условии нормальности распределения. Если рассчитанное значение W превышает табличное значение для выбранного уровня значимости, то гипотеза о нормальности распределения может быть принята.

Ч и с л о в о й п р и м е р. Проверим по W-критерию гипотезу о нормальном распределении стойкости метчиков М 12×1,75 при 5%-ном уровне значимости (α = 0,05). Значения стойкости метчиков в ранжированной последовательности приведены в табл. 1.

Рассчитаем значение b с использованием данных табл. П.1

и табл. 1 при k = n/2 = 10/2 = 5.

5

b = ∑an−i+1 (xn−i+1 − xi ) = 0,5739(155 −11) +0,3291(145 −27) +

i=1

+0,2141(138 −52)+0,1224(124 −65)+0,0399(103 −87)=147,74.

Находим b2 = 147,742 = 21 827.

Вычисляем критерий W:

W =b2S 2 = 21827 / 23162 = 0,942.

По табл. П.2 устанавливаем Wкр 1–0,05 = 0,842.

Вычисленное значение критерия превышает табличное. Следовательно, с доверительной вероятностью Р = 1 – α = 0,95 гипотеза о нормальном распределении стойкости метчиков подтверждается.

2.3. Критерии согласия, используемые для установления равенства двух выборочных средних

Вследствие случайного характера результатов испытаний и неизбежного разброса их значений оценка этих результатов проводится по средним значениям. При анализе различных данных, полученных в результате испытаний каждой из двух сравниваемых совокупностей, возникает вопрос, обусловлено ли это различие исключительно неизбежным случайным разбросом данных (и тогда нет оснований говорить о существенном различии качества сравниваемых совокупностей), или это различие столь существенно, что его уже нельзя объяснить только случайным разбросом, и следовательно, можно сделать определенный вывод о преимуществах той или иной совокупности.

Допустим, что проверяется гипотеза о равенстве двух выборочных средних, т.е. гипотеза о том, что средние различаются случайно. Эта проверка производится при помощи t-критерия Стьюдента. Если выборки берутся из нормальных генеральных совокупностей с равными дисперсиями, то

18

дисперсии.

Величина t подчинена распределению Стьюдента и может быть оценена при помощи табл. П.3. При оценке полученного значения t по табл. П.3 необходимо принимать f = n1 +n2 −2. Таблица позво-

ляет найти критическое значение tкр критерия Стьюдента, соответ-

ственном, случайном расхождении между выборочными средними должна быть отброшена.

Рассмотренный метод сравнения и оценки расхождения выборочных средних пригоден для малых выборок (n < 20). Применение критерия связано с предположением о равенстве дисперсий выбо-

19