2978

Отметим, что при = 1 распределение Вейбулла переходит в экспоненциальное распределение, а при = 2 – в распределение Рэлея.

На рис. 3.7 при < 1 интенсивность отказов монотонно убывает (период приработки), а при > 1 монотонно возрастает (период износа). Следовательно, путем подбора параметра можно получить на каждом из трех участков такую теоретическую кривую (t), которая достаточно близка к экспериментальной кривой, и тогда расчет требуемых показателей надежности можно производить на основе известной закономерности.

Распределение Вейбулла достаточно хорошо подходит для ряда механических объектов (к примеру, шарикоподшипников), оно может быть использовано при ускоренных испытаниях объектов в форсированном режиме, кроме того, применяется для аппроксимации различных несимметричных распределений в математической статистике.

4. Критерии согласия

При анализе вариационных рядов распределения большое значение имеет тот факт, насколько эмпирическое распределение признака соответствует теоретическому распределению (нормальному, логарифмически-нормальному, равномерному и т.д.). Для этого частоты фактического распределения необходимо сравнить с теоретическими частотами, которые характерны для

21

конкретного распределения. Значит, нужно по фактическим данным вычислить теоретические частоты кривой фактического распределения, являющиеся функцией нормированных отклонений. Иначе говоря, эмпирическую кривую распределения нужно выровнять кривой нормального распределения.

Объективная характеристика соответствия теоретических и эмпирических частот может быть получена при помощи специальных статистических показателей, которые принято называть критериями согласия.

Критерием согласия называют критерий, который позволяет установить, является ли расхождение эмпирического и теоретического распределений случайным или значимым, т.е. согласуются данные наблюдений с выдвинутой статистической гипотезой или нет.

Если расхождение окажется случайным, то считают, что данные наблюдений (выборки) согласуются с выдвинутой гипотезой о законе распределения генеральной совокупности, и, следовательно, гипотезу принимают; если же расхождение окажется значимым, то данные наблюдений не согласуются с гипотезой, поэтому ее отвергают.

Обычно эмпирические и теоретические частоты различаются следующим образом:

–расхождение случайно и связано с ограниченным количеством наблюдений;

–расхождение неслучайно и объясняется тем, что статистическая гипотеза о законе распределения генеральной совокупности ошибочна.

Таким образом, критерии согласия позволяют опровергнуть или подтвердить правильность выдвинутой при выравнивании ряда гипотезы о характере распределения в эмпирическом ряду.

Эмпирические частоты получают в результате наблюдения. Теоретические частоты рассчитывают по формулам.

По величинам асимметрии и эксцесса делают вывод о степени приближения выборки к нормальному закону распределения.

Если –1,051 А 1,051 и 0 Е 4, то выборка согласуется с нормальным законом.

22

Если объем выборки составляет более 50 членов, то применяется критерий Пирсона (хи-квадрат) [10], который вычисляется по формуле

где fi – эмпирическая частота распределения; ft – частота распределения по теоретическому закону.

Для каждого закона распределения созданы специальные

В выборках объемом менее 50 членов используют, например, критерий Колмогорова – Смирнова. Критерий согласия Колмогорова – Смирнова в своем классическом виде является более мощным, чем критерий χ2, и может быть использован для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения любому теоретическому непрерывному распределению F (x).

Нулевую гипотезу не отвергают, если выполняется неравенство для больших выборок (n > 35):

где dn – абсолютная величина максимальной разности между накопленными частостями эмпирического и теоретического рядов распределений; n – численность единиц совокупности.

Приведем примеры критических значений λα (критерия Колмагорова) для ряда величин уровня значимости α: λ0,1 = 1,22;

λ0,05 = 1,36; λ0,01 = 1,63.

Существует еще ряд других критериев, например: критерий Романовского, критерий Ястремского.

Задача определения того, какому закону соответствует эмпирическое распределение, называется проверкой гипотезы согла-

сия эмпирического распределения с теоретическим законом.

Пирсоном [10] найдено распределение величины χ2 и составлены таблицы, позволяющие определять вероятность получения определенного значения χ2 для разного числа групп в вариационных

23

рядах. Если вероятность Р (χ2) значительно отличается от нуля, то расхождения между частотами теоретического и эмпирического распределения можно считать случайными, а гипотезу, выдвинутую при расчете теоретических частот, не опровергнутой для данного наблюдения.

При этом определяемая по таблицам вероятность наблюдаемого значения χ2 принимается в зависимости от так называемого числа степеней свободы, под которым понимается число групп, частоты которых могут принимать значения, не связанные друг с другом. На практике для вариационного ряда число степеней свободы ν определяется как число групп в ряду распределения l минус число связей z: ν = l – z. Число связей – это число показателей эмпирического ряда, использованных при вычислении теоретических частот, т.е. показателей, связывающих эмпирические и теоретические частоты. Например, при выравнивании по кривой нормального распределения имеется три связи:

Поэтому при выравнивании по кривой нормального распределения число степеней свободы определяется как ν = l – 3.

При выравнивании по кривой Пуассона получим ν = l – 2, так как в этом случае для нахождения теоретических частот учитывались две ограничивающие связи: средняя арифметическая и сумма частот.

Для оценки существенности наблюденного значения χ2 при данном числе степеней свободы ν применяются таблицы двух типов.

По таблицам первого вида отыскивается вероятность наступления наблюденного значения χ2 при данном числе степеней свободы ν. Если вероятность близка к нулю (как правило, меньше 0,05), расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами считают существенными, а гипотезу неприемлемой для данного распределения.

По таблицам другого типа определяется предельное верхнее значение хи-квадрата (критическое значение) при данном числе степеней свободы и заданном уровне значимости. Затем наблю-

24

денное значение хи-квадрата сравнивают с табличным (критическим) значением. Если фактическое значение меньше таблич-

ния между эмпирическими и теоретическими частотами считают случайными, а гипотезу о принятом законе распределения приемлемой.

Следует остановиться на понятии уровня значимости, используемого в таблицах второго вида. Применительно к проверке статистических гипотез уровень значимости – это вероятность, с которой может быть опровергнута гипотеза о том или ином законе распределения. Чем меньше уровень значимости, тем меньше вероятность непринятия гипотезы. Обычно уровень значимо-

данной вероятности (уровню значимости) при определенном числе степеней свободы величина χ2 считается критической.

Если наблюденное значение χ2 превышает критическое, отвечающее принятому уровню значимости, то гипотеза о том или ином законе распределения не принимается.

В табл. 4.1 приведены критические значения χ2 в зависимости от числа степеней свободы ν и вероятности α.

25

26

Окончание табл. 4.1

27

27

5. Анализ структуры выборок

Одной из важнейших задач по изучению свойств случайной величины X с помощью экспериментальных данных является установление ее эмпирического закона распределения вероятно-

стей. Пусть в результате испытаний получены n измерений величины X: Xn = {x1, x2, …, xn}. Совокупность Xn таких измерений называют выборкой случайной величины X, сами измерения называют элементами выборки, а число измерений n – объемом выборки. Выборку Xn, элементы которой расположены в порядке возрастания, принято называть простым вариационным рядом. Разность R = xmax – хmin между наибольшим и наименьшим значениями измерений называют широтой распределения или размахом выборки. По вариационному ряду строится эмпирическая функция распределения вероятностей исследуемой случайной величины.

При большом объеме выборки и большом числе различных по величине элементов выборки пользуются интервальным вариационным рядом. Его получают следующим образом. Размах выборки разбивается на l частичных интервалов равной длины d, и для каждого интервала указываются его левая αi–1 и правая αi границы. Интервалы нумеруются в порядке возрастания: i = 1, 2, …, l. Затем определяются основные характеристики ряда: частота, частость, плотность распределения, кумулятивная (накопленная) частота и частость.

Частота Fi – количество элементов, включенных в i-й частичный интервал. Сумма частот по всем интервалам равна объему выборки n: ∑ Fi = n.

Частость fi – доля элементов, включенных в i-й частичный интервал от общей численности. Частость рассчитывается по формуле fi = Fi / n. Сумма частостей равна единице: ∑ fi = 1.

Накопленная частота Fiн характеризует количество элементов ряда, которые имеют значение не больше данной величины. Накопленная частота для верхней границы данного интервала

28

получается суммированием (накапливанием) частот всех предше-

значение не больше данной величины. Накопленная частость для верхней границы данного интервала получается суммированием (накапливанием) частостей всех предшествующих интервалов,

Плотность распределения рi – средняя частота или частость в частичном интервале ряда. Плотность определяется по формуле

рi = Fi / nd.

Для наглядного представления о форме плотности распределения случайной величины X используются понятия полигона и гистограммы распределения. Для построения полигона нужно из середины каждого частичного интервала восстановить перпендикуляр длиной fi и соединить отрезками прямых вершины этих перпендикуляров. Вершины крайних перпендикуляров следует соединить с концами крайних частичных интервалов. Чтобы построить гистограмму, нужно на каждом частичном интервале построить прямоугольник высотой fi.

Частости fi есть не что иное, как эмпирические вероятности попадания случайной величины в соответствующие интервалы. Если по оси OY откладывать не fi, а pi, то полигон и гистограмма будут различными формами представления эмпирической плотности распределения вероятностей.

Есть несколько подходов к определению числа интервалов разбиения l при построении интервального вариационного ряда. Один из них − это использование формулы Стэрджесса:

где Round − округление чисел с плавающей запятой до целого числа.

Другой подход состоит в том, что обычно выбирают число участков l для построения гистограммы как ближайшее целое к

29

Приведем алгоритм нахождения границ интервалов:

1)находим длину частичного интервала d = (xmax – xmin) / l;

2)α0 = xmin – нижняя граница 1-го интервала;

3)α1= (xmin + d) – верхняя граница 1-го интервала, она же нижняя граница 2-го интервала;

4)α3 = (xmin + 2d) – верхняя граница 2-го интервала, она же нижняя граница 3-го интервала и т.д.;

5)αl = xmax – верхняя граница последнего интервала.

Для закрепления изложенного выше материала и получения практического навыка обработки статистических выборок следует решить следующую задачу.

Задача 2. На основе своего варианта данных требуется: получить интервальные вариационные ряды распределения; рассчитать частоты и частости; построить в условном масштабе полигоны частостей, гистограммы частостей и плотностей для коэффициентов использования по времени, коэффициентов готовности, коэффициентов технического использования, коэффициентов эффективности и времени наработки на отказ.

Задачу необходимо решать, используя прикладную програм-

му Excel.

Порядок действий при решении задачи:

1.Создать файл для обработки.

2.Рассчитать границы групп.

3.Рассчитать частоты.

4.Рассчитать накопленные частоты.

5.Рассчитать частости.

6.Рассчитать накопленные частости.

7.Рассчитать плотность распределения.

8.Построить полигон частостей, гистограммы частостей и плотности распределения.

В табл. 5.1 приведен пример расчета характеристик ряда распределения коэффициента использования по времени на основе данных табл. 2.1.

30