2978

Таблица 2.1

Показатели работы бульдозера ДЭТ-250

11

3. Законы распределения случайных величин

Случайной называется величина, принимающая в результате испытания одно из возможных своих значений, причем заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины принято обозначать большими латинскими буквами (X, Y, Z…), а их возможные значения – соответствующими малыми буквами (x, y, z…). Событие, состоящее в том, что случайная величина X примет значение x, отражается записью X = x. С левой стороны этого равенства стоит имя случайной величины, а справа – принимаемое ею значение. Вероятность этого события обозначается как P{X = x}. Тогда запись P{X < x} обозначает вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее, чем x.

Различают следующие типы случайных величин: дискретные и непрерывные. Возможные значения дискретной случайной величины составляют конечное множество. Возможные значения непрерывной случайной величины составляют непрерывное множество. Все возможные значения дискретной случайной величины можно пронумеровать, для непрерывной случайной величины нумерацию выполнить невозможно.

Совокупность всех возможных значений случайной величины с соответствующими им вероятностями называют законом распределения вероятностей этой случайной величины. Для дискретных величин закон распределения задается таблично либо вычисляется аналитически по формуле. Для непрерывных вели-

чин используется понятие плотности распределения вероятно-

стей f (x). Справочную информацию об этом можно найти в книгах [6–8].

Приведем примеры законов распределения, достаточно часто встречающихся в практических задачах: нормальный, равномерный, логарифмически-нормальный, закон Пуассона, закон Вейбулла, гамма-распределение.

3.1. Нормальный закон распределения

Плотность вероятности нормально распределенной непрерывной случайной величины x выражается формулой

12

где f (x) – ордината кривой распределения; σ – среднее квадратическое отклонение изучаемого признака; – постоянное число (отношение длины окружности к длине ее диаметра); e – основание натурального логарифма; x – значение изучаемого признака; x – среднее арифметическое значение члена ряда.

Кривая плотности распределения вероятности случайной величины изображена на рис. 3.1. Она симметрична относительно точки (точка максимума x a ). При уменьшении σ ордината точки максимума неограниченно возрастает, при этом кривая пропорционально сплющивается вдоль оси абсцисс, так что площадь под ее графиком остается равной единице (см. рис. 3.1).

Рис. 3.1. Плотность распределения вероятности случайной величины по нормальному закону

Нормальный закон распределения широко применяется в практических задачах. Объяснить причины этого в 1901 г. удалось А.М. Ляпунову [9]. Он показал, что если случайная величина может рассматриваться как сумма большого числа малых слагаемых, то при достаточно общих условиях закон распределения этой случайной величины близок к нормальному закону независимо от того, каковы законы распределения отдельных слагаемых. А так как практически случайные величины в большинстве случаев бывают результатом действия множества причин, то

13

нормальный закон оказывается наиболее распространенным законом распределения. Укажем числовые характеристики нормально распределенной случайной величины (математическое ожидание и дисперсия):

Таким образом, параметры a и σ в выражении (3.1) нормального закона распределения представляют собой математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Принимая это во внимание, формулу (3.1) можно представить следующим образом:

Эта формула показывает, что нормальный закон распределения полностью определяется математическим ожиданием и дисперсией случайной величины. Разумеется, в общем случае, когда характер закона распределения неизвестен, знания математического ожидания и дисперсии недостаточно для определения этого закона распределения.

3.2. Равномерный закон распределения

Случайная величина x называется распределенной равномерно на отрезке [a, b], если плотность распределения ее вероятностей постоянна на данном отрезке:

Определим значение константы d из условия, что площадь под кривой плотности распределения должна быть равна единице (условие нормировки). В нашем случае это площадь прямоугольника с основанием b – a и высотой d (рис. 3.2).

Отсюда находим значение постоянной d:

14

Рис. 3.2. Плотность равномерного распределения случайной величины х

Итак, плотность равномерно распределенной случайной величины равна:

Найдем функцию распределения:

Таким образом,

Функция распределения непрерывна и не убывает.

Найдем математическое ожидание равномерно распределенной случайной величины:

15

Дисперсия равномерного распределения рассчитывается по

Вероятность попадания случайной величины, имеющей равномерное распределение на отрезке [a, b], в интервал ( , ), представляющий собой часть отрезка [a, b], равна:

3.3. Логарифмически-нормальный закон распределения

Непрерывная случайная величина x имеет логарифмическинормальное (сокращенно – логнормальное) распределение, если ее логарифм (ln x) подчинен нормальному закону. Функция плотности вероятности для логнормального распределения (рис. 3.4) имеет вид:

16

Числовые характеристики случайной величины x, распределенной по логнормальному закону (3.13), вычисляются по формулам:

– математическое ожидание

Рис. 3.4. Плотность логарифмически-нормального распределения вероятности случайной величины х

Очевидно, чем меньше σ, тем ближе друг к другу значения моды, медианы и математического ожидания, а кривая распределения – ближе к симметрии. Если в нормальном законе (3.1) параметр a выступает в качестве среднего значения случайной величины, то в логнормальном (3.13) – в качестве медианы.

Логарифмически-нормальное распределение встречается в ряде технических задач. Оно определяет распределение долговечности изделий в режиме износа, размеров частиц при дроблении, содержания элементов в минералах изверженных горных пород и т.д.

17

3.4. Закон Пуассона

Дискретная случайная величина Х распределена по закону Пуассона, если она может принимать только целые неотрицательные значения, а вероятности этих значений определяются формулой

где a – некоторая положительная величина, называемая параметром закона Пуассона.

Как правило, распределение Пуассона (рис. 3.5) касается вероятности появления благоприятного события в большом количестве экспериментов, если в одном – вероятность успешного завершения стремится к нулю.

Рис. 3.5. Пример распределения вероятности по закону Пуассона: 1– дискретные значения вероятности появления бракованных деталей;

2 – аппроксимация полигона вероятностей непрерывной функцией

В табличной форме этот закон распределения имеет следующий вид (табл. 3.1).

18

Случайная величина X имеет гамма-распределение с параметрами a > 0 и b > 0, если плотность распределения ее вероятностей имеет вид:

На рис. 3.6 показаны кривые распределения вероятностей при значениях параметра a > 0 (рис. 3.6, а) и a < 1 (см. рис. 3.6, б), при a = 0 получаем экспоненциальное распределение.

Рис. 3.6. Плотность гамма-распределения случайной величины х

Математическое ожидание и дисперсия, подчиненные гаммараспределению, задаются формулами:

19

Отметим, что при a > 1 гамма-распределение имеет моду

Это означает, что кривая распределения (на рис. 3.6) имеет точку максимума x = Mod.

3.6. Закон Вейбулла

Опыт эксплуатации многих электронных приборов и значительного количества электромеханической аппаратуры показывает, что для них характерны три вида зависимости интенсивности отказов от времени λ(t), соответствующих трем периодам жизни этих устройств (рис. 3.7).

Рис. 3.7. Зависимость интенсивности отказов от времени t

Указанные три вида зависимости интенсивности отказов от времени можно получить, используя для вероятностного описания случайной наработки до отказа двухпараметрическое распределение Вейбулла. Согласно этому распределению плотность вероятности момента отказа принимает вид:

где – параметр формы, определяемый подбором в результате обработки экспериментальных данных, > 0; – параметр масштаба, который равен:

20