Экономико-математические методы и модели Часть 1

3

ВВЕДЕНИЕ

Множественная линейная регрессия – это эконометрическая модель, которая отражает статистическую зависимость исследуемого показателя от множества других показателей (факторов), которая выражена в форме линейного уравнения. Такого рода модели находят широкое применение для анализа и прогнозирования экономических показателей.

Цель данной работы – научить исследованию и прогнозированию экономических показателей с помощью моделей множественной регрессии.

Практическое использование многофакторных моделей требует решения ряда задач:

1.Выбор важнейших факторов.

2.Построение уравнения регрессии.

3.Оценка качества уравнения регрессии.

4.Прогнозирование на основе модели.

В данной работе рассмотрены теоретические основы решения поставленных задач. Даны методические указания для осуществления расчетов в Exсel. Приведен пример исследования производительности труда от ряда факторов. Представлены контрольные задания для студентов, пример оформления отчета.

4

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА

1.1. Парная регрессия

Парная регрессия – это однофакторная модель экономического роста, которая выражает зависимость динамики объема производства (y) от динамики одного из производственных факторов (x):

y f x .

Эта функция условно «приписывает» результат производства какому-то одному производственному фактору (в зависимости от его количества, качества, эффективности использования). Например, в качестве xi можно взять затраты трудовых

ресурсов. Для прогнозов объема производства при изменении факторов функция Yt fi xi выражает корреляционную зависимость одного показателя от значений другого показателя.

1.1.1. Типы зависимостей

Необходимо отличать функциональную зависимость от корреляционной. Функциональная зависимость проявляется определенно и точно в каждом отдельном случае. Например, закон Ома строго соблюдается независимо от других факторов (материала, из которого изготовлен проводник, его размера и т.д.). Знание функциональной зависимости позволяет абсолютно точно предсказать события для отдаленного будущего, например затмение Солнца.

В экономике функциональная зависимость между показателями невозможна. Экономические величины складываются обычно под воздействием множества факторов, одни из которых действуют объективно, а другие являются результатом целена-

5

правленной деятельности человека, кроме того, возможны и случайные воздействия. Закономерности в экономике не проявляются в той точности, как в неживой природе. Поэтому при исследовании взаимосвязей используется корреляционный анализ.

Корреляционная зависимость проявляется лишь в общем и среднем и только в массе наблюдений. Корреляция (лат.) – соответствие.

С помощью однофакторных моделей можно исследовать не только показатель объема производства. Например, зависимость средней выработки на 1 работающего от стоимости основных

фондов y f x – уравнение регрессии.

Если взять в качестве этих показателей выработку на 1 работающего и стоимость основных фондов за несколько лет, то можно построить функцию, хорошо аппроксимирующую статистические данные. Можно брать значения показателей за один момент времени, но для разных объектов. Главное требование – статистика должна быть однородной: или во времени, или

впространстве.

Вкорреляционном анализе существуют двеосновные задачи: 1. Установить форму корреляционной связи и найти урав-

нение регрессии y f x .

2. Оценить полученное уравнение.

1.1.2. Выбор вида уравнения регрессии

При изучении связи показателей применяются различного вида уравнения линейной и нелинейной связи. Формально могут возникать ситуации двух типов:

1.Вид функциональной зависимости неизвестен. В этом случае нужно решить предварительно задачу по отысканию подходящей функциональной зависимости. Это достаточно сложная задача, но она успешно решается современными средствами информационных технологий (программа Excel).

2.Вид функциональной зависимости известен и требуется только найти ее параметры (коэффициенты регрессии а0, а1, а2, …).

6

Термином линейный регрессионный анализ обозначают та-

кое прогнозирование, которое описывается линейной взаимосвязью между исследуемыми переменными:

y= а0 + а1x.

Вслучае нелинейных зависимостей применяются математические функции различного вида (уравнение регрессии):

степенная y = а0x а1;

гиперболическая y = а0 + а1 /x; параболическая y = а0 + а1x + а2x2;

логарифмическая y = а0 + а1lgx; экспоненциальная y = а0exp (а1x); показательная y = а0 + а1x и др.

Решение математических уравнений связи предполагает вычисление по исходным данным их параметров (свободного члена a0 и коэффициентов регрессии a1, a2, …).

В настоящее время существуют пакеты компьютерных программ, где по статистическим (эмпирическим) значениям двух показателей (x, y) определяются параметры функции а0, а1.

Окончательный выбор функции можно осуществить по критерию «коэффициент парной корреляции».

Фактические значения исследуемого показателя y можно оценить по их средней величине y . Если масса наблюдаемых

значений показателей группируется вокруг средней, то оценка надежна, а если разброс большой, то оценка неприемлема.

Для характеристики этого разброса используется дисперсия

yi – фактические значения; y – среднее значение;

n – число наблюдений.

Это надежность средней величины.

7

Надежность значений, полученных по уравнению регрессии, определяется следующим образом:

где yˆi – значение, вычисленное по уравнению регрессии.

Для определения, насколько сократилась сумма квадратов отклонений при переходе от средней к уравнению регрессии, вычислим

S 2 S 2 d y Sy2 yx ,

где d – коэффициент детерминации, а корень квадратный от него – коэффициент корреляции r d .

Итак, окончательно коэффициент корреляции r определяется по формуле

0≤ r ≤ 1.

Чем больше коэффициент корреляции, тем сильнее сила связи, выраженная соответствующим уравнением. Таким образом, выбираем ту функцию, у которой коэффициент парной корреляции наибольший.

1.2.Множественная регрессия

1.2.1.Виды моделей множественной регрессии

Впредыдущем подразделе рассматривалась ситуация, когда на зависимую переменную (исследуемый показатель y) воздействовал только один фактор x. По статистическим данным

строили уравнение парной регрессии y = f(x). Для анализа и прогнозирования экономических показателей парные регрес-

8

сии используются на начальном этапе исследования, когда надо иметь только общее представление развития. В действительности на любой экономический показатель действует не один, а несколько факторов.

Множественная регрессия выражает связь между зависимой переменной y (исследуемый показатель) и независимыми факторными признаками ( x1, x2 , , xm ). Например, зависимость объема

выпуска продукции (y) от производственных факторов: численности (x1), стоимости основных фондов (x2), удельного веса высококвалифицированных рабочих в общей численности (x3) и т.д. Это так называемые производственные функции. Модель необходима для анализа объема выпускаемой продукции и его прогнозирования при изменении производственных факторов.

Процесс построения множественной регрессии включает в себя следующие этапы экономико-математического моделирования:

постановка экономической проблемы и ее качественный

анализ;

выбор независимых переменных (факторов);

выбор вида функции (математическая модель);

нахождение параметров уравнения множественной регрессии с помощью математических методов;

оценка качества модели.

Рассмотрим некоторые этапы более подробно.

Выбор независимых переменных – наисложнейшая задача всего исследования, здесь нет точного правила, есть только рекомендации. Это процесс уточнения первоначальной гипотезы состоит из нескольких стадий:

1.Формирование первоначальной гипотезы о наборе независимых факторов. На этой стадии стараются включить наибольшее число факторов по результатам качественного анализа проблемы.

2.Оценка сформированного набора. Здесь учитывается мнение экспертов и значения статистических оценок. В качестве статистических оценок можно рассматривать коэффициенты

9

парной корреляции между зависимой переменной y и каждым фактором x1, x2 , , xm . Чем больше коэффициент парной кор-

реляции, тем важнее фактор для построения модели. Кроме того, факторы должны быть независимы между собой. Коэффициенты парной корреляции между факторами указывают на тесноту их связи. Если между двумя факторами, например x1 и x2, коэффициент > 0,95, то из них следует выбрать только один (фактор), желательно тот, у которого коэффициент корреляции с независимой переменной наибольший.

3. Сужение набора независимых переменных (факторов). Решение принимается на основе статистических оценок (описанных выше) и соображениях типа: возможность сбора данных, измерений, связей.

Выбор вида функции. При выборе вида функции руководствуются такими принципами, как простота расчетов и ясная, понятная экономическая интерпретация параметров уравнения регрессии. Исходя из этих соображений, наиболее часто используют линейную и степенную функции.

Зависимость показателя выпуска продукции y от используемых ресурсов (факторов) x1, x2 , , xm может иметь линейную формулу

y a0 a1x1 a2 x2 am xm .

Параметры a0 ,a1 ,a2 , , am легко находятся методом наи-

меньших квадратов и имеют определенный экономический смысл: а0 – постоянная величина не зависит от ресурсов, отражает влияние неучтенных факторов, a1 , a2 , , am – предельные эф-

фективности соответствующих ресурсов x1 , x2 , , xm . Они показывают предельный прирост выпуска продукции при увеличении

В теоретических и прикладных экономических исследованиях широкое применение получила степенная функция:

10