Экономико-математические методы и модели Часть 1

2. ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Для одного предприятия представлены значения 11 показателей за 5 лет с разбивкой по кварталам. Таким образом, имеем 20 наблюдений для 11 показателей. Необходимо исследовать зависимость одного из показателей (производительность труда) y от других показателей (факторов) xi, i = 4, 5,…, 13. Работа состоит из трех частей:

1.Выбираем три значимых фактора. Выбор делаем, исходя из двух критериев:

1) чем больше коэффициент корреляции между производительностью труда и каждым фактором, тем более значимый фактор;

2) если для какой-то пары факторов коэффициент парной корреляции больше 0,99, то при выборе факторов необходимо выбрать только один фактор из этой пары.

2.Строим многофакторную линейную модель (уравнение регрессии) по трем наиболее значимым факторам

y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3,

где у – производительность труда; х1, х2, х3 – выбранные факторы.

Оценивать качество уравнения регрессии будем по следующим критериям:

коэффициент корреляции R;

F-статистика (критерий Фишера);

стандартная ошибка Sy.

Оценим степень влияния каждого фактора на исследуемый показатель.

3. Прогнозируем производительность труда по модели в п. 2 на все кварталы следующего года. Оцениваем точность прогноза в процентах. Для прогнозирования y значения факторов за соответствующий квартал следующего года из табл. 2.

21

22

23

24

4.Подставляем в уравнение регрессии, представленное в п. 2,

азатем полученные таким образом значения производительности труда сравниваем с теми, что в табл. 2. Отклонение в процентах и будет определять точность. Если точность прогноза (ошибки) меньше7 %, то выбор факторовосуществлен правильно.

Замечание. Фактор обозначим через хi, где i – номер колонки, в которой находятся статистические данные по этому показателю. Такое обозначение сохраняем при любых расчетах.

В табл. 2 представлена информация для каждого варианта. Номер варианта отражает две последние цифры года, начиная с которого берутся статистические данные по всем показателям за пять лет. К примеру, вариант 88. Для исследования берется информация за 5 лет – с 1988 по 1992 год. Прогнозируется производительность труда на 1993 год по кварталам. Для этого значения факторов за соответствующий квартал 1993 года подставляются в модель, представленную в п. 2.

25

3.МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ РАБОТЫ

ВМICROSOFT EXCEL

Рассмотрим конкретный пример варианта 88.

Необходимо исследовать производительность труда (y) от всех показателей (факторов) хi, i = 4, 5, …, 13. Для этого возьмем статистические данные за 5 лет (с 1988 до 1992 год) и занесем их в лист Excel.

Заготовим заголовки таблицы в ячейках A1; B1; C1;…; М1. Затем разместим сами числовые значения соответственно в диа-

пазонах ячеек А2:А21, B2:B21, C2:C21;…; М2:М21.

I. Выбираем три значимых фактора, влияющих на производительность труда.

1. Коэффициент парной корреляции между производительностью труда и каждым фактором.

Корреляция рассматривается как признак, характеризующий взаимосвязь ряда числовых последовательностей. Другими словами, корреляция показывает силу взаимосвязи в данных. Если это касается взаимосвязи двух числовых массивов xi и yi, то такую корреляцию называют парной.

26

При поиске корреляционной зависимости в большинстве случаев выявляется вероятная связь одной измеренной величины x (для какого-то ограниченного диапазона ее изменения,

кпримеру, от x1 до xn) с другой измеренной величиной y, которая тоже изменяется в интервале y1 … yn). В этом случае мы будем работать с двумя числовыми последовательностями, между которыми и требуется установить наличие статистической (корреляционной) связи.

Для количественной оценки наличия связи между рассматриваемыми совокупностями случайных величин используется специальный статистическийпоказатель – коэффициенткорреляцииr.

Коэффициент r − это безразмерная величина, которая находится в интервале от 0 до ±1. Чем ближе значение коэффициента

кединице (неважно, с каким знаком), тем сильнее между двумя рассматриваемыми совокупностями линейная связь. Другими словами, значение одной из этих случайных величин (х) существенно влияет на то, какоезначение принимает другаяпеременная (у).

Если окажется, что r = 1 (или −1), то имеет место классический случай чисто функциональной зависимости (т.е. реализуется идеальная взаимосвязь).

Изучим способ оценки корреляционной связи посредством расчета коэффициента корреляции на конкретном примере.

Вычислив коэффициент корреляции, можно дать качест- венно-количественную оценку тесноты линейной связи.

Определим коэффициенты корреляции с помощью Масте-

ра функций.

Действуем следующим образом:

активизируем ячейку D23, куда и будет помещено пер-

вое расчетное значение коэффициента корреляции;

запустим Мастер функций, в всплывающем диалоговом

окне выберем необходимую категорию – Статистические,

азатем выделим нужную функцию Коррел, после чего – ОК;

в появившейся панели Коррел нужно заполнить текстовые поля для Массив 1 (диапазон ячеек С2:С21) и для Массив 2

(D2:D21);

затем нажимаем кнопку ОК.

27

Для наглядности представим значения коэффициентов корреляции в виде таблицы.

2. Коэффициент автокорреляции между двумя факторами. Воспользуемся функцией Коррел (Массив1; Массив2). Основное отличие заключается в том, что в первом случае искали корреляционную зависимость между измеренной величины xi с другой измеренной величиной yi, а сейчас мы находим коэффициенты корреляции между величинами xi:

После вычисления получаем:

29

Если после процесса вычисления один из коэффициентов частной корреляции между факторами примерно равен 0.99, то необходимо один из этих факторов исключить. В нашем случае между факторами Х5 и Х6 коэффициент частной корреляции равен 0.99, поэтому Х6 исключим.

Выберем три наиболее значимых фактора. В нашем примере это будет:

Х5 – капиталовооруженность одного работающего; Х11 – коэффициент загрузки оборудования; Х13 – коэффициент производительности оборудования.

В дальнейшем для построения модели и ее оценки факторы (Х5; Х11; Х13) обозначим как (Х1; Х2; Х3) соответственно.

Построим новую таблицу со значениями тех факторов, которые мы выбрали. Далее мы будем работать с ней.

II. Построим многофакторную линейную модель по трем выбранным факторам.

Уравнение множественной регрессии в большинстве случаев представляют в виде линейной зависимости:

у = а0 + а1x1 + а2x2 + …+ аmxm,

где а0 – свободный член (или сдвиг);

30