Экономико-математические методы и модели Часть 1

41

Проведем статистический анализ этого уравнениярегрессии.

Интерпретация коэффициентов регрессии. Сдвиг a0

представляет собой вспомогательную величину, которая необходима для получения оптимальных прогнозов.

Коэффициенты регрессии a1, a2, …, am показывают степень влияния каждой из переменных на размер производительности при условии, что другие независимые переменные остаются неизменными.

Ошибки прогнозирования (определение качества регрес-

сионного анализа). Существует два основных приема для оценки качества выполненного нами регрессионного анализа. В статистике для этого применяют:

стандартную ошибку (Sу), которая показывает приблизительную величину ошибки прогнозирования;

коэффициент детерминации (R2), который показывает,

какой процент вариации функции у объясняется влиянием фак-

торов хk.

Рассмотрим более подробно оба подхода.

1. Результаты статистического вычисления показывают, что стандартная ошибка для функции Sy составляет 7,38. Этот результат можно описать следующим образом: фактическая величина производительности труда отличается от прогнозируемых показателей не более чем на 7,38 руб.

Стандартная ошибка Sу, равная 7,38, показывает, какое отклонение фактических данных от прогнозируемых существует на основании использования воздействующих факторов х1; х2; х3. Более того, мы также принимаем во внимание обычное стандартное отклонение Sn, равное 35,73, которое показывает разброс значений y от их средней величины. Можно увидеть, что Sу < Sn; следовательно, как правило, ошибки прогнозирования оказываются меньшими, если работать с уравнением регрессии, а не использовать только средние значения у.

42

2.В нашем случае коэффициент детерминации R2 равен 0,96, что составляет 96 %. Этот результат можно интерпретировать так: все исследуемые воздействующие факторы объясняют 96 % вариации анализируемой функции. Остальные 4 % остаются необъясненными. Это может быть связано с влиянием других, неучтенных факторов.

Внашем случае показатель R2 = 96 %, поэтому можно сделать вывод, что именно эти три фактора в данном конкретном случае оказывают наибольшее влияние на функцию y.

Таким образом, мы получили уравнение множественной

регрессии, коэффициенты которого ak указывают, как и в каком направлении действуют исследуемые факторы хk и какой процент изменения функции у можно объяснить влиянием именно данных факторов.

Далее нам необходимо определить статистическую значимость полученного нами аналитического выражения.

Для того чтобы проверить адекватность уравнения регрессии фактическим значениям производительности труда, обычно используются следующие приемы.

1.Первый критерий Фишера. Этот критерий является достаточно традиционным способом, им часто пользуются при статистических анализах, несмотря на то, что по простоте и по удобству он может уступать другим методам.

Вбольшинстве случаев F-тест осуществляется с помощью сопоставления вычисленного значения F-критерия с эталонным (табличным) показателем Fтабл для определенного уровня зна-

чимости. При условии выполнения неравенства Fрасч < Fтабл, с уверенностью 95 %, можно говорить о том, что рассматриваемая зависимость у = a0 + a1x1 + a2x2 +…+ amxm является статистически значимой. В противном случае наоборот.

2. Уровень значимости α. Уровень значимости в интерпретации Excel представляет собой показатель р. В случае, если значение р > 0,05, то полученный результат является незначимым для 95%-й вероятности. В случае, если величина р оказы-

43

вается меньше 0,05, то с вероятностью 95 % уравнение является значимым. В случае, если р < 0,01, то уровень надежности полученного результата составляет 99 %.

3. Коэффициент детерминации R2. Имеющуюся расчетную величину Rрасч2 следует сравнить с табличными значениями Rкрит2

для определенного уровня значимости (часто 0,05). Если получится, что выполняется неравенство Rрасч2 > Rкрит2 , то с вероятно-

стью 95 % следует делать вывод о том, что анализируемая регрессия является значимой.

Далее наше уравнение проанализируем с использованием рассмотренных статистических критериев.

Проведем проверку по критерию Фишера. Сравним рассчитанную величину с табличным значением (Fкрит) F- распределения. Число степеней свободы f1 m (для нашего

примера составит 3): f2 n m 1 20 3 1 16 . Тогда полу-

чим Fкрит = 3,1 (для α = 0,05), т.е. Fрасч < Fкрит, следовательно, можно утверждать о значимости анализируемого уравнения.

Далее проверим анализируемое уравнение с использованием уровня значимости α. В позиции «Значимость F» находится величина 8,16Е-12. Фактически можно признать, что α = 0. Из этого можно сделать вывод о том, что действительно существует устойчивая зависимость рассматриваемой функции у от воздействующих факторов х1; х2; х3, другими словами, производительность труда не является чисто случайной величиной. В действительности пока неизвестно, какие именно факторы влияют на функцию, но то, что влияние существует, является бесспорным.

В данном примере коэффициент детерминации Rрасч2 равен

0,96, или 96 %. Таблица для тестирования на уровне значимости 5 % в случае выборки n = 20 и числа переменных m = 3 дает кри-

тическое значение Rкрит2 , равное 0,378. Так как выполняется соотношение Rрасч2 > Rкрит2 , то с вероятностью 95 % можно утверждать о наличии значимости данного уравнения регрессии.

44

Заметим, что для наших обстоятельств (n = 20, m =3) существует возможность оценить критическое значение Rкрит2 для α = 0,01

(высокая значимость). В этом случае Rкрит2 = 0,498, при этом оставаясь меньше расчетного показателя Rрасч2 , т.е. 0,96. В связи с этим

можно сделать вывод, что обсуждаемое нами уравнение действительно характеризуетсяочень высокойстепенью значимости.

Заметим, что все три рассмотренных приема статистической проверки дают одинаковый результат. В данном примере мы использовали подобное разнообразие способов анализа с единственной целью: дать представление о существующих методах такой проверки. На практике нет потребности проводить статистическую оценку, используя все указанные варианты. Достаточно разумно и экономично ограничиться каким-то одним методом. Следует сказать, что наиболее распространенным методом считается выполнение проверки по F-критерию.

Итaк, нами проведена проверка на значимость самого уравнения, т.е. мы понимаем, что существует взаимосвязь между параметром у и переменными хk. Тем не менее остается неясным, какое влияние оказывают конкретные факторы х1; х2; х3 на исследуемую функцию у: действуют ли в данном случае оба фактора или только один из них. В связи с этим необходимо определить значимость отдельных коэффициентов регрессии a1; a2; a3. Для этого используется так называемый t-тест.

Сравнительная оценка степени влияния факторов.

В процессе анализа полученного уравнения множественной регрессии закономерно возникает вопрос, какой фактор хk из числа рассмотренных оказывает наибольшее влияние на исследуемый показатель у? К сожалению, исчерпывающего ответа на этот вопрос не существует, поскольку наличие возможной взаимосвязи между переменными х, например, парное взаимодействие типа х1х2, тройное х1х2х3 и т.д. может значительно усложнить ситуацию. В результате станет принципиально невозможным выяснить, какая именно из переменных хk в действительности отвечает за поведение параметра у.

45

Однако в статистике даются полезные рекомендации, которые позволяют получить оценочные представления по этому поводу. В качестве примера рассмотрим один из таких методов −

сравнение стандартизованных коэффициентов регрессии.

В общем случае все коэффициенты регрессии a1, a2, …, am могут быть выражены в разных единицах измерения. Тем самым непосредственное их сравнение становится фактически некорректным, так как формально меньший по величине коэффициент в действительности может оказаться важнее большего.

Стандартизованные коэффициенты регрессии позволяют ре-

шить эту проблему с помощью представления коэффициентов регрессии в некоторых кодированных единицах измерения.

Вычисление стандартизованного коэффициента регрессии осуществляется путем умножения коэффициента регрессии ai на стандартное отклонение Sn (для наших переменных х обозначим его как Sxk ) и деления полученного произведения на Sу. Это оз-

начает, что каждый стандартизованный коэффициент регрессии измеряется как величина ai Sxk /Sу. Применительно к нашему

примеру мы получим результаты, представленные в таблице.

Стандартизованные коэффициенты регрессии

После осуществленных расчетов мы можем сопоставить полученные коэффициенты: для фактора х3 стандартизованный коэффициент максимален, а для фактора х1 – минимален.

46

Таким образом, на производительность труда наибольшее влияние оказывает коэффициент производительности оборудования, а наименьшее влияние – капиталовооруженность одного работающего. Данное сравнение абсолютных величин стандартизованных коэффициентов регрессии позволяет получить хотя и довольно грубое, но тем не менее достаточно наглядное представление о важности рассматриваемых факторов. Вновь напомним, что данные результаты не являются безупречными, так как они не в полной мере отражают реальное влияние исследуемых переменных.

47

48

I. Выберем три существенных фактора, которые влияют на производительность труда.

1. Рассчитаем коэффициент парной корреляции между производительностью труда и каждым фактором. Для этого вос-

пользуемся Мастером функций.

Выберем функцию КОРРЕЛ (Массив1;Массив2). Заполним текстовые поля для Массив1 (C2:C21) и Массив2 (D2:D21). Аналогичный метод будем использовать для расчета остальных коэффициентов. После вычисления получаем:

2. Рассчитаем коэффициент автокорреляции между двумя факторами. Для этого используем функцию КОРРЕЛ (Массив1;Массив2). После вычисления получаем:

В случае, если один из коэффициентов частной корреляции между факторами примерно равен 0.99, то один из этих факторов исключаем. Между факторами Х5 и Х6 коэффициент частной корреляции 0.99, поэтому Х6 исключим.

Выберем три фактора, которые в наибольшей степени влияют на производительность труда. В нашемпримереэто будут:

49

Х5 – капиталовооруженность одного работающего; Х11 – коэффициент загрузки оборудования; Х13 – коэффициент производительности оборудования.

Построим таблицу. Теперь мы будем работать с ней.

II. Построим линейную модель по трем выбранным факторам. Для этого воспользуемся Мастером функций. Выберем функцию Линейн (Известные значения y; Известные значе-

ния x; Конст; Статистик). Заполним текстовые поля для Из-

вестные значения (Q2:Q21); Известные значения х (R2:T21); Конст (Истина) и Статистик (Истина).

Формулу в этом примере необходимо ввести как формулу массива. Для этого выделяем P23:S27, начиная с ячейки, содержащей формулу. Нажмем клавишу F2, а затем – клавиши CTRL+SHIFT+ЕNTЕR. Получаем следующие значения:

50