Проблема качества графической подготовки студентов в техническом вуз

рования. Параметры фигур вводятся с клавиатуры (в режиме командной строки). Выбор объектов и построение некоторых из них может выполняться визуально.

В контрольном режиме студент открывает исходные данные задачи и решает ее при помощи ограниченного числа команд, этим обеспечивается совпадение верно построенных фигур с эталонными. Система проверяет решение, если результатом построений является точка, отрезок или фигура, состоящая из точек и отрезков. Формулировки задач не предполагают альтернативных решений. Обозначения добавляются автоматически и не требуют проверки.

Рис. 1. Скриншоты систем автоматической и автоматизированной проверки к обзору

101

4.В работе А.Н. Губанова [6] (2003) демонстрируется работа модуля (рис. 1, в) для решения и автоматической проверки на примере задачи об определении натуральной величины плоской фигуры методом прямоугольного треугольника. Трехмерные модели точек и отрезков представлены в интерфейсе системы проекциями – видами и аксонометрией. Проверка осуществляется на основе сравнения координат точек и длин отрезков с заданным порогом точности, причем сравнение трехмерных фигур осуществляется отдельно, плоских – отдельно. Для проверки в эталон включены все возможные плоские треугольники. Правильно построенным считается треугольник, если он совпадает с любым из эталонных. Проверка обозначений в системе не предусмотрена.

5.В пособии Ц.Ц. Доржиева [7] (2004) на примере задачи построе-

ния линии пересечения двух поверхностей показывается методика, в которой решение строится в режиме вопрос-ответ: система задает вопрос – просит построить фигуру либо указать ее на экране, студент – строит или указывает. Методика также основывается на использовании связки системы AutoCAD и языка программирования AutoLISP.

6. В монографии Ю.В. Савельева [8] (2005) показывается обучающая система по начертательной геометрии, работающая по принципу деления задачи на этапы. Переход от этапа к этапу происходит при выборе правильного действия из списка, в случае ошибки студент вынужден возвращаться на предыдущий этап и повторять попытку.

7. В работе S. Isotani, L.O. Brandao [9] (2008) рассматривается ис-

пользование системы динамической геометрии iGeom (рис. 1, г), которая позволяет строить графические модели (конструкции) на плоскости из точек, прямых и окружностей, использовать измерения и некоторые аффинные преобразования и проверять конструкции учеников. Система предназначена для задач планиметрии. Создание проверяющей модели включает в себя следующие шаги:

1)построение фигур;

2)указание фигур, считающихся исходными;

3)указание фигур, которые требуется построить в задании;

4)указание команд, которыеученик можети неможет использовать;

5)сохранение задачи.

Проверка правильности построенной учеником конструкции осуществляется в результате выполнения двух процедур: установления соответствия между проверяемой и проверяющей (template) конструкциями и расчета расстояния между ними. Вычисление расстояния основано

102

на том, что всякая фигура представляется кортежем из n величин, причем расстояние можно искать только между фигурами одного класса. В этом случае расстояние между фигурами вычисляется как линейное расстояние в n-мерном евклидовом пространстве. Расстояние между фигурами разных классов считается равным +∞.

При установлении соответствия выбираются пары фигур из проверяемой и проверяющей конструкций, находящиеся на наименьшем расстоянии. Фигуры, для которых соответствие установлено, убираются из конструкции, и процесс повторяется до установления соответствий всех фигур.

Расстояние между конструкциями рассматривается как сумма расстояний между соответствующими элементами конструкций. Эквивалентными считаются конструкции, расстояние между которыми равно 0; правильными – расстояние между которыми лежит в пределах допуска ε. Для проверки параметрических связей конструкция сдвигается и процесс повторяется. Если параметрические связи соответствуют эталону, сдвиг не изменяет расстояния, в противном случае проверяемая конструкция содержит ошибки.

8. В работе А. Л. Хейфеца [10] (2010) (рис. 1, д) рассматривается автоматизированный коллоквиум на базе системы AutoCAD и программ AutoLISP для проверки решений задач трехмерного моделирования. После получения задания студент отвечает на четыре вопроса, ответ на каждый вопрос требует выполнения геометрических построений, построив искомый объект, студент указывает его курсором.

9.В работе А.С. Бобровских [11] (2011) предложены методика проверки и язык описания алгоритмов задач начертательной геометрии. Методика сводится к тому, что в базе данных хранится алгоритм решения задачи. Он может быть воспроизведен системой визуализации, т.е. использоваться в режиме демонстрации решения задачи. Алгоритм также может использоваться в качестве эталонной последовательности при проверке действий обучаемого. Предполагается пошаговый контроль действий пользователя, подкрепленный изображением, формируемым визуализатором.

10.В работах Ю.В. Полозкова, В.И. Луцейковича, Д.Г. Козинеца [12, 13] (2011) предлагается методика организации решения и проверки графических моделей на базе создаваемого редактора (рис. 1, е). Информационная структура модели содержит уровни: чертеж – область – плоскость проекций – примитив. В качестве примитивов высту-

103

пают точки, отрезки, прямые, окружности и дуги, сплайны. Для обеспечения сравнения все изображения жестко связаны с используемой системой координат. Применяются два метода проверки результатов:

1)метод проверки заранее заданных условий– подразумевает использоватьименованныеобъекты(точки), координатыкоторыхизвестны;

2)метод сравнения векторных изображений – основан на сравнении координат точек и единичных отрезков, из которых состоит изображение.

Система проверки работает с плоской моделью, закрепленной в поле редактора позиционно и метрически. Обозначения фигур не предполагаются.

11. В работах K. Goh, S. Shukri, R. Manao [14, 15] (2013) развивает-

ся идея проверки графических моделей общего вида, создаваемых в CAD-системах, на основе анализа графических файлов (DXF), которые для удобства проверки должны быть преобразованы в более компактный и подходящий для извлечения параметров фигур формат SVG. Сравнение модели с эталонной осуществляется подобно тому, как это показано в работе S. Isotani, L.O. Brandao.

Сравнительные характеристики систем проверки приведены в таблице. Анализ работ показывает, что имеются два основных подхода: использование CAD-редактора (AutoCAD и язык программирования AutoLISP) [2, 5, 8] или разработка собственного редактора [1, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 11]. В некоторых работах осуществляется пошаговая проверка [5, 6, 9], при этом основу проверки составляет сравнение выполненной студентом команды с командой, определенной на текущем шаге алгоритма. В системах, осуществляющих проверку результата решения [3, 4, 7, 8], студент имеет дело с заранее подготовленным исходным пространством (плоским или трехмерным), выполняет построения в соответствии с заданием. Основу проверки составляет сравнение характеристик эталонных и построенных фигур. В системе [4] модель содержит одновременно плоские и трехмерные фигуры, а сравнение осуществляется в пределах заданной точности. В работе [8] исходные данные упражнений генерируются случайным образом. В работе [7] операция сравнения заменяется на вычисление расстояния между проверяемой и эталонной моделью. В работах [3] и [7] проверка обозначений не требуется, поскольку фигуры обозначаются по мере их построения.

Наиболее значительные результаты демонстрируют системы [3], [7] и [10], в которых реализованы обобщенные принципы и отработана методика автоматической проверки.

104

Характеристики систем автоматического контроля навыков решения графических заданий

В ИГЭУ исследования по автоматизации контроля решения графических задач начались в 2001 г. Студенты старших курсов В. Сосновиков и М. Крылов под методическим контролем Е.П. Милосердова разработали систему для решения задач начертательной геометрии, работающую подобно системе [6]: алгоритм решения задачи был представлен графом, на каждом шаге студент выбирал действие из списка и, если выбор делался правильно, переходил к следующему шагу. Недостатком подхода была ограниченность числа шагов (в отличие от ре-

105

ального процесса решения, где возможно выполнение любых построений) и необходимость дополнять список действий ошибочными альтернативами.

В 2002 г. автором настоящей работы был предложен вариант геометрического редактора на основе списка команд и архитектура системы автоматической проверки позиционных задач начертательной геометрии. Был создан прототип системы с текстовым интерфейсом для MS-DOS, затем – с оконным интерфейсом (рис. 2, а). В 2003 г. была создана система проверки навыков решения (рис. 2, б), которая включала в себя редактор задач (с расширенным набором инструментов и возможностью сохранения задач в базе данных) и систему контроля (с сокращенным набором команд и возможностью загрузки задач из базы данных).

Рис. 2. Скриншоты систем автоматической проверки

В процессе решения студент выбирал команды из списка и указывал их параметры (обозначения добавлялись автоматически). При этом он мог строить любые точки, прямые, отрезки и решать задачу способом, наиболее приближенным к реальному процессу решения [16]. Сис-

106

тема преобразовывала проекции в объекты трехмерного пространства, контроль правильности осуществлялся сравнением с эталонными фигурами. Имелась возможность проверять задачи с альтернативными правильными результатами.

Опыт использования системы показал, что трехмерность проверяемой модели затрудняет обобщение методики на метрические задачи (например, в методе прямоугольного треугольника создаются фигуры, которые не принадлежит моделируемому трехмерному пространству) и задания с заменой плоскостей проекций. Кроме того, было принято решение развивать методы автоматической проверки, ориентируясь на интернет-технологии для последующего внедрения в системы с удаленным доступом.

В 2008 г. была разработана методика проверки решений, представленных в виде истории команд-построений на плоскости [17, 18]: проверка выполняется системой геометрического доказательства на основе шаблонов – параметрических описаний, автоматизирующих структурный анализ истории команд и позволяющих системе узнавать шаги алгоритма решения. В 2011 г. была разработана методика проверки решений заданий с лекальными кривыми, в частности заданий на построение проекций линии пересечения поверхностей.

Практическая реализация была отложена ввиду отсутствия подходящего геометрического редактора, который мог бы быть внедрен в ин- тернет-страницу.

Проведенный анализ систем показывает, что до сих пор не решены проблемы проверки метрических задач, заданий на преобразование чертежа, заданий с поверхностями и развертками и др.

2.Обобщение задачи автоматической проверки решений инженерно-графических заданий

Всоответствии с классификацией [20] задача проверки инженер- но-графического задания может считаться формальной только для частных случаев, в общем же ее следует считать неформальной, поэтому первым шагом к решению задачи автоматизации стало описание процесса проверки преподавателем (рис. 3, а).

Решение студента и условие задачи используются преподавателем для формирования ментальных проверяемой и эталонной моделей. Грубые ошибки в решении обнаруживаются еще на этапе формирования ментальной модели, нарушая ее целостность. Ментальные модели срав-

107

ниваются, и выявляются ошибки. Сравнение может осуществляться непосредственным соотнесением эталонного образа с проверяемым (при наличии образца), последовательным определением свойств отдельных элементов по признаку да/нет (к примеру, при проверке проекций точки пересечения прямой и плоскости такими свойствами являются принадлежность точки прямой и плоскости) либо выявлением заданной последовательности построений (шагов алгоритма). Проверка включает в себя комплекс процедур распознавания образов, формирования пространственной модели, в общем случае – пространства иной размерности, чем пространство фигур языка описания моделей, соотнесения моделей между собой, формализация результатов в виде оценки.

Таким образом, для решения задачи автоматической проверки необходимо рассмотреть вопросы представления геометрической модели (язык модели) и сравнения геометрических моделей.

3. Представление решений инженерно-графических заданий

В книге Б.И. Аргунова и М.Б. Балка, посвященной построениям на плоскости [21], дается определение задачи на построение, для решения которой «требуется построить… некоторую фигуру, если дана некоторая другая фигура и указаны некоторые соотношения между элементами искомой фигуры и элементами данной фигуры». Это определение легко обобщается на пространство более высокой размерности. Решением инженерно-графической задачи будем считать геометрические модели, формируемые в процессе решения.

Конструктивно-геометрической моделью будем называть пятерку

M = (E, O, R, A, G), которая включает множество O геометрических объектов пространства E и отношений R между объектами, определяющих структуру модели, причем каждый объект из O отнесен к какому-либо и только одному элементу из A, называемого алфавитом, а каждое отношение из R отнесено к какому-либо и только одному элементу из G, называемого грамматикой.

Будем считать, что построение осуществляется в соответствии с принципами формирования геометрической модели [22]: «на выбранные непроизводные фигуры накладываются геометрические отношения, объединяющие их в составные фигуры». В некоторых случаях геометрические отношения используются только на этапе определения параметров фигуры (параметры прямых при определении координат общей

108

точки), но не включаются в саму модель, поэтому будем различать две формы представления фигур в модели – статическую и динамическую.

Статическое представление фигуры – это определение ее перечислением значений параметров (формы и положения). Динамическое представление фигуры – это определение ее перечислением параметров и отношений, связывающих фигуру с другими фигурами.

Преобразование динамического представления в статическое будем называть редукцией. Очевидно, редукция возможна лишь в случае, если все фигуры, с которыми данная связана отношениями, представлены статически и отношения допускают формирование фигуры. Статическими будем называть фигуры, представленные статически и динамически, если их представление может быть редуцировано. Динамическими фигурами (составными) будем называть фигуры, представленные динамически, при этом их представление не может быть редуцировано.

Модели, создаваемые в параметрических САПР, представляют собой динамические фигуры. Если модель, формируемая в геометрическом редакторе, не параметрическая, то выполнение команд представляет собой пошаговую редукцию динамического представления (параметры команды) в статическое (параметры фигуры).

В истории развития методов автоматизации инженерно-графи- ческих работ можно выделить два этапа: автоматизация с использованием языков программирования в период 1960–80-х гг., нашедшая отражение в инженерно-графическом образовании с появлением учебных пособий типа [23], и широкое внедрение систем автоматизации проектирования после появления в начале 1980-х гг. первой версии редактора AutoCAD. Следовательно, геометрическая модель может быть представлена как программа на некотором языке программирования либо в виде файла в формате геометрического редактора. Форматы редакторов реализуют так называемое векторное представление геометрических фигур, которое восходит к понятию дисплейного файла [24, 25], т.е. представляет собой «программу дисплейного процессора», поэтому обе формы представления моделей можно считать эквивалентными. Тем не менее необходимо ввести ограничение: будем рассматривать такие геометрические программы высокого уровня, которые не содержат в явном виде иных инструкций (вычислительных, управления ресурсами и др.), кроме операторов построения фигур. Этому определению вполне соответствуют файлы геометрических редакторов.

109

4. Сравнение геометрических моделей

Целью сравнения является установление факта совпадения (Фэ ≡ Ф) или равенства (Фэ Ф) фигур. Традиционным способом такого сравнения в геометрии еще со времен античности служит способ совмещения (наложения): здесь условием равенства фигур является возможность отображения точек одной фигуры на другую. Поскольку число точек большинства фигур бесконечно, на практике применяют различные условия равенства: сравнение координат точек, длин отрезков, мер углов и др.

Пусть даны эталонная модель T = (ET, OT, RT, AT, GT) и модель S = (ES, OS, RS, AS, GS), требующая проверки. Размерность пространств, алфавит и грамматика в общем случае различны. Множества RS и GS могут быть пустыми (простое перечисление фигур). Система автоматической проверки должна осуществить сравнение S с T.

Сравнение состоит в установлении соответствия проверяемой модели S эталонной модели T и выявлении качественных и количественных различий между ними. Источниками различий служат элементы модели S (фигуры или связи), противоречащие эталону, и элементы модели T, отсутствующие в S. Проверяемая модель правильна, если соответствие является отображением T в S и среди объектов в S, не имеющих прообразов в T, нет каких-либо ошибок.

В общем виде автоматическая проверка конструктивно-геометричес- коймоделипредставляетсобойсовокупность трех процедур(рис. 3, б):

1. Предварительное преобразование проверяемой модели S в промежуточную модель S', которое может иметь целью восстановление связей, потерянных при сохранении модели в графическом редакторе, структурный анализ и выделение фигур из групп примитивов, преобразование в модель с пространством большей или меньшей размерности.

Рис. 3. Моделирование процесса проверки решений инженерно-графических задач

110