3. Двухфазное короткое замыкание на нейтраль (рис. 12.19).
Этот несимметричный режим генератора характеризуется следующей системой уравнений:
I = 0 ; U |
= 0 ; |
U |
= 0 . |
(12.70) |
A |
B |
|
C |
|
|
|
|
Для |
определения других величин |
|
записываются уравнения по |
второму |
|
закону Кирхгофа для обмоток фаз B , C |
|
и |
A . С учётом соотношений (12.39)– |
|
(12.41) эти уравнения имеют следую- |
|
щий вид: |
|
|
|
I B (Z B + jω0 L22 ) + jω0 L23I C = E B0; (12.71) |
|
jω0L32I B + I C (Z C + jω0 L33) = EC 0; (12.72) |
Рис. 12.19. Схема соединения |
U |
A = E A0 − jω0(L12I B + L13I C) . |
(12.73) |
обмотокСНЯГ придвухфазном |
|
|
|
|
|
|
короткомзамыкании на |
Уравнения (12.71) и (12.72) обра- |
|
нейтраль |
|
зуют систему, решаемую относительно |
|
|
|
|
токов I B и I C , традиционными мето- |
|
одами. Рассчитав указанные токи, определяется напряжение фазы A , |
с использованием выражения (12.73). Результаты моделирования приведены в табл. 12.3, векторная диаграмма – на рис. 12.20.
Таблица 1 2 . 3
Результаты моделирования и аналитического расчёта двухфазного короткого замыкания СНЯГ на нейтраль
Параметр |
Данные модели |
Данные расчёта |
IA, А |
0 |
0 |
IB, А |
–0,7425 + j · 1,0365 |
–0,74244 + j · 1,0365 |
IC, А |
0,7425 + j · 1,0365 |
0,74244 + j · 1,0365 |
UA, В |
64,02 |
63,99 |
UВ, В |
0 |
0 |
UC, В |
0 |
0 |
Рис. 12.20. Векторная диаграмма СНЯГ при двухфазном коротком замыкании на нейтраль
Величины токов и напряжений при двухфазном коротком замыкании на нейтраль могут быть вычислены аналитически [47], если известны собственные и взаимные индуктивности фаз. Ток фазы А в этом случае равен нулю, а токи фаз В и С рассчитываются следующим образом:
|
|
= ( |
a |
2 |
−1) |
Z |
2 |
+( |
a |
2 − a) |
0 |
|
|
EA |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
I B |
|
|
|
|
|
|
Z |
Z1Z 2 |
+ Z 0(Z1 + Z 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (−0,5 |
− j 0,866 −1) j 256,61+ |
|
|
|
|
(−0,5− j 0,866+ 0,5− j 0,866) j 30,866 × |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
220 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 256,61 j 256,61+ j 30,866 ( j 256,61+ j 256,61)
= (−0,74244 + j 1,0365)A;
442
|
|
= (a −1) |
Z |
2 + ( |
a |
2 |
− a) |
Z |
0 |
|
|
|
E A |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I C |
|
|
|
|
|
|
Z1Z 2 |
+ Z 0(Z1 + Z 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (−0,5 |
+ j 0,866 −1) j 256,61+ (−0,5− j |
|
|
|
|
0,866+ 0,5− j 0,866) |
j 30,866 × |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
220 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 256,61 j 256,61 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ j 30,866( j 256,61+ j 256,61) |
|
= (0,74244 + j 1,0365)A.
Напряжение незакороченной фазы рассчитывается исходя из величины ЭДС фазы А и известных сопротивлений прямой, обратной и нулевой последовательности:
|
U A = |
|
3EA Z0 Z2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ Z0 (Z1 + Z2 ) |
|
|
|
Z1 Z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
3 220 j 30,866 j 256,61 |
|
= 63,99 B. |
|
j 256,61 j 256,61 + j 30,866( j 256,61 + j 256,61) |
Результаты аналитического расчёта токов и напряжений при двухфазном коротком замыкании на нейтраль, весьма близкие к результатам моделирования, приведены в табл. 12.3.
Если синхронный генератор имеет демпферную обмотку с малым сопротивлением, то обратно вращающееся магнитное поле наводит в ней ЭДС двойной частоты. Под действием этой ЭДС в демпферной обмотке протекают токи той же частоты, которые создают своё магнитное поле, препятствующее проникновению основного поля в ферромагнитный массив ротора. В результате этого процесса обратно вращающееся магнитное поле по своему характеру становится близким к полю рассеяния с весьма малым сопротивлением, эквивалентным этому магнитному потоку. Величина индуктивной составляющей этого сопротивления зависит от степени демпфирования обратно бегущей составляющей магнитного поля и близка к величине сопротивления обмотки статора.
Для синхронных машин большой мощности активными сопротивлениями обмоток можно пренебречь ввиду их малости. Для машин небольшой мощности активные сопротивления соизмеримы
синдуктивными и их при расчётах нужно учитывать. Для определения активных и индуктивных сопротивлений обратной последовательности используют данные опыта двухфазного короткого замыкания [2]. Эти величины могут быть также определены при математическом моделирования режима двухфазного короткого замыкания
сиспользованием следующих выражений:
|
Z C2 = |
U AB |
; |
PC 2 = Re ( j 3 U AB Iк ) ; |
|
|
|
|
|
|
|
3 Iк |
|
|
|
|
|
|
RC2 = |
PC2 |
; |
X C2 = |
Z C2 |
2 − RC2 2 , |
(12.74) |
|
3 I 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
где U AB – линейное напряжение; |
I к – |
ток, |
полученный в результате |
|
расчёта режима короткого замыкания; I к – |
комплекс, |
сопряжённый |
комплексу тока I к .
Втабл. 12.4 представлены результаты расчёта индуктивного
иактивного сопротивлений обратной последовательности, полученные в результате моделирования режима двухфазного короткого замыкания. С ростом степени демпфирования (увеличения проводимости массива ротора) величина индуктивного сопротивления обратной последовательности стремится к предельному значению
X C 2 = 5 Ом, равному индуктивному сопротивлению рассеяния обмотки статора. Такое соотношение характерно для синхронных машин, при игнорировании активного сопротивления их обмоток.
Таблица 1 2 . 4
Индуктивное и активное сопротивления обратной последовательности СНЯГ при различной степени демпфирования
Вид |
Значения сопротивления (Ом) при электропроводности |
|
материала ротора, См/м |
|
сопротивления |
|
|
107 |
207 |
307 |
407 |
Индуктивное |
6,3234 |
5,4529 |
5,2527 |
5,1669 |
Активное |
15,1304 |
7,5482 |
5,0234 |
3,7631 |
Активное сопротивление обратной последовательности с ростом степени демпфирования стремится к величине приведённого активного сопротивления демпферной обмотки, если не принимать в расчёт активного сопротивления обмоток статора и возбуждения.
Результаты, приведённые в табл. 12.4, показывают характер влияния электропроводности материала ротора на величину сопротивлений обратной последовательности. Для более точного определения этих сопротивлений необходимо использовать двумерную математическую модель, позволяющую учитывать эффект вытеснения тока
вмассивном роторе.
12.4.МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИСТЕРЕЗИСНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
Внастоящее время довольно широкое распространение получили гистерезисные двигатели, которые являются разновидностью синхронных машин [45]. Конструкция гистерезисных двигателей практически не отличается от конструкции асинхронных двигателей с полым немагнитным ротором. Основное отличие заключается в материале ротора, который является ферромагнитным с широкой петлёй гистерезиса. Если такой материал помесить в пере-
менное магнитное поле, то помимо потерь от вихревых токов в нём возникают потери от гистерезиса, пропорциональные частоте перемагничивания. Если частота вращения ротора близка к частоте вращения магнитного поля, то при малом скольжении материал ротора успевает намагнититься в течение полупериода изменения магнитного поля и втянуться в синхронизм. После этого двигатель начинает работать как синхронный с частотой вращения магнитного поля.
На ротор двигателя действуют два момента: асинхронный – вследствие взаимодействия магнитного поля двигателя с вихревыми токами, и синхронный – при взаимодействии магнитного поля статора с магнитным полем ротора, возникающим при намагничивании материала ротора. При пуске двигатель работает как асинхронный, а после втягивания в синхронизм – как синхронный.
В некоторых конструкциях ротор двигателя выполняют комбинированным: часть ротора изготовляется из материала с широкой петлёй гистерезиса, вторая часть – с беличьей клеткой. Эта часть способствует увеличению пускового момента двигателя и уменьшению его колебательности за счёт демпфирования.
Рассмотрим особенности математической модели гистерезисного двигателя, считая, что в воздушном зазоре помимо среды с постоянной электропроводностью размещена среда, электропроводность которой обратно пропорциональна скольжению.
Напряжённость электрического поля в движущейся среде для одномерной модели определяется выражением (8.29):
E2м = − jω0 sАм = Eмs .
Величина напряжённости электрического поля в движущейся среде пропорциональна скольжению. В то же время частота ЭДС движущейся среды также пропорциональна скольжению
Определим эквивалентную электропроводность сред, равномерно распределённых в зазоре гистерезисного двигателя, приравнивая поочерёдно потери от вихревых токов и гистерезиса ферромагнитного материала к потерям движущихся в зазоре сред.
Для этого подставим в (7.59) и (7.64) напряжённость электрического поля и частоту по выражениям (8.29) и (12.75) и, выполняя промежуточные преобразования, получим выражение электропроводности движущейся среды, эквивалентной вихревым токам. Выражение эквивалентной электропроводности для движущейся среды ротора (12.76) полностью совпадает с аналогичным выражением для среды неподвижной (7.65):
γв.р = |
K д.рσ |
g ст |
|
Vр |
|
|
|
|
. |
(12.76) |
2π2 f 2 h2 B2 |
V |
|
0 |
р |
0 |
|
δ |
|
Анализируя потери в материале ротора с широкой петлёй гистерезиса, можно показать, что электропроводность, эквивалентная потерям от гистерезиса, для движущейся среды записывается в виде
γг.р = |
ε g стK д.р V р |
. |
(12.77) |
2π2 f 0 B02hр2 Vδ |
При этом следует учитывать, что электропроводность рассматриваемой среды зависит от скольжения, и в уравнение магнитного поля указанную электропроводность необходимо подставлять в виде
γ2г 
s .
Удельные потери от вихревых токов и от гистерезиса пропорциональны квадрату напряжённости электрического поля:
∆ P = |
( E |
s)2 γ |
|
≡ |
s2 ; |
(12.78) |
|
вихр |
2 |
|
|
в.р |
|
|
∆ P |
= ( E |
s)2 |
γг.р≡ |
s . |
(12.79) |
|
гист |
2 |
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Электромагнитный момент двигателя определяется суммарной |
мощностью потерь ротора: |
|
|
|
|
|
|
|
M э.м = |
∆ Pвихр+ ∆ |
Pгист |
≡ M кв s+ M г . |
(12.80) |
|
|
|
|
ω0s |
|
|
|
|
|
|
Электромагнитный момент гистерезисного двигателя состоит из двух составляющих: первая, пропорциональная скольжению и зависящая от скорости вращения, представляет асинхронный момент; вторая, не зависящая от скорости вращения, – гистерезисный момент.
Анализ электромагнитных процессов гистерезисного двигателя производится с использованием схемы замещения, которая представлена на рис. 12.21. Сопротивление R1 здесь представляет активное сопротивление обмотки статора, Х1 – индуктивное сопротивление рассеяния обмотки статора, Хµ – индуктивное сопротивление намагничивающего контура. Активное сопротивление Rв.с, включённое параллельно намагничивающему контуру и имеющее постоянную величину, соответствует потерям в магнитопроводе статора от вихревых токов. ЭДС, наводимая основным потоком в листах электротехнической стали статора, пропорциональна частоте сети.
Поэтому мощность, затрачиваемая в этом сопротивлении, пропорциональна квадрату частоты.
Рис. 12.21. Схема замещения гистерезисного двигателя
Сопротивление Rг.с обратно пропорционально электропроводности γг.с
f , эквивалентно потерям в магнитопроводе статора от
гистерезиса. Поскольку ЭДС, наводимая в стали статора, и сопротивление Rг.с пропорциональны частоте сети, то мощность, затрачи-
ваемая в этом сопротивлении, оказывается пропорциональна первой степени частоты, т.е. мощности потерь от гистерезиса.
Аналогично, сопротивления R′в.р и R′г.р эквивалентны потерям
ротора от вихревых токов и гистерезиса. Схема замещения соответствует электромагнитным процессам гистерезисного двигателя и может использоваться для их анализа [45].
Для предложенного способа учёта потерь в стали статора и ротора стационарное уравнение магнитного поля запиcывается в виде
1 |
|
∂ |
|
1 |
|
∂ |
|
|
|
|
|
γ |
г.р |
|
|
|
|
|
|
A |
|
− jω0µ |
|
|
|
|
+ q(ϕ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
(γв.р + |
|
|
|
A = −µ0 J ст(ϕ ) . (12.81) |
2 |
|
|
|
∂ϕ) |
|
|
|
|
s |
R0 |
|
∂ϕ µ ϕ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Его решение совместно с системой уравнений Кирхгофа позволяет рассчитать характеристики гистерезисного двигателя.
Для моделирования гистерезисного двигателя используется модифицированная модель короткозамкнутого асинхронного двигателя. Отличие модели гистерезисного двигателя заключается в том, что в зазоре двигателя распределена комбинированная вторичная среда. Электропроводность одной компоненты среды постоянна, электропроводность второй компоненты – обратно пропорциональна скольжению.
На рис. 12.22 представлена зависимость электромагнитного момента гистерезисного двигателя от скольжения, полученная в результате моделирования. Кривая 1 изображает гистерезисный момент, величина которого от скольжения не зависит. Кривая 2 соответствует зависящему от скольжения асинхронному моменту. Поскольку асинхронный момент определяется потерями ротора от вихревых токов, то при малой величине последних зависимость асинхронного момента от скольжения практически линейна.
Рис. 12.22. Зависимость электромагнитного момента гистерезисного двигателя от скольжения
(1 – гистерезисный момент; 2 – асинхронный момент)
Для расчёта характеристик гистерезисного двигателя необходима информация об удельных потерях ферромагнитного материала ротора. Такая информация может быть получена экспериментальным путем при разделении потерь на потери от вихревых токов и потери от гистерезиса [48].
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В первой части работе рассмотрены наиболее часто применяемые методы решения краевых задач, описывающих стационарные и нестационарные электромагнитные процессы электрических машин. Следует отметить, что математическое описание реальных электрических машин имеет весьма сложный характер, и уравнения магнитного поля могут существенно отличаться от рассмотренных в данной работе. Так, например, зависимость магнитной индукции от напряжённости магнитного поля вследствие гистерезиса имеет неоднозначный характер. Это, естественно, также должно быть учтено системой дифференциальных уравнений математической модели. Сочетание этих особенностей материала магнитопровода накладывает отпечаток на характер протекания электромагнитных процессов, и для получения адекватности необходим более точный учёт этих факторов.
Математическое описание электромагнитных процессов электрических машин может быть полностью реализовано с использованием уравнений в частных производных. Однако в этом случае задача усложняется настолько, что не может быть реализована даже при существенном развитии вычислительной техники. Поэтому наиболее распространённым подходом математического моделирования электрических машин является сочетание полевых методов с методами, использующими теорию электрических цепей.
Математическое моделирование электромагнитных процессов электрических машин требует значительных временных затрат как на подготовку решения, так и времени решения систем уравнений. Поэтому естественно использовать экономичные методы решения многомерных краевых задач, представленные в пакетах математических программ. Следует также учитывать, что разумное сочетание прямых и итерационных методов в ряде случаев позволяет в значительной степени упростить решение краевых задач.
