Основы практической реологии и реометрии

Из уравнения (57) следует, что реакция рассматриваемой моде­ ли, состоящей из двух элементов, - либо упругая (5 = 0), либо вяз­ кая (6 = 90°).

Модель Максвелла (рис. 69, кривая с черными точками). Эта мо­ дель представляет собой комбинацию демпфера и спирали, соеди­ ненных последовательно, в которой общее напряжение равно на­ пряжению на каждом элементе, а общая деформация есть сумма деформаций демпфера и спирали.

В этом уравнении член А, = Т|IG обозначает время релаксации. Как и в модели Кельвина-Фойхта, напряжение как отклик на сину­ соидальную деформацию определяется двумя составляющими: уп­ ругой синусоидальной волновой функцией с ф = 0 и вязкой косину­ соидальной волновой функцией с ф = = 90°.

Реальные вязкоупругие жидкости (рис. 70, кривая с точками в виде черных квадратов) являются более сложными, чем тело Кельвина-Фойхта или жидкость Максвелла. Угол сдвига фаз у них находится в пределах 0 < 8 < 90°, а величины G* (см. ниже) и 8 за­ висят от частоты.

В режиме CR-измерений деформация определяется амплитудой Уо и угловой скоростью со:

у = Y0sin(coO-

Результирующее напряжение характеризуется амплитудой на­ пряжения т0 и углом сдвига фаз 8:

т = T0sin(cor + 8).

Угловая скорость связана с частотой колебаний следующим об­ разом:

со = 2я/,

где частота/ дана в Гц (1 Гц = цикл/с); размерность со - 1/с или рад/с.

Значение со, умноженное на время г, определяет угловую ско­ рость как угловое отклонение в радианах: 2я соответствует полной окружности в 360°.

В этом уравнении величины С 'и С " обозначают:

G ' = G *cos 5 = — cos 8 - модуль упругости, или модуль накопле-

Yo

ния;

G " = G *sin 5 = — sin 5 - модуль вязкости, или модуль потерь.

То

Термин “модуль накопления” указывает на то, что энергия на­ пряжения была временно запасена в процессе испытания, но она может быть впоследствии возвращена. Термин “модуль потерь” го­ ворит о том, что энергия, использованная для инициирования тече­ ния, необратимо перешла в теплоту (“потеряна”).

Если вещество чисто вязкое, то угол сдвига фаз 8 = 90°: G ' = 0, и G" = G*.

Если вещество чисто упругое, то угол сдвига фаз 8 = 0: G ' = G *, и G " = 0.

Из комплексного модуля G* можно определить комплексную вязкость Т|*:

Комплексная вязкость отражает общее сопротивление динамиче­ скому сдвигу. Ее также можно разложить на две компоненты - за­ пасенную (мнимую) вязкость Т|" (упругая компонента) и динамиче­ скую вязкость Т|' (вязкая компонента):

Эти уравнения также могут быть использованы для определения комплексной податливости J* с ее действительной и мнимой ком­

Напряжение, возникающее в образце при динамических испыта­ ниях, теперь может быть записано в терминах либо модулей, либо вязкостей:

хG'Yosin(d)/) + G"Y0COS(OJO;

х= n"Yo®sin(cor) + T|'YoCDcos(a)f)-

Современное расчетное программное обеспечение позволяет преобразовать G* и 8 в соответствующие действительные и мнимые компоненты G' и G", f|' и Т|" или J ' и J " Развертка по диапазону

частот позволяет получить зависимости модулей, вязкостей и по­ датливостей от частоты.

Зависимость динамических данных от угловой скорости. Ре­ альные вещества не являются ни телами Кельвина-Фойхта, ни мак­ свелловскими жидкостями, а представляют собой сложную комби­ нацию этих основных моделей. Чтобы оценить динамические ха­ рактеристики реальных веществ, полезно рассмотреть поведение этих двух основных моделей при изменении угловой скорости.

При динамическом испытании тела Фойхта модули выражаются следующим образом: G' прямо связан с модулем пружины G, тогда как G " = Т)Ю(рис. 73).

Из этого следует, что G' не зависит от частоты, тогда как G " ли­

нейно связан с частотой. При низких частотах поведение этого мо­ дельного вещества определяется поведением его пружины, т. е. уп­ ругая компонента G ' превышает вязкую компоненту G " При про­

межуточной частоте величины обеих компонент равны, а при высо­ ких частотах вязкая компонента становится преобладающей.

Используя равенство X = ц/G, приведенное выше уравнение

можно преобразовать

G " = GasX.

При динамическом испытании жидкости Максвелла модули в функции (£>Хвыражаются соотношениями

1 + <B2X.2

Когда член coA, становится очень малым, используют член X = т|Ю (вязкость демпфера/модуль пружины), тогда

G' = G(£>2X2и G" = GXсо = л со. Когда член (йХ становится очень большим, тогда

G' = G u G "= — = -? - = — . Лео сод. лсо

При низких частотах вязкая компонента G” выше, чем упру­ гая G ' Максвелловская модель реагирует точно так же, как и нью­ тоновская жидкость, так как для реакции демпфера имеется доста­ точно времени, чтобы успеть отреагировать на заданную деформа­ цию. При высоких частотах положения С ' и С " меняются местами: модельная жидкость реагирует точно так же, как и единичная спи­ раль, поскольку демпфер не успевает реагировать на заданную де­ формацию.

Такое поведение представлено на рис. 74. На этом графике в двойных логарифмических координатах приведены зависимости

обоих модулей в функции соА. При низких частотах кривая запасен­ ного модуля G ' возрастает линейно с наклоном tg а = 2 и при высо­ кой частоте асимптотически достигает величины модуля пружины G. Кривая модуля потерь G " сначала также линейно возрастает (tg a= 1), достигая максимума при соА = 1, а затем падает (tg a = -l). При соА = 1 оба модуля равны.

При оценке результатов динамических испытаний представляют интерес частота, при которой пересекаются кривые обоих модулей, и наклон частотных зависимостей, особенно при низких частотах.

Для очень низких значений угловой скорости по величине G " можно оценить динамическую вязкость демпфера Г| = G'Vco и время релаксации А = 1/( G "со).

Соотношение Кокса-Мерца. Два ученых, которые дали этому соотношению свое имя, эмпирически установили, что вязкость при стационарном сдвиге, измеренная в зависимости от скорости сдвига, может быть непосредственно связана с динамической ком­ плексной вязкостью Т|*, измеренной как функция угловой скорости:

T|(Y) = rf

Было обнаружено, что это соотношение справедливо для многих расплавов и растворов полимеров, но редко дает приемлемые ре­ зультаты для суспензий.

Преимущество соотношения Кокса-Мерца состоит в том, что технически проще работать с частотой, чем со скоростями сдви­ га. На ротационных вискозиметрах невозможно проводить испыта­ ния расплавов и растворов полимеров при высоких скоростях сдви­ га из-за проявления эластичности - эффекта Вайссенберга. Поэтому вместо измерений кривой течения при стационарном сдвиге проще провести динамические испытания и использовать комплексную вязкость.

Определение области линейной вязкоупругости. В разделе, описывающем испытания ползучести и восстановления, было пока­ зано, насколько важно проводить измерения в области линейной вяз­ коупругости. Эта область имеет также большое значение и при ди­ намических испытаниях. Чтобы определить границу между линей­ ной и нелинейной областями вязкоупругости, проведем одно про­ стое исследование.

Вместо динамических испытаний с фиксированной амплитудой напряжения или деформации и разверткой по частоте может быть выполнено другое - с фиксированной частотой в 1 Гц и с разверт­ кой по амплитуде. Амплитуда автоматически ступенчато возрастает после достижения установившихся значений деформации (напря­ жения). В результате подобных измерений получают зависимость G* от амплитуды.

На схематической диаграмме (рис. 75) кривая комплексного мо­ дуля сначала проходит параллельно оси абсцисс (в данном примере

lg т0 = 1 начинает снижаться.

Область линейной вязкоупругости ограничена таким интервалом амплитуд, в котором значение G* постоянно. В теории линейной вязкоупругости соответствующие уравнения являются линейными дифференциальными уравнениями и коэффициенты дифференциа­ лов по времени являются постоянными, т. е. материальными кон­ стантами. Выход за пределы области линейной вязкоупругости при использовании более высоких амплитуд и, следовательно, по­ вышенных напряжений означает появление неучитываемых откло­ нений результатов измерений, связанных с выбором параметров ис­ пытаний и применяемой аппаратуры. При таких условиях образец деформируется до момента, когда физические связи между молеку­ лами или агрегатами разрушаются, наступает сдвиговое разжиже­ ние, и большая часть вводимой энергии необратимо переходит в те­ плоту.

Нужно отметить следующее. Так как чрезвычайно важно опре­ делить область линейной вязкоупругости, любые динамические ис­ пытания неизвестных образцов необходимо начинать с развертки по амплитуде напряжения.

Определив амплитуду, при которой измерения данного образца действительно не выходят за пределы области линейной вязкоупру­ гости, можно переходить к дальнейшим испытаниям, используя