Конечные элементы и аппроксимация
..pdfРис. 2.9. Сравнение нормальных производных точного и приближенного решений на прямых *= = £ 1 для задачи из примера 2.7.
2.16. Вывести уравнения метода взвешенных невязок для задачи двумерно^
стационарной теплопроводности в |
области Q с краевыми условиями Ф= Ф |
на Гф и kdy/dn=— <7+Л(ф—ф0) |
на Г^. Здесь ф—температура в произволь |
ной точке, k— коэффициент теплопроводности среды, а ф, q, h и ф0 —заданные
функции |
координат. |
|
|
|
|
|
материале, зани |
2.17. Решить задачу стационарной теплопроводности в |
|||||||
мающем |
квадрат — 1 дс,//< |
1, |
если на |
сторонах |
у = ± |
1 поддерживается |
|
температура 100° С, |
тогда как |
на |
сторонах |
х = ± 1 |
задано |
условие ду/дп = |
|
=—1—ф.
2.18.Показать, что для описанной в упражнении 1.21 задачи об откло
нении |
нагруженной тонкой упругой пластины краевое условие |
д2у/дп2 = 0 |
на Г является естественным краевым условием. Решить эту задачу |
и сравнить |
|
ответы |
с полученными в упражнении 2.12. |
|
2.6.Методы граничного решения
Вэтой главе для построения приближенных решений диффе
ренциальных уравнений с соответствующими краевыми условиями
использовались системы базисных функций, такие, что либо
1) аппроксимация ф полностью удовлетворяла краевым усло виям, но не удовлетворяла априори дифференциальному уравне
нию в области Q, либо
2) аппроксимация ф ни полностью, ни частично не удовлет
воряла краевым условиям, как не удовлетворяла и дифферен циальному уравнению.
Ясно, что существует и третья возможность, когда базисные
функции таковы, что аппроксимация ф автоматически удовлетво
ряет дифференциальному уравнению, но не удовлетворяет непо
средственно краевым условиям [4]. Если рассматриваемое диффе
ренциальное уравнение линейн.о, то такая возможность может
быть реализована выбором базисных функций, которые сами
являются решениями дифференциальногоуравнения. Выбирая
базисные функции таким образом, положим |
|
М |
(2.59) |
Ф « Ф = 2 amNm. |
|
гп=1 |
|
Тогда уравнение метода взвешенных невязок (2.41) сводится к
соотношению
|
IW tR rdT ^O , |
(2.60) |
|
|
Г |
|
|
так как |
м |
|
|
|
|
|
|
|
Ra = A (ф) = |
2 a,nA(Nm) = 0. |
(2.61) |
|
т — 1 |
|
|
Теперь |
необходимо определить |
только систему весовых |
функций |
Wl9 и |
причем фактически лишь |
на границе Г. |
|
Тем не менее такую систему базисных функций выбрать труд нее. Для этого существуют общие, хотя и достаточно сложные
процедуры. Здесь, однако, мы ограничимся демонстрацией реше
ния задачи на примере уравнения Лапласа, для которого выбор базисных функций особенно прост.
Если имеется некоторая аналитическая функция комплексной переменной z = x + iy, то ее вещественная и мнимая части долж ны автоматически удовлетворять уравнению Лапласа. Действи тельно, пусть такой аналитической функцией является
f(z) = u + iv, |
(2.62) |
где и и v вещественны. Тогда |
|
<Э7/Зх2 = /". &f/dy* = /7" = |
(2.63) |
где f" = dsf/dz2. Таким образом, |
|
v 7 = v 2« + /v2u = o , |
(2.64) |
что может быть верно только тогда, когда V2« — Vay — 0- Эт°т
результат позволяет непосредственно использовать аналитическую
ФУНКЦИЮ |
f(z) = zn |
5 |
|
|
|
||
для получения |
системы функций, удовлетворяющих уравнению |
||
Лапласа, а именно: |
|
||
П = 1 , |
и = х, |
V = y , |
|
п = 2, |
и = Xй— у2, |
v = 2xy, |
|
ОО |
и= х3— 3ху2, |
v = 3x2y —у3, |
|
II |
|||
|
|
||
п = 4, |
и = х * -6 х йуй+ у\ |
у = 4х3у — 4ху' |
|
и т. д.
Построив подходящую систему функций, продемонстрируем
применение метода |
на примере |
повторного |
решения задачи кру |
||
чения, уже рассматривавшейся в примерах 1.5, 2.3 и 2.5. |
|||||
Пример 2.8. Рассмотренная ранее задача кручения описывается |
|||||
дифференциальным |
уравнением |
д2<р/дх2 + д\/ду2= — 2 |
в прямо |
||
угольной области — 3 < х < 3 , |
— 2 < г / < 2 |
с |
краевым |
условием |
|
ф = 0. Выше было |
показано, |
как построить |
систему функций, |
||
удовлетворяющих уравнению Лапласа. Чтобы иметь возможность
воспользоваться |
этой системой функций в данном примере, вве |
|||
дем сначала |
новую переменную 0, положив |
|||
|
|
|
|
ф = 6 — (хй+ уй)/2. |
Тогда задача |
кручения сводится к решению уравнения |
|||
|
дйв/дхй+ дйд/дуй= 0, — 3 < х < 3 , — 2 < г / < 2 , |
|||
с условием |
0 = |
(хй+ уй)/2 на границе. Попытаемся теперь решить |
||
эту |
задачу |
описанным выше методом граничного решения. Иско |
||
мое |
решение |
будет симметрично относительно х н у . Поэтому, со |
||
гласно (2.66), в качестве базисных функций можно использовать
систему N2 = 1, N2 — x2— уй, W8 = x4— 6хйуй+ у* и т. д.
Трехэлементная аппроксимация |
|
||||
|
0 = а, + |
а2 (хй— уй) + а2 (х*— 6хйуй+ у4) |
|
||
в точности удовлетворяет дифференциальному уравнению при |
всех |
||||
значениях av |
а2 и а3, так как |
каждая базисная функция |
явля |
||
ется решением уравнения |
Лапласа. |
|
|||
Поэтому |
уравнения |
метода |
взвешенных невязок имеют вид |
||
(2.60) и для |
данного |
примера могут быть записаны как |
|
||
|
j |
[0 — (х2+ |
#2)/2] Wt dT = 0. |
|
|
Г
Если весовые |
функции Wt выбрать из |
условия |
= М/|г» то эти |
соотношения |
примут вид |
|
|
2 |
3 |
|
|
* = э - ( 9 + |
</2)/2]ЛМ ,=4Ф + '$ [ 9 U |
- ( * a + 4)/2] Nt \ymldx = 0. |
|
о |
о |
|
|
Подставляя сюда выражение для 0 и вычисляя полученные ин
тегралы, приходим к стандартному векторному уравнению вида
(2.55), где
|
Г |
5 |
12.3333 |
—95 |
I |
|
К = |
12.2333 |
145 |
98.543 |
, |
||
|
L—95 |
98.543 |
18170.4 |
J |
|
|
|
|
20.83331 |
|
|
|
|
|
|
78.1 |
, |
|
|
|
|
|
—539.643 |
J |
|
|
|
с решением at = |
3.2154, а2 = —0.2749, |
а3 ——0.01438 Определив |
||||
таким образом |
3-элементную |
аппроксимацию |
0 и |
воспользовав- |
||
Рис. 2.10. Поведение аппроксимации базисными функциями из примера 2.8 на прямых у= —2 (а) и х = ± 3 (б).
шись |
соотношением |
ф = |
0 — (х2+ у2)/2, получим эквивалентную |
|||
аппроксимацию |
исходной |
функции |
ср. |
|||
Поведение |
ф |
на |
границах, где искомое решение удовлетво |
|||
ряет |
условию |
Ф = 0, |
показано на |
рис. 2.10. Крутящий момент, |
||
вычисленный с использованием такой аппроксимации, равен 75.51
(точное значение равно 76.4).
Для дифференциальных уравнений более общего вида выбор базисных функций в методе граничного решения менее очевиден.
В общем случае могут быть использованы сингулярные функции
типа функции Грина, и тогда результирующая аппроксимация
представляется системой интегральных уравнений. К методам такого типа относятся так называемые методы граничных интег ральных уравнений. Они являются полезным инструментом чис ленного анализа [5].
В большинстве книг такие процедуры граничного решения
трактуются как вполне самостоятельные и изолированные. Чита
тель должен заметить, однако, что такой подход является всего
лишь вариантом общего метода взвешенных невязок.
2.7. Системы дифференциальных уравнений
Метод взвешенных невязок может быть весьма успешно при
менен и к решению систем дифференциальных уравнений. Форму
лируя эту задачу в самой общей постановке, можно сказать, что
отыскивается неизвестная функция ф:
<pr =(<Pi. <р*. • • •). |
(2-67) |
такая, что в области Q она удовлетворяет некоторым дифферен циальным уравнениям, записываемым в виде
А ( ф ) = 0, |
Л а (ф) = |
0, |
|
(2.68) |
или |
|
|
|
|
''М ф Г |
|
|
|
|
Л ,(ф ) |
|
й . |
(2.69) |
|
А ( ф ) = |
= 0 на |
|||
Будем предполагать, что на границе Г области Q задано |
||||
нужное число соответствующих |
краевых условий, а |
именно |
||
(ф) = о, |
Вг(ф) = |
0. |
|
(2.70) |
|
|
|||
или в другой записи |
|
|
|
|
~В1(ф Г |
|
|
|
|
В (<р) = |
в 3(ф) |
= 0 |
на Г . |
(2.71) |
|
||||
Для каждой компоненты неизвестного вектора <р используем разложение по базисным функциям вида (2.27), полагая
м
4>i |
Ф 1 = |
Ф 1 “ Ь 2 |
& т I J ^ m . 1> |
|
|
т = 1 |
(2.72) |
|
|
М |
|
|
|
|
|
Фз |
Ф2= |
^ 2“Ь 2 |
2^Я| а |
|
|
т= I |
|
и т. д. Эти разложения можно записать в более компактной век
торной форме
|
|
м |
|
|
(2.73) |
<р « |
ф = ф + |
2 |
N A |
, |
|
|
|
т = |
1 |
|
|
где |
|
|
|
|
|
Ф Т = |
(Ф1. Фз. Фз. • • •). |
|
(2.74а) |
||
&т ~~ (^/п, 1> |
|
|
|
||
г> |
з> |
• • •) |
|
||
и |
|
|
|
оп |
|
'Nт* 1 |
|
|
|
||
Nffl = |
|
Nт% 3 |
|
(2.746) |
|
|
|
|
|
||
1_° |
|
|
|
|
|
Очевидно, что в этом |
случае опять могут быть |
использованы |
|||
введенные в предыдущих параграфах стандартные виды аппрок
симации. При этом подразумевается, что теперь Nm— диагональ ная матрица, составленная из базисных функций, а параметр
ат — вектор с числом компонент, равным числу неизвестных функ ций в определении <р.
Чтобы получить для задачи этого типа обобщенные уравне
ния метода взвешенных невязок, можно рассмотреть каждое из
уравнений (2.68) и соответствующие им краевые |
условия |
и при |
|||
писать им соответствующие веса. Тогда вместо |
(2.41) мы |
будем |
|||
иметь систему уравнений |
|
|
|
|
|
$ Г ,,Л (ч > ) Л 2 + $ Wlt 16 1(Ф)^Г = |
0, |
|
|||
Q |
|
Г |
|
|
|
г |
.. |
Г - |
- |
|
(2-75) |
Если ввести диагональные матрицы весовых функций W, и
W,, ПОЛОЖИВ
W , =
_0 1
(Г
Wltt
_l
(2.76)
|
~Wi.i |
0“ |
|
Wi , t |
|
|
|
|
w , = |
|
Wt, t |
t_o
то систему уравнений (2.75) можно записать в компактной форме
W ,B(^)dr = 0, |
(2.77) |
«Г
исоответствующая аппроксимация получена.
Применение такого подхода к задачам, описываемым системой
двух дифференциальных уравнений, иллюстрируется следующим примером.
Пример 2.9. В гл. 1 было показано, как записать общую
задачу теплопроводности в виде системы уравнений первого по рядка (1.2) и (1.4). В случае одномерной стационарной тепло проводности эти уравнения принимают вид
q+ |
kdyldx = 0, dq/dx— Q= |
О, |
где q— поток тепла |
в направлении х, ср— температура, Q— ско |
|
рость генерирования |
тепла внутри материала |
и k— коэффициент |
теплопроводности материала. Эту систему уравнений можно решать одновременно для q и ср, если положить
и записать дифференциальные уравнения в виде
или в виде
^ Ф + Р =
kd/dx
Ф + |
= 0. |
0 J
Для |
конкретного примера |
отрезка |
где k = \ , Q = 1 |
|||||
при |
0 < 1 л :^ 1 /2 |
и |
Q= |
0 |
при |
1/2< |
JC^ 1, и краевых условий |
|
<р = 0 |
при х = 0 |
и |
<7 = |
0 |
при |
* = 1 |
задача является |
корректно |
поставленной и |
допускает |
решение. |
Отметим, кстати, |
что для |
||||
каждой из неизвестных функций задается только одно краевое
условие, |
причем |
на градиент краевое условие не накладывается. |
|
Для |
аппроксимации вида |
(2.72) |
|
|
|
м |
м |
|
9 = |
2 аЯ. |
„ Ф = .ф 2+ 2 ат, 2^т. 2 |
|
|
т —1 |
т = I |
краевые условия будут автоматически выполнены, если положить
\рг = я|)2 = 0, |
а |
системы |
базисных функций выбрать так, что |
Nm%! = |
0 |
при x = l ; |
Nmi 2 = 0 при х = 0; т= 1, 2, . . . , М. |
В данном примере мы удовлетворим этим условиям, взяв системы
базисных функций
Nu, i = x ? - 1(l —xy, Nmti= x m,
Уравнение (2.77) принимает теперь простой вид
1 t
J W dx+ ^ W,pdx = 0,
оо
где 3 и р определены выше. Подставляя сюда разложения для приближенных решений, приходим к стандартной системе урав
нений К а = |
f , где |
к1а к13 |
|
r f , n |
|
|
"К„ |
1 |
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
К 21 |
К22 |
К28 |
|
h |
|
к = |
|
|
, |
f = |
|
_К Ж1 |
КМ2 Кл!» • • • _ |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
Подматрица |
K im матрицы |
К является |
(2х2)-матрицей, опреде |
||
ленной соотношением |
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K,ffl= $ W ^ N mdx, |
||||
|
|
|
о |
|
|
а подвектор |
является |
(2х 1)-вектор-столбцом |
|||
|
|
|
1 |
|
|
f< = — $ W*P dx.
0
При использовании метода Галеркина, т. е . при W, = N„ можно
Точное решение -
Аппроксимации --о— 1-элементная
Рис. 2.11. Сравнение точного и приближенного решений из примера 2.9 для тем пературы ср(а) и потока тепла q(6).
записать |
|
|
|
K , „ = j |
N t, *N rn. 1 |
N l t , dN m, jd x |
dx. |
|
N t , i d N m . l / d X |
0 |
|
Тогда, используя |
2-элементную |
аппроксимацию |
для q и ф и |
вычисляя матрицу коэффициентов и правую часть, получаем
систему уравнений
- 1/3 |
1/2 |
1/12 |
1/31 - |
Г О |
— 1/2 |
0 |
- 1 /6 |
0 |
1/8 |
1/12 |
1/6 |
1/30 |
1/6 |
О |
— 1/3 |
0 |
- 1 /6 |
0 |
1/24 |
решение которой позволяет найти значения неизвестных парамет
ров. Заметим, что применение метода Галеркина в данном слу-
чае не приводит к системе |
с симметричной |
матрицей, |
однако |
такая симметричность может |
быть достигнута |
путем некоторых |
|
преобразований. На рис. 2.11 |
сравниваются результаты |
исполь |
|
зования 1- и 2-элементных аппроксимаций с точным решением
этой |
задачи. |
Для |
некоторых задач |
можно |
доказать предпочти |
|||
тельность использования |
различного |
числа |
параметров в |
разло |
||||
жениях для ср |
и q. |
Без потери общности эта процедура |
очевид |
|||||
ным |
образом |
может быть реализована |
путем приравнивания |
|||||
к нулю соответствующих |
параметров |
и |
вычеркивания соответст |
|||||
вующих строк и столбцов из стандартной системы уравнений.
Формулировки типа обсуждавшейся в этом примере часто назы
ваются смешанными, так как число подлежащих решению урав
нений, если это требуется, может быть уменьшено соответствую щим преобразованием. (В данном случае можно исключить q из второго уравнения системы и получить одно уравнение для ср.)
Иногда такие формулировки могут быть точнее, чем формули
ровки, в которых такое исключение не может быть проведено. Однако, как было показано выше, они приводят к более слож
ным в вычислительном отношении уравнениям.
2.7.1.Двумерные плоские задачи теории упругости в напряжениях
Вкачестве еще одного примера для только что описанной
формулировки рассмотрим |
задачу |
теории |
упругости, связанную |
|||||
с определением плоских напряжений [6]. Здесь |
основными неиз |
|||||||
вестными будут перемещения |
и и v по направлениям х |
и у, т. е. |
||||||
|
|
|
ФT = (u,v). |
|
|
(2.78) |
||
Деформации, а |
следовательно, |
и напряжения |
могут |
быть вы |
||||
ражены через эти перемещения, а |
именно деформации |
записыва |
||||||
ются в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~*х |
' |
1 |
ди/дх |
|
|
|
|
8 = |
ВУ |
— |
|
dv/dy |
= ^ Ф , |
(2.79) |
||
|
|
|
ди/ду + |
dv/dx |
|
|
|
|
где |
|
|
|
~д/дх |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ' |
|
|
|
|
|
|
3 |
= |
0 |
д/ду . |
|
|
(2.80) |
|
|
|
|
д/ду |
д/дх |
|
|
|
В частном случае плоских напряжений последние задается фор-