Конечные элементы и аппроксимация

альтернативой для обсуждавшегося в гл. 1 метода конечных разностей. Полезность метода очевидна, поскольку было показано, что в ряде задач при одном и том же числе неизвестных он дает

решение более точное, чем метод конечных разностей.

К сожалению, использование метода взвешенных невязок

применительно к аппроксимациям базисными функциями еще не

снимает основных трудностей. Для двух-и трехмерных областей

метод конечных разностей представляется более гибким, так как

вые условия. Кроме того, матрица К системы алгебраических

уравнений, получающейся при применении метода взвешенных

невязок (см. уравнение (2.55)), с увеличением числа используемых для аппроксимации элементов в ряде случаев может стать плохо обусловленной. Такая ситуация имела место в примере 2.6, где

матрица К подобна хорошо известной матрице Гильберта.

то наиболее приемлемым выбором могли бы быть многочлены

Лежандра (обсуждаемые в другом контексте в гл. 4) или много­

члены Чебышева [9].

В следующей главе указанные недостатки метода базисных

функций будут устранены, и тогда станет ясно, что такие про­

цедуры, применяемые надлежащим образом, обладают широчай­

шим кругом возможностей.

Литература

[2]Подробное обсуждение различных имеющихся возможностей можно найти

вкниге Finlayson В. A. The method of weighted residuals and variational prin­

КУСОЧНО-ОПРЕДЕЛЕННЫЕ БАЗИСНЫЕ ФУНКЦИИ И МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

3.1. Введение. Понятие конечного элемента

В методах аппроксимации предыдущей главы неявно пред­ полагалось, что базисные функции Nm, входящие в разложение

ряд неперекрывающихся подобластей или элементов Я* и построе­

нии зачтем аппроксимации ср кусочным образом, т. е. отдельно на

каждой подобласти. Тогда используемые в процессе аппроксима­ ции базисные функции также могут быть определены кусочным образом^ с применением различных выражений для разных под­ областей Я*, из которых составлена вся область. В таком случае

входящие в аппроксимирующие уравнения определенные интегралы могут быть получены простым суммированием их вклада по каж­ дой подобласти или элементу:

Яс = 1Я е

рые непосредственно примыкают к границе.

Если подобласти имеют сравнительно простую форму и базис­ ные функции на этих подобластях определяются однотипно, то

ности, как может заметить читатель, рассмотренные в предыду­ щей главе процессы являются частным случаем метода конечных

элементов, когда используется только один элемент.

Кусочное определение базисных функций означает, что аппро­

ксимирующие функции или их производные могут иметь разрывы.

ровки.

Если базисные функции определены кусочным образом, то

выгодно поставить им в соответствие некоторый малый «носитель», полагая их равными нулю всюду, кроме рассматриваемого эле­

мента и непосредственно примыкающих к нему подобластей. Как

будет показано в дальнейшем, это в конечном счете позволит

получить аппроксимирующие уравнения с ленточными матрицами,

обеспечивающими методу конечных элементов дополнительное преимущество.

3.2.Некоторые типичные локально определенные базисные функции с минимальными носителями

Чтобы продемонстрировать использование метода конечных

элементов, рассмотрим построение аппроксимации для произволь­

На рис. 3.1а показано использование метода поточечной коллокации для аппроксимации заданной функции ср (х) посредством

функции ц)(х)у принимающей постоянные значения на каждом элементе. Получаемая аппроксимация является разрывной со скачками в точках сопряжения элементов \xt\ 1 = 2, 3,

...УМп— 1}. В качестве точек коллокации выбираются средние точки

элементов. Эти точки называются узлами. В конечно-элементных

процессах узлы и элементы нумеруются. Здесь нами принята показанная на рисунке очевидная система нумерации, когда

узел т принадлежит элементу т . Функция ср(х) может быть записана в стандартной форме (3.1) путем сопоставления каждому узлу т кусочно-постоянной разрывной одинаковой для всех эле­ ментов (глобальной) базисной функции Nт , по определению при­

нимающей значения единица на элементе т и нуль на всех других

элементах. Тогда можно записать

Рис. 3.1а. Аппроксимация функции одной переменной методом поточечной коллокации с использованием кусочно-постоянных элементов.

так как ат = фт , где срго— значение функции <р в узле т . Таким образом, при использовании метода конечных элементов пара­ метры аппроксимации имеют вполне понятный смысл. Произволь­ ная функция ф из (3.1) здесь опущена, и, следовательно, эта

аппроксимация, вообще говоря, не будет равна значению функ­

ции <р в граничных точках отрезка х = 0, х = Lx. Однако в данном

представлении эти значения приближаются сколь угодно точно

быть выражена через значения фе в узле элемента и базисной функции элемента Ne, а именно

каждом элементе, достигается более точное приближение. В этом случае (нумерованными) узлами являются точки сопряжения

s

Глобальные

_ j L / \ b >базисные функции

ii

Базисные функции

элемент

Xg Xg+i

Рис. 3.16. Аппроксимация функции одной переменной методом поточечной коллокации с использованием кусочно-линейных элементов.

элементов и аппроксимация осуществляется путем сопоставления каждому узлу i кусочно-линейной глобальной базисной функции Nt.

Эти глобальные базисные функции обладают тем свойством,

ставление автоматически принимает нужные значения в двух граничных точках отрезка и явное использование функции ф не

требуется. На каждом элементе е с узлами i и / аппроксимация может быть выражена с помощью двух линейных базисных функ-

Рис- З.з. Аппроксимация функции одной переменной методом Галеркина с ис­ пользованием кусочно-постоянных элементов (а) и кусочно-линейных элементов

где

Компоненты вектора <р будут опять узловыми значениями аппрок­

симации ср и, следовательно, аппроксимациями узловых значений заданной функции ср. Как уже отмечалось в (3.2), фигурирую­

щие в (3.7а) глобальные интегралы могут быть вычислены путем суммирования вклада отдельных элементов, т. е.

В случае аппроксимации кусочно-постоянными базисными функ­

рис. 3.3, а. При использованной там нумерации узлов и элемен­

тов решение имеет вид

(3.10)

Аппроксимация той же самой функции с помощью кусочно­ линейных функций показана на рис 3.3, б. При использованной

там нумерации узлов система уравнений (3.6) теперь трехдиаго-

нальна и симметрична совершенно так же, как и для многих рассмотренных ранее задач. Подробности того, как лучше всего в этом случае определить матрицу коэффициентов, здесь обсуж­

даться не будут, однако они станут ясны после того, как чита­

тель рассмотрит примеры в § 3.5.

3.3.Аппроксимация решений дифференциальных уравнений

итребования гладкости

Рассмотренный в § 3.1 и 3.2 процесс аппроксимации функций

может быть использован для решения задач, описываемых диф­

ференциальными уравнениями, согласно методике, обсуждавшейся

в гл. 2 .